精品解析： 甘肃省庆阳市镇原县武沟九年制学校2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中试题 九年级 数学 满分：120分 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 在抛物线y=-x2+1 上的一个点是( )． A. (1，0) B. (0，0) C. （0，-1) D. （1，I) 【答案】A 【解析】 【分析】根据几个选项，分别将x=1或x=0代入y=-x2+1中，求y的值即可． 【详解】解：∵当x=1时，y=-x2+1=-1+1=0， 当x=0时，y=-x2+1=0+1=1， 抛物线过（1，0）或（0，1）两点． 故选A． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，解题关键是明确顶点式的对称轴为直线，顶点坐标为．根据二次函数的顶点式可直接得出答案． 【详解】解∶抛物线的对称轴是直线， 故选∶B． 4. 下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解解一元二次方程．判断各选项是否适合因式分解法，需观察方程是否能整理为两个一次因式乘积等于0的形式． 【详解】解：A：，展开后为，无法直接分解为两个一次因式相乘，需用公式法，不适合因式分解． B：，移项得，提取公因子，得，可直接分解为两个一次方程，适合因式分解法． C：，常数项无法分解为两数之积为且和为5的整数，需用公式法，不适合因式分解． D：，化简后为，适合直接开平方法，无需因式分解． 综上，选项B的方程结构最便于因式分解法求解． 故选：B． 5. 如图，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列结论不正确的是（　　） A. BC＝DE B. ∠E＝∠C C. ∠EAC＝∠BAD D. ∠B＝∠E 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质和全等三角形的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵将△ABC绕点A旋转后得到△ADE， ∴， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴∠E＝∠C， 故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，即， 故C选项正确，不符合题意； 由已知条件无法证明出∠B＝∠E， 故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和全等三角形的性质．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等． 6. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 【详解】∵二次函数中，a=1>0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴 ∴时y随x的增大而增大， ∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0， ∴方程的一个正根：0.5<x<0.75， 故选C. 【点睛】解答此题的关键是求出对称轴,然后由图象解答,锻炼了学生数形结合的思想方法. 7. 已知一元二次方程的一个根是2，则m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入，得出，解出m的值，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是2， ∴把代入， 得， 解得 故选：C 8. 两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案． 【详解】解：依题意得：较大的奇数为x+2， 则有：x（x+2）=323． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键． 9. 二次函数的图像可以由二次函数图像平移得到．下列平移正确的是（ ）． A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位． B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位． C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位． D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位． 【答案】B 【解析】 【分析】把二次函数化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到． 故选：B． 【点睛】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力，解题关键是把二次函数化为顶点坐标式和理解二次函数图象平移的规律． 10. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示： 当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． 二．填空题．（每题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 12. 请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据顶点式求二次函数的解析式，设抛物线的解析式为，由条件可以得出，从而即可得到答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为，且抛物线的图象开口向上， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数_____________，使得方程左边配成一个完全平方式． 【答案】16 【解析】 【分析】根据一元二次方程的配方法可直接进行求解． 【详解】解：用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数16，使得方程左边配成一个完全平方式，即为； 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 14. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，对称性，求出二次函数的对称轴，根据对称性求出另一个交点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 故答案为：． 15. 若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为______． 【答案】1或2 【解析】 【分析】本题考查根据一次函数图象所过象限，求参数的范围，根的判别式，根据直线不经过第二象限，得到，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ∴， 当时，方程化为，解得，有1个实数根； 当时，方程为一元二次方程，， ∴方程有2个不相等的实数根； 故答案为：1或2 16. 二次函数的图象如图所示，下列结论中，正确的有______．（填序号） ①；②；③方程的两个根是，；④． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①由抛物线开口向上，可得出，由抛物线与x轴交点知对称轴为，即，根据抛物线与y轴的交点在轴下方，可得，可判断结论①正确；②由抛物线与x轴的交点求得对称轴，得到，当时，，代入得，由，可得，结论②正确； ③根据抛物线与x轴的交点，可得结论③正确；④把代入，整理得到，即可得出，结论④正确． 【详解】∵由图象可知，抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴相交于y轴的负半轴， ∴， ∵抛物线与轴交于，， ∴抛物线的对称轴直线， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 当时， ， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵二次函数与轴交于，， ∴当， 即方程， ∴该方程的两个根式，故③正确； ∵时， ， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 三．解答题：本大题6个小题，共32分 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法．先把方程变形为，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18. 若二次函数的开口向下，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可知且，求得m的值即可． 【详解】解：∵二次函数的开口向下， ∴， 解得． 19. 已知关于x的方程．求证：不论m为何值，方程总有实数根． 【答案】 证明：①当， 即时，方程为，解得， 所以此时方程有实数根； ②当时，， 所以此时方程有两个实数根． 综上，不论m为何值，方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，因为，则方程有两个实数根． 【详解】略． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，在平面直角坐标系中，点的坐标为，请在平面直角坐标系中画出绕点按顺时针方向旋转后，得到的新图形，并写出、的坐标． 【答案】 解：如图所示， 点的坐标是，点的坐标是． 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换，根据网格结构特点找出点A、B、C绕点P顺时针旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可得到，根据图形位置即可写出点的坐标． 【详解】略 21. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出函数的顶点坐标； （2）写出方程的两个根； （3）写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握利用图象法求一元二次方程的解与不等式解集是解题的关键． （1）根据函数图象的最高点得到顶点坐标； （2）观察图形可以看出抛物线与轴交于(和，即可解题； （3）根据抛物线的图象，得到在x轴上方的自变量x的取值范围解答即可． 【小问1详解】 解：由图象可得函数图象的最高点坐标为， ∴函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：图中可以看出抛物线与轴交于(和， ∴方程的两个根为，； 【小问3详解】 解：通过图中可以看出：当时，图象在x轴上方， ∴不等式的解集为． 22. 如图，菱形的对角线、交于点，若与关于点成中心对称，，，求菱形的边长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据菱形的性质、旋转的性质，得到、、、，根据，利用勾股定理计算，再次利用勾股定理计算即可． 【详解】解：四边形是菱形，且绕着点旋转得到，， ，，， ，， ， ， ， ， 即菱形的边长是． 四．解答题：本大题5小题，共40分 23. 已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． （1）求此抛物线的解析式； （2）若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记相关结论即可求解； （1）令，则；得到抛物线与轴的交点为；推出；根据抛物线的对称轴是直线，推出，即可求解； （2）根据抛物选的开口方向和对称轴，即可判断； 【小问1详解】 解：令，则； ∴抛物线与轴的交点为； ∴； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：； ∴此抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由（１）可知：抛物选开口向上， 对称轴是直线． ∵且， ∴ 故答案为： 24. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为； （2）运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【解析】 【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，， 设抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得（负值舍去）， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． 25. 近年来，电商平台带货主播成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的购书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． （1）若每本降价10元，每天可销售______本书，每天销售获利为______元； （2）若降价销售该书，每天的利润为6000元，求该书的销售单价． 【答案】（1）， （2）20元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据销售单价每降低5元，每天可多销售100本即可求得； （2）根据“总利润每千克利润销售量”列方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． ∴降价10元，平均每天可销售： 每天销售获利：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设该书的销售单价为元， 依题意有： 化简得： ， 解得：， ∵， ∴； 答：该书的销售单价20元． 26. （1）如图1，在中，，，以为边作等边三角形，将斜边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接并延长交于点F．则的度数为______； （2）如果将等腰直角三角形改为任意直角三角形（如图2），其他条件不变，猜想的度数，并加以证明． 【答案】（1） （2），证明如下： ∵等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 设交于点， ∵， ∴； 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，旋转的性质，证明，得到，8字形图，得到，即可得出结果； （2）同法（1）即可得出结果． 【详解】解：（1）∵等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 设交于点， ∵， ∴； （2）略 27. 如图，抛物线过点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点P坐标为； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）把代入即可的得出抛物线解析式； （2）依题意可得出即P点在的平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性质，即可得出P点的坐标； （2）利用铅垂线ME，即可表达出，再由即可列出方程求解． 【小问1详解】 根据题意，得 ， 解得， 抛物线解析式为：． 【小问2详解】 由（1）得， 点，且点， ． ∵当是以BC为底边的等腰三角形 ∴PC=PB， ∵OP=OP， ∴， ∴， 设抛物线的对称轴与轴交于H点，则， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴， ∴， ∴， ． 点P坐标为． 【小问3详解】 存在． 理由如下：过点M作轴，交BC于点E，交x轴于点F． 设，则， 设直线BC的解析式为：，依题意，得： ， 解得， 直线BC的解析式为：， 当时，， 点E的坐标为， ∵点M在第一象限内，且在BC的上方， ， ， ． ∵， ， 解得． 【点睛】此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函数的做法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中试题 九年级 数学 满分：120分 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在抛物线y=-x2+1 上的一个点是( )． A. (1，0) B. (0，0) C. （0，-1) D. （1，I) 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 4. 下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列结论不正确的是（　　） A. BC＝DE B. ∠E＝∠C C. ∠EAC＝∠BAD D. ∠B＝∠E 6. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 7. 已知一元二次方程的一个根是2，则m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（　　） A. B. C. D. 9. 二次函数的图像可以由二次函数图像平移得到．下列平移正确的是（ ）． A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位． B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位． C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位． D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位． 10. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题．（每题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 12. 请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式：______． 13. 用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数_____________，使得方程左边配成一个完全平方式． 14. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为______． 15. 若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为______． 16. 二次函数的图象如图所示，下列结论中，正确的有______．（填序号） ①；②；③方程的两个根是，；④． 三．解答题：本大题6个小题，共32分 17. 解方程：． 18. 若二次函数的开口向下，求的值． 19. 已知关于x的方程．求证：不论m为何值，方程总有实数根． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，在平面直角坐标系中，点的坐标为，请在平面直角坐标系中画出绕点按顺时针方向旋转后，得到的新图形，并写出、的坐标． 21. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出函数的顶点坐标； （2）写出方程的两个根； （3）写出不等式的解集． 22. 如图，菱形的对角线、交于点，若与关于点成中心对称，，，求菱形的边长． 四．解答题：本大题5小题，共40分 23. 已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． （1）求此抛物线的解析式； （2）若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 24. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 25. 近年来，电商平台带货主播成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的购书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． （1）若每本降价10元，每天可销售______本书，每天销售获利为______元； （2）若降价销售该书，每天的利润为6000元，求该书的销售单价． 26. （1）如图1，在中，，，以为边作等边三角形，将斜边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接并延长交于点F．则的度数为______； （2）如果将等腰直角三角形改为任意直角三角形（如图2），其他条件不变，猜想的度数，并加以证明． 27. 如图，抛物线过点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $