第22章二次函数第4课时二次函数y＝a(x－h)²的图象和性质 暑假预习 2025—2026学年人教版数学九年级上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第22章二次函数第4课时二次函数y＝a(x－h)²的图象和性质 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 函数 y＝a(x－h)2(a＞0) y＝a(x－h)2(a＜0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (h，0) (h，0) 对称轴 直线x＝h 直线x＝h 最值 当x＝ h 时，y有最 小 值为 0 当x＝ h 时，y有最 大 值为 0 增减性 当x＞h时，y随x的增大而　增大　； 当x＜h时，y随x的增大而　减小 　 当x＞h时，y随x的增大而　减小　； 当x＜h时，y随x的增大而　增大 　 二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象形状相同，位置不同.函数y＝a(x－h)2的图象是由抛物线y＝ax2向右(或左)平移个单位长度得到的. 　　 知识点1：画二次函数y＝a(x－h)2的图象 【例1】 在同一直角坐标系(如图)中，画出函数y＝x2，y＝(x＋1)2，y＝(x－1)2的图象. x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 y＝(x＋1)2 y＝(x－1)2 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：抛物线y＝a(x－h)2的图象和性质 【例2】已知抛物线y＝(x－2)2. (1)开口方向：　向上　； (2)对称轴：　直线x＝2　； (3)顶点坐标：　(2，0)　； (4)当x　＞2　时，y随x的增大而增大； (5)当x＝　 2 　时，y有最　小　值为　0　. 知识点3：抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系 【例3】 将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为　y＝(x－3)2　. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.对于二次函数的图象，下列叙述错误的是  (    ) A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，有最小值 【答案】A  2.二次函数的图象大致是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  3.对于二次函数的图象，下列说法不正确的是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质抛物线的开口方向由二次项系数的符号决定的，，开口向上，，开口向下，进而判断出选项；根据二次函数顶点式解析式即可判断选项和选项； 根据二次函数的性质即可判断出选项． 【解答】 解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 所以、、选项说法正确，选项说法错误． 故选D． 4.若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  5.在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  二、填空题： 6.把抛物线所在的平面直角坐标系向左平移个单位长度后得到的抛物线的解析式为          ． 【答案】  【解析】【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式． 根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可． 【解答】解：本题实际上可看成将抛物线向右平移个单位长度，因此得到的抛物线的解析式为 7.抛物线向左平移个单位长度，就得到抛物线          ，抛物线是由抛物线向          平移          个单位长度得到的，抛物线可以由抛物线向          平移          个单位长度得到． 【答案】  ;右;;左;; 8.将抛物线向左平移个单位长度，所得抛物线的解析式为________． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数平移应将解析式写出顶点式，，函数左右平移自变量加减，规律是左加右减，上下平移加减，规律是上加小减，解答此题根据此规律解答即可． 【解答】 解：将抛物线向左平移个单位长度的表达式为：． 故答案为． 9.将抛物线向右平移个单位，得到的抛物线的解析式是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【解答】 解：抛物线向右平移个单位后的函数抛物线的解析式为：． 故答案是：． 10.抛物线向右平移个单位长度得到抛物线          ． 【答案】  三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象． 列表：                                                        描点，连线； 由图象可知，抛物线的开口向          ，对称轴是直线          ，顶点坐标是          ； 对于函数，当           时，随的增大而减小，当           时，随的增大而增大，当          时，函数有最          填“大”或“小”值，为          ； 抛物线可由抛物线向          平移          个单位长度得到． 【答案】(1)8;2 ;0 ;2 ;8  (2)略  (3)上;1 ;（1，0）  (4)＜1;＞1 ;1;小;0  (5)右;1  12. 在同一直角坐标系(如图)中，画出函数y＝－x2，y＝－(x＋3)2，y＝－(x－1)2的图象. x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝－x2 y＝－(x＋3)2 y＝－(x－1)2 略. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 13. 已知抛物线y＝－3(x＋4)2. (1)开口方向：　向下　； (2)对称轴：　直线x＝－4　； (3)顶点坐标：　(－4，0)　； (4)当x　＜－4　时，y随x的增大而增大； (5)当x＝　 －4 　时，y有最　大　值为　0　.　　　　　 14.如图，将抛物线向右平移个单位长度，顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． 求的值在图中的抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形若存在，直接写出点的坐标，并求若不存在，请说明理由． 【答案】解：平移后的抛物线的解析式为， 令中，则， 为等腰直角三角形， ，解得：或舍去 故的值为． 作点关于抛物线对称轴对称的点，连接，交抛物线的对称轴于点，如图所示． 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， ． 为抛物线的对称轴， ，， 为等腰直角三角形． 点，抛物线对称轴为， 点的坐标为． ． 故在图中的抛物线上存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标为且．  【解析】【分析】 本题考查了平移的性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：找出关于的一元二次方程找出点的位置本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点的位置． 根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，令其找出点的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于的一元二次方程，解方程即可求出值 作点关于抛物线对称轴对称的点，连接，交抛物线的对称轴于点，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点的坐标即可得出点的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第22章二次函数第4课时二次函数y＝a(x－h)²的图象和性质 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 函数 y＝a(x－h)2(a＞0) y＝a(x－h)2(a＜0) 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 当x＝ 时，y有最 值为 . 当x＝ 时，y有最 值为 . 增减性 当x＞h时，y随x的增大而　 　； 当x＜h时，y随x的增大而　 　 当x＞h时，y随x的增大而　 　； 当x＜h时，y随x的增大而　 　 二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象形状相同，位置不同.函数y＝a(x－h)2的图象是由抛物线y＝ax2向右(或左)平移个单位长度得到的. 　　 知识点1：画二次函数y＝a(x－h)2的图象 【例1】 在同一直角坐标系(如图)中，画出函数y＝x2，y＝(x＋1)2，y＝(x－1)2的图象. x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 y＝(x＋1)2 y＝(x－1)2 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：抛物线y＝a(x－h)2的图象和性质 【例2】已知抛物线y＝(x－2)2. (1)开口方向：　 　； (2)对称轴：　 　； (3)顶点坐标：　 　； (4)当x　 　时，y随x的增大而增大； (5)当x＝　 　时，y有最　 　值为　 　. 知识点3：抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系 【例3】 将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为　 　. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.对于二次函数的图象，下列叙述错误的是  (    ) A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，有最小值 2.二次函数的图象大致是  (    ) A. B. C. D. 3.对于二次函数的图象，下列说法不正确的是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 4.若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是  (    ) A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是  (    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.把抛物线所在的平面直角坐标系向左平移个单位长度后得到的抛物线的解析式为          ． 7.抛物线向左平移个单位长度，就得到抛物线          ，抛物线是由抛物线向          平移          个单位长度得到的，抛物线可以由抛物线向          平移          个单位长度得到． 8.将抛物线向左平移个单位长度，所得抛物线的解析式为________． 9.将抛物线向右平移个单位，得到的抛物线的解析式是          ． 10.抛物线向右平移个单位长度得到抛物线          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象． 列表：                                                        描点，连线； 由图象可知，抛物线的开口向          ，对称轴是直线          ，顶点坐标是          ； 对于函数，当           时，随的增大而减小，当           时，随的增大而增大，当          时，函数有最          填“大”或“小”值，为          ； 抛物线可由抛物线向          平移          个单位长度得到． 12. 在同一直角坐标系(如图)中，画出函数y＝－x2，y＝－(x＋3)2，y＝－(x－1)2的图象. x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝－x2 y＝－(x＋3)2 y＝－(x－1)2 13. 已知抛物线y＝－3(x＋4)2. (1)开口方向：　 　； (2)对称轴：　 ； (3)顶点坐标：　 ； (4)当x　 　时，y随x的增大而增大； (5)当x＝　 　时，y有最　 　值为　 　.　　　　　 14.如图，将抛物线向右平移个单位长度，顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． 求的值在图中的抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形若存在，直接写出点的坐标，并求若不存在，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$