山东省济南市2024-2025学年高一下学期7月期末学习质量检测数学试题

山东省济南市高一下学期7月期末学习质量检测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数满足是虚数单位，则(    ) A. B. C. D. 2.某校开展“阅读经典”的调查研究，高一、高二、高三的人数比例为现采用按比例分配分层随机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研已知从高一抽取的人数为，则从高三抽取的人数为(    ) A. B. C. D. 3.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 4.已知，是两条直线，，，是三个平面，则(    ) A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5.解放阁是山东省的“国防教育基地”如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使，，在同一条直线上在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，，并测得米，则约为参考数据：， A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中若原的周长为，则(    ) A. B. C. D. 7.抛掷枚质地均匀的硬币，恰有枚正面朝上的概率为其中，，，则(    ) A. B. C. D. 8.在中，，的平分线交于点，为的中点若，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图同一组的数据用该组区间的中点值代表，则(    ) A. B. 众数是 C. 中位数是 D. 跳远距离在区间的人数为 10.已知古典概型的样本空间及事件和事件，满足，，，，则(    ) A. B. C. D. 11.如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内含边界的一动点，且满足平面，则(    ) A. 点到平面的距离为定值 B. 存在点，满足 C. 二面角的取值范围为 D. 过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆台的上底面半径和母线长均为，下底面半径为，则圆台的体积为          ． 13.若复数满足为虚数单位，则的最大值为          ． 14.设，是平面内的两条数轴，，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标已知，，对任意，恒成立，则的取值范围为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 袋中有个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为，，红球编号为，，从中有放回地依次随机摸出两个小球． 求至少一个是白球的概率 设事件为“第一次是白球”，事件为“两个小球的编号之和为”，判断与是否相互独立，并说明理由． 16.本小题分 已知正四棱锥，，分别是，的中点． 证明：平面 若四棱锥各棱长均为，求直线与所成角的余弦值． 17.本小题分 在中，角，，的对边分别为，，已知 求角的大小 若为锐角三角形． (ⅰ)求角的取值范围 (ⅱ)设，求面积的取值范围． 18.本小题分 某同学用同一把尺子多次测量同一张标准纸的宽度，得到以下个数据，，单位：毫米 计算该组数据的平均值和方差 考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： 记其中为样本标准差，， 若其中为样本容量，则该数据判断为无效数据，否则认为该数据有效． 对照表 (ⅰ)求，并判断是否为无效数据结果保留两位小数 (ⅱ)求，，，中无效数据的个数，并说明理由． 参考数据： 19.本小题分 在数学上用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体某顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中面角是多面体的面的内角角用弧度制表示例如：对于正四面体任意一个顶点，每个面角均为，所以正四面体在该顶点的曲率为． 如图，该多面体由边长相等的个正三角形和个正五边形围成，任取一顶点，求该点的曲率 如图，在正三棱台中，，，点与处的曲率之差为若为侧面含边界内一动点，且直线与平面所成角的正切值为，求动点的轨迹长度 某多面体由边长相等的个正三角形和个正五边形围成，若各顶点的曲率之和为，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同图为满足条件的两个多面体示例，求该多面体面数的所有可能取值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：因为， 所以， 故选C． 2.【答案】  【解析】解：设高一、高二、高三的人数分别为、、， 已知从高一抽取的人数为，对应比例中的份， 因此每份对应的抽样人数为， 高三对应的比例份数为份， 故从高三抽取的人数为． 3.【答案】  【解析】解：，，， ，求得， 故选A． 4.【答案】  【解析】解：选项A：若，，，则与可能平行或异面例如在中取一条直线，在中取一条与不平行的直线，两直线无交点且不平行，故A错误； 选项B：若，，则与可能平行或相交例如墙角的三个面、、两两垂直，此时，故B错误； 选项C：若，，则证明如下：由，存在直线且；又，则可平移至内或内存在与平行的直线，故内存在直线垂直于，因此，C正确 选项D：若，，则可能平行于或例如，在内且与平行，故D错误． 5.【答案】  【解析】解：易得， 在中，由正弦定理得， 即，解得， 在中，， 解得， 即约为米． 6.【答案】  【解析】解：根据斜二测画法，由直观图画出原图，如图所示， ，且是以为底的等腰三角形， 又的周长为， 可得，则， 由勾股定理得， 则， 故选A． 7.【答案】  【解析】解：当时，抛掷枚硬币，总事件数为，恰有枚正面朝上的事件数为，故． 当时，抛掷枚硬币，总事件数为，恰有枚正面朝上的事件数为，故． 当时，抛掷枚硬币，总事件数为，恰有枚正面朝上的事件数为，故． 比较大小：将通分后为，因此． 8.【答案】  【解析】解：设，则， 因为为中点，所以， 则，， 在中，平分，则， 设，，则， 根据面积关系列出等式， 可得：， ， 解得，则， 因为， ， 所以 ， ， 所以． 9.【答案】  【解析】解：对于，由，解得，故A正确； 对于，最高矩形对应的区间是，中点值为，所以众数是，故B正确； 对于，设中位数为， ， ， 所以中位数在内， 由，解得，故C错误； 对于，跳远距离在的频率为， 人数为，故 D错误． 10.【答案】  【解析】解：对于选项A：， 所以，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：， 所以，故C正确； 对于选项D：， 所以，故D正确． 故选BCD． 11.【答案】  【解析】解：对于，如图所示，连接和，由已知可得：，所以和在同一平面内，平面即是平面，设，分别是棱和的中点，连接，，，根据正方体的结构特征知：，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 因为是侧面内含边界的一动点，所以点一定在线段上 由平面平面，并且平面和平面是确定的平面，它们之间的距离即是点到平面的距离为定值，所以A正确； 图    图 对于，由上可知，是以为底边的等腰三角形，当为的中点时，，而，所以这时，B正确； 对于，如图所示：由选项A可知：点在线段上，过作于， 则平面，，过作于，连接，因为，平面，所以平面，而平面，所以，是二面角的平面角， 设，由已知：，，，所以 ，，可见的最大值小于，所以C错误； 对于，易知该正方体的外接球的球心为正方体的中心，外接球半径， 如图所示：当在点或处时，最长，即， 过点作正方体外接球的截面，当与该截面垂直时，截面圆的半径，所以所得截面面积，D正确．                  图 故选ABD． 12.【答案】  【解析】解：因为圆台的上底面半径和母线长均为，下底面半径为， 所以圆台的高， 所以圆台的体积 ． 故答案为 13.【答案】  【解析】解：复数满足， 复数所对应的点到点的距离为， 即点的轨迹以为圆心，为半径的圆， 则的最大值是． 故答案为． 14.【答案】  【解析】解：根据斜坐标系定义，，， 其中、为单位向量，夹角为， ， 则 ， 由题意，恒成立， 即：对任意成立， 由于，，二次函数开口向上， 需判别式， 因，故，解得， 结合，， 故的取值范围为． 15.【答案】解：用数字表示第一次取球的编号，用数字表示第二次取球的编号， 则数组表示这个实验的一个样本点， 所以样本空间，，且． 因为随机摸出小球，表明每个样本点发生的可能性相同， 所以这是一个古典概型． 设事件“取到的两个小球至少一个是白球”， 则，，，，，，，，，，，，，，，且， 所以，即有放回的摸两个小球，至少一个是白球的概率是； 因为，，，，，，，，，， 所以，． 同理：，，，，，所以，． ，，所以，， 所以，，所以事件与相互独立．  16.【答案】证明：取中点，连接，． 因为是的中位线，所以，且． 因为是的中点，所以，且， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 解：因为，所以为直线与所成角． 在中，，，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为．  17.【答案】解：解：由， 得， 在中，， 所以， 因为，， 可得， 因为，可知， 为锐角三角形， 可得， 即， 即，所以角的范围为 由，可知 由正弦定理， 可得，即， 可知． 因为， ， 由可知，得 所以 因此面积的取值范围为  18.【答案】解：由题意  ， ，故样本均值为，方差为． 由题意，． 样本容量为，故，  所以，故为无效数据． 注意到为样本中的最小数据，  故，故数据有效， 而为样本中的除了的最大数据，故 ， 故数据有效． 而，，，，，，，，，， 故，，，，，，，，，， 从而均为有效数据， 故有且仅有为无效数据，从而无效数据个数为．  19.【答案】解：由图可得，该多面体任一点连接个正三角形和个正五边形， 所以任一点曲率为； 在正三棱台中， 设，则，， 所以点的曲率为，点的曲率为， 所以，解得； 因为，所以， 同理可得，，两两垂直． 因为，，，，平面， 所以平面，即平面， 所以直线在平面上的射影为，为直线与平面所成的角， 在中，， 在正三棱锥中，因为，所以，所以， 因为为侧面包含边界上一动点，且，， 所以点在以为圆心，为半径的圆弧上，且圆心角， 所以轨迹长度； 设多面体顶点数为，每个顶点的曲率为，则． 若每个顶点连接个面：个面为个三角形和个五边形，则，舍 个面为个三角形和个五边形，则，舍． 若每个顶点连接个面：个面为个三角形和个五边形，与题意不符舍 个面为个三角形和个五边形，则，， 又因为，，可得，，多面体面数为 个面为个三角形和个五边形，则，， 又因为，，可得，，多面体面数为． 若每个顶点连接个面：个面为个三角形和个五边形，与题意不符舍 个面为个三角形和个五边形，与题意不符舍 个面为个三角形和个五边形，与题意不符舍 个面为个三角形和个五边形，则，， 又因为，，可得，，，多面体面数为． 综上，该多面体面数的所有可能取值为，，．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$