15.1.2 线段的垂直平分线（第一课时 线段垂直平分线的性质与判定）导学案2025-2026学年人教版八年级数学上册

本文围绕线段垂直平分线的性质与判定展开，承接线段相关知识，为后续几何问题求解奠基。通过概念解析、性质推导、判定应用等环节，培养学生几何直观、推理能力等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 该设计亮点在于借助丰富例题与生活实例，采用讲练结合教法。从学生层面看，提升其运用知识解决问题能力；从教师层面看，提供清晰授课思路；从课堂效果看，有效突破性质与判定区分这一教学难点。

15.1.2 线段的垂直平分线 （第一课时 线段垂直平分线的性质与判定）导学案 一、学习目标（简写版） 1. 理解线段垂直平分线的概念，能准确识别线段的垂直平分线。 1. 掌握线段垂直平分线的性质和判定，能运用它们进行简单的推理和计算。 1. 能结合性质和判定解决与线段相等相关的基础问题。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 线段垂直平分线的概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1. 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 1. 线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 （二）学习难点 1. 准确区分线段垂直平分线的性质与判定（性质是 “位置→数量”，判定是 “数量→位置”）。 1. 理解性质和判定的推导过程，明确其依据（全等三角形）。 1. 灵活运用性质和判定解决实际问题，特别是在复杂图形中识别相关条件。 三、本节内容的思维导图 四、知识点自主预习填空 1. 经过线段（ ）并且（ ）于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的（ ）相等。 1. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的（ ）上。 1. 若点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，则 PA（ ）PB（填 “=”“≠”）。 1. 若 PA=PB，则点 P 在（ ）的垂直平分线上。 五、详细讲解各部分知识点和要点 （一）线段垂直平分线的概念 1. 概念解析：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 0. 理解要点：“经过线段中点” 体现 “平分”，“垂直于这条线段” 体现 “垂直”，二者缺一不可；线段的垂直平分线是直线，可向两端无限延伸。 0. 示例：如图，直线 l 经过线段 AB 的中点 O，且 l 与 AB 的夹角为 90°，则直线 l 是线段 AB 的垂直平分线。 经典例题：下列关于线段垂直平分线的说法，错误的是（ ） A. 线段的垂直平分线经过线段的中点 B. 线段的垂直平分线与线段垂直 C. 线段的垂直平分线是一条射线 D. 线段的垂直平分线是唯一的 解：C。线段的垂直平分线是直线，不是射线，A、B、D 说法均正确，故选 C。 （二）线段垂直平分线的性质 1. 性质内容：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 0. 几何语言表述：如图，∵直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在 l 上，∴PA=PB。 0. 推导过程：连接 PA、PB，∵l 是 AB 的垂直平分线，∴OA=OB，∠POA=∠POB=90°。在 Rt△POA 和 Rt△POB 中，OA=OB，OP=OP，∴Rt△POA≌Rt△POB（SAS），∴PA=PB。 0. 应用场景：已知点在垂直平分线上，可直接得出该点到线段两端点的距离相等。 （三）线段垂直平分线的判定 1. 判定内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 0. 几何语言表述：如图，∵PA=PB，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。 0. 推导过程：取 AB 的中点 O，连接 PO，在△POA 和△POB 中，PA=PB，OA=OB，PO=PO，∴△POA≌△POB（SSS），∴∠POA=∠POB=90°，即 PO⊥AB，∴PO 是 AB 的垂直平分线，故点 P 在 AB 的垂直平分线上。 0. 应用场景：已知点到线段两端点距离相等，可判断该点在这条线段的垂直平分线上。 六、效果检测 1. 线段的垂直平分线一定经过该线段的中点。（ ） 1. 若点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，则 PA=PB。（ ） 1. 若 PA=PB，则点 P 是线段 AB 的垂直平分线与 AB 的交点。（ ） 1. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离一定相等。（ ） 1. 到线段两端点距离相等的点只有一个。（ ） 七、本节内容的归纳总结 1. 核心概念：线段垂直平分线是同时满足 “过中点” 和 “垂直于线段” 的直线。 1. 性质与判定： 0. 性质：垂直平分线上的点→到两端点距离相等（位置决定数量）； 0. 判定：到两端点距离相等的点→在垂直平分线上（数量决定位置），二者互为逆定理。 24. 应用关键： 0. 看到 “点在垂直平分线上”，想到 “距离相等”； 0. 看到 “距离相等”，想到 “点在垂直平分线上”； 0. 两者结合可解决线段相等、点的位置关系等问题。 八、课后作业 1．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 2．如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（   ） A．17 B．19 C．20 D．21 3．银川市是著名的“中国葡萄酒之都”，得益于贺兰山东麓的优越气候和土壤条件，形成了世界级的葡萄种植与酿酒产业带．如图，三条公路将闽宁镇、玉泉营、黄羊滩三个核心葡萄种植区连接成三角形区域．当地计划在此区域内建设一个国际葡萄交易中心，要求交易中心到三个种植区的距离相等．这个交易中心应建在（ ） A．三角形的三条中线的交点处 B．三角形的三条角平分线的交点处 C．三角形的三条垂直平分线的交点处 D．三角形的三条高线的交点处 4．如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 5．如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 6．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点新增选项 7．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M、N，大于的长为半径画弧，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④．其中正确的个数是中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 8．如图，已知，，以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，则的周长为 ． 9．如图，在中，边的垂直平分线交于点E，垂足为D，若的周长为，的周长为，则的长为 ． 10．如图，若，，，，则的值为 ． 11．如图，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点，我们称：点为正方形的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．连接、、、，并延长交于点．下列结论中：①；②；③；④；其中正确的结论的序号为 ． 三、解答题 12．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 九、答案及解析 （一）自主预习填空的答案 1. 中点；垂直 1. 距离 1. 垂直平分线 1. = 1. 线段 AB （二）效果检测的答案和解析 1. （√）解析：线段垂直平分线的定义包含 “经过线段中点” 这一条件，该说法正确。 1. （√）解析：这是线段垂直平分线的性质，该说法正确。 1. （×）解析：PA=PB 只能说明点 P 在 AB 的垂直平分线上，不一定是垂直平分线与 AB 的交点，该说法错误。 1. （√）解析：这是线段垂直平分线的基本性质，该说法正确。 1. （×）解析：到线段两端点距离相等的点有无数个，它们都在该线段的垂直平分线上，该说法错误。 （三）课后作业的答案和解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B C A B C A 1．C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解三角形三条中线的交点、三条角平分线的交点、三边的垂直平分线的交点、三条高所在直线的交点之间的区别．根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等即可求解． 【详解】解：凉亭到草坪三个顶点的距离相等， 凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由作图方法可知，是的垂直平分线，，则，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案． 【详解】解：由作图知：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴， 又， ∴的周长为， 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，根据线段垂直平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且交易中心到到三个种植区的距离相等， ∴这个交易中心应建在三角形的三条垂直平分线的交点处． 故选：C． 4．A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得，再结合的周长得到，即可求出的周长． 【详解】解：中，，直线垂直平分， ， 的周长为32， ， 的周长是， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 7．A 【分析】①根据作图的过程可以判定是的角平分线； ②利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数； ③利用等角对等边可以证得的等腰三角形，由垂直平分线的判定定理可以证明点在的垂直平分线上； ④根据直角三角形的性质得出，再由线段垂直平分线的性质得出，进而可得出结论． 【详解】解：①根据作图的过程可知，是的平分线．故①正确； ②如图，在中，，， ， 又是的平分线， ， ，即，故②正确； ③， ， 点在的垂直平分线上，故③正确； ， ， ， ，故④正确． 综上分析可知：正确的有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握基本作图是解题的关键． 8． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，根据题意，得到是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得是的垂直平分线， ， ， 的周长． 故答案为：． 9．/4厘米 【分析】本题考查垂直平分线的性质，由垂直平分，可得，，结合的周长为，的周长为，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ，， 的周长为， ， 的周长为， ， ， ， 故答案为：． 10．/ 【分析】连接交于点，交于点，勾股定理得，证，得，，进而利用面积法求得，最后证明，利用形似三角形的性质即可的解． 【详解】解：连接交于点，交于点， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 11．①②③④ 【分析】①连结，根据等腰三角形的性质和正方形的性质证明，从而证明是的切线，再证明、都是的切线，用切线长定理即可证明，所以①正确；②和都是等腰三角形，根据三角形内角和定理可证得（），所以②正确；③设正方形的边长为，连接，过点作于点，于点，根据正切定义可得，用含的代数式表示和，它们均为，所以③正确；④由前面得到的结论，可得，，求得，所以④正确． 【详解】解：①如图，连接，则． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； ∵，， ∴、都是的切线， ∴， ∵， ∴．故①正确； ②∵， ∴，， ∴[]． 故②正确； ③如图，设正方形的边长为，连接、交于点，作于点，于点，则，四边形为矩形． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵是半圆的直径， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∴，整理，得， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 故③正确； ④如图，∵，，， ∴． 故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质、圆的切线的判定、切线长定理、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，设正方形的边长为，将有关线段用含的代数式表示． 12．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：，，   ，，，   ，   设，，   ，，，，   ，，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． $$