4.3 角 教案 2024-2025学年湘教版七年级数学上册

4.3　角 4.3.1　角与角的大小比较 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 理解角的概念,能比较角的大小,理解角平分线的概念. 1.理解角的定义和相关概念,掌握角的表示方法. 2.掌握角的大小比较方法. 3.认识角的平分线,能画出一个角的平分线. 4.通过在图片、实例中找角,培养学生的观察、探究、抽象、概括的能力以及把实际问题转化为数学问题的能力. 重点:理解角的两种定义,掌握角的表示方法,掌握角的大小的比较方法,理解角平分线的概念. 难点:掌握角的表示方法及会利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题. 四、教学策略 1.从学生熟悉的实物出发,引导学生明确角的初步概念.给学生提供主动探索的时间、空间,能让学生表述的要让学生自己去表述,能让学生总结的要让学生自己推导出结论,能让学生思考的要让学生自己去思考,能让学生观察的要让学生自己去观察. 2.类比线段的学习方法引出角的大小的比较的两种方法:度量法、叠合法,在学习过程中,要让每个学生都能主动地思考问题,采取小组合作学习的方式来激发学生的学习兴趣.在教学中让学生经历角的大小比较方法的探究过程,提高学生参与数学活动的积极性. (一)情境导入 1.观察下面的实物,钟面上的时针与分针、圆规和两只脚之间、折扇的扇骨与扇骨之间都给我们以什么样的形象?你发现这些实物能抽象出一些角吗?这些角有什么样的共同形象? (二)新知初探 探究一:角的定义 问题1　观察以上角的图案,你能归纳出角的特点吗?尝试去描述一下角是由什么组成的图形? 答:角的两边是由有公共端点的两条射线组成的. 问题2　一条射线绕它的端点从一个位置旋转到另一位置时,形成的图形可以看作角吗? 答:可以看作角.射线的端点叫作角的顶点.射线原来所在的位置叫作角的始边,旋转后的位置叫作角的终边,统称角的边.从始边旋转到终边所扫过的区域,叫作角的内部.如图所示: 小结:静态定义:角可以看作有公共端点的两条射线组成的图形. 动态定义:角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 问题3　如图所示,射线OA绕点O旋转,当终止位置OB和起始位置OA在同一条直线上但方向相反时,形成什么角?继续旋转,当OB又重新回到OA的位置时,又形成什么角? 答:当OB和OA在同一条直线但方向相反时,形成平角;当OB又重新回到原来位置时,形成周角. 小结: (1)角的概念:有公共端点的两条射线组成的图形叫作角,公共端点是角的顶点,两条射线是角的两条边. (2)特殊的角:平角,周角. 探究一　意图说明 通过学生的观察、对比、分析和讨论,发现角的共同特征,并在此基础上归纳角的定义,以此来培养学生的观察能力和运用数学语言表述的能力. 探究二:角的表示方法 问题1　 有哪些方式可以表示如图所示:所示的角? 1.用一个大写字母表示:∠　O　.  2.用三个大写字母表示:∠　AOB　或∠　BOA　.  3.用一个小写希腊字母或数字表示:∠　α　或∠　1　.  问题2　如图所示,图中有哪些角?如何表示?还能用∠O表示∠AOB吗? 图中的角有∠AOC(或∠1),∠BOC(或∠α),∠AOB,不能用∠O表示∠AOB. 小结 角的表示方法:用一个大写字母表示,该大写字母表示的点为顶点;用三个大写字母表示;用一个数字或一个小写希腊字母表示. 注意:当两个或两个以上的角共用一个顶点时,不能用一个大写字母表示;当用三个大写字母表示角时,必须把顶点字母放在中间;用数字或希腊字母表示角时,一定要在图形中标出. 探究二　意图说明 通过学生自学课本,独立尝试,组内交流讨论,归纳出角的三种表示方法,教师适时指导,纠正存在的问题. 探究三　角的比较 问题1　如图(1)所示,已知线段AB和线段CD,如何比较这两条线段的大小呢? 解:线段的大小可以用度量法和叠合法来比较.] 问题2　如图(2)所示,已知∠ABC和∠DEF,类比线段的长短比较方法,你会比较角的大小吗? (1)度量法:量出度数,再比较大小; (2)叠合法:把角的一条边叠合在一起,通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小. ∠AOB<∠A'O'B'∠AOB=∠A'O'B'∠AOB>∠A'O'B' (3)利用圆规比较张角:如图所示:设画出的两角分别为∠ABC,∠DEF.分别以两角的顶点B,E为圆心,以相同长度的半径画一段圆弧,与∠ABC,∠DEF的两边分别相交于点M,N及点P,Q,再将圆规尖移至点M处,使另一脚落在点N处.在不改变圆规张角的条件下,将圆规尖移至点P处. 如图(1)所示,若另一脚可与点Q重合,则∠ABC=∠DEF; 如图(2)所示,若另一脚落在∠DEF内部,则∠ABC<∠DEF; 如图(3)所示,若另一脚落在∠DEF外部,则∠ABC>∠DEF. 探究三　意图说明 1.通过类比线段的大小比较方法,让学生学会角的大小比较的方法. 2.让学生分组讨论角的比较方法,在学生讨论过程中,教师观察并听取学生解决问题的方法和建议.注意不要急于给出结论,要调动学生的积极性,吸引其注意力. 探究四:角的平分线 问题二如图所示,∠AOB,将角沿通过顶点O的一条直线折叠,使∠AOB的边OA与OB重合,设OC是折痕,比较一下∠AOC与∠BOC的大小,射线OC具有什么特征? 解:∠AOC=∠COB;OC把∠AOB分成相等的两个角. 追问:∠AOB与∠AOC的大小存在什么数量关系? 答:∠AOB=2∠AOC或∠AOC=∠AOB. 小结: 角平分线的定义: 以一个角的顶点为端点的一条射线,如果把这个角分成两个相等的角,那么这条射线叫作这个角的平分线. 应用格式: 因为OC是∠AOB的平分线, 所以∠AOC=∠BOC=∠AOB,∠AOB=2∠BOC=2∠AOC. 探究四　意图说明 通过折纸寻找角的平分线,学生在动手的过程中,培养了动手操作能力,同时也培养了他们的兴趣,体会了数学中类比思想的运用. 探究五　例题讲解 1. 如图所示,写出图中符合下列条件的角. (1)能用一个大写字母表示的角; (2)以点A为顶点的角; (3)所有小于180°的角. 解:(1)∠B,∠C. (2)∠1(或∠CAD),∠2(或∠DAB),∠BAC. (3)∠B,∠C,∠1,∠2,∠BAC,∠3,∠4. 2.(1)如图所示,射线OC,OD分别在∠AOB的内部、外部,下列各式错误的是(D) A.∠AOB<∠AOD B.∠BOC<∠AOB C.∠COD<∠AOD D.∠AOB<∠AOC (2)如图所示,其中最大的角是∠AOD,∠DOC,∠DOB,∠DOA的大小关系是　∠DOA>∠DOB>∠DOC　.  3.在一张半透明的纸上通过折叠作出角的平分线. 解:(1)画图:在半透明纸上画出∠PQR; (2)折纸:使∠PQR的两边QP和QR重合; (3)展开:OH就是∠PQR的角平分线. 探究五　意图说明 通过解决问题,巩固本节课所学的知识,同时提高学生运用知识的能力.强化角的表示方法、角的大小比较方法以及角平分线的定义. (三)课堂小结 1.角的概念: 有公共端点的两条射线组成的图形. 2.角的表示方法: (1)三个大写字母或一个大写字母表示; (2)一个数字表示; (3)一个小写希腊字母表示. 3.角与角的大小比较 (1)度量法; (2)叠合法: (3)利用圆规比较张角. 4.角的平分线的定义　 　　在处理教材时,首先从学生在生活中的常见的物体图片导入新课,引导学生一步步的通过学生观察、讨论、交流、主动探索新知识,整堂课学生动手操作较多,从实践中获取知识,而从课堂反馈情况来看,学生在掌握角的表示方法时还有所欠缺,容易出现表示法错误,所以在课堂上针对学生出现的错误不断的纠正,另外角平分线的知识在后边的学习中用途很广,要让学生充分理解它的概念,并能把文字语言和数学语言相结合,为以后的学习打下基础,整节课学生学习积极性高,操作性强,学生不仅学到了知识,还提高了动手能力和合作学习的能力. 4.3.2　角的度量与计算 第1课时　角的度量与计算 认识度,分,秒等角的度量单位,能进行简单的单位换算. 1.认识角的单位,会进行度、分、秒之间的换算. 2.根据角度的换算,会进行角度之间的加减运算. 重点:掌握角的度量与计算. 难点:度、分、秒的换算. 1.在学习角的单位及换算时,通过教师讲授、学生自学、独立尝试、组内交流讨论、集体点评等方式让学生自觉发现问题,解决问题. 2.从量角器的非整数度的实际应用出发,体会比角的更小的单位的引进,经历观察、推理、交流等活动,培养学生的推理能力和有条理的表达能力。通过直接感知、参与的过程,培养学生几何直观. (一)情境导入 图片中的时针和分针的夹角分别是多少度的角?所成的角是直角、锐角还是钝角?以前我们是如何定义的? 我们已经知道一个周角等于360°,一个平角等于180°,把一个周角(即它的旋转量)分为360等份,每一等份叫作1度,记作1°. 平角的一半(即90°的角)叫作直角,小于直角(即小于90°)的角叫作锐角,大于直角但小于平角(即大于90但小于180°)的角叫作钝角. (二)新知初探 探究一:角的度量 问题1　我们怎么知道一个角的大小? 答:用量角器测量 问题2　我们知道,时间不是整点的时候我们有分、秒来计算,那么我们测量一个角的度数,不是整数度数怎么办? 答:我们需要知道更小的度数单位来度量. 问题3　我们通常怎么划分角度的最小单位? 答:把一个周角分为360等份,每一份就是1度的角,记作1°;把1度的角分成60等份,每一等份叫作1分,记作1';把1分的角分成60等份,每一等份叫作1 秒,记作1″.度、分、秒是角的基本度量单位. 1°=60',1'=60″,1'=°,1″='. 探究一　意图说明 通过学生度量角,发现有些角度不是整数度数时,需要引入更小的度量单位,类比时间单位,定义角度的更小单位,让学生知道度、分、秒之间的转化. 探究二:例题讲解 例1　用度、分、秒表示54.26°。 解:54.26°=54°+0.26° 又0.26°=0.26×60'=15.6'=15'+0.6', 而0.6'=0.6×60″=36″, 因此,54.26°=54°15'36″. 例2　用度表示48°25'48″。 解:48″=48×()'=0.8', 25'48″=25'+48″=25'+0.8'=25.8' 25.8'=25.8×()°=0.43°, 因此,48°25'48″=48.43°. 例3　计算:(1)37°28'+24°35';(2)83°20'-45°38'20″。 解:(1)37°28'+24°35'=61°63'=62°3'; (2)83°20'-45°38'20″=82°79'60″-45°38'20″=37°41'40″. 小结 用度、分、秒表示的角度和用度表示的角度的相互转化的过程正好相反:大单位化小单位,乘以进率;而小单位化大单位要除以进率. 探究二　意图说明 通过让学生用把角度由大单位化成小单位,或由小单位化成大单位的过程,按照度、分、秒之间的换算关系进行换算,让学生体会度、分、秒之间的换算方法,另外让学生知道角度的和差计算时,要做到度与度、分与分、秒与秒分别运算,再按照要求写出结果. (三)课堂小结 1、角的度量单位:度、分、秒. 2、角的分类:直角、锐角、钝角. 3、角的换算 　　本节课是角度的换算单位及角度的计算,首先用小学学过知识导入新课,然后让学生动手测量角,根据角不能用整度来表示时,引出角度较小的单位就很具有必要性,激发了学生学习的积极性和兴趣,类比时间单位引出角度的计算单位是度、分、秒、知识生成较自然,通过小组合作、交流、总结、归纳等活动,达到良好的学习效果,当然从学生的反馈看,尽管知识掌握较好,但在实际的角度计算时,还会出现一些错误,这就需要再继续强化训练. 4.3.2　角的度量与计算 第2课时　余角和补角 理解余角、补角的概念,探索并掌握同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质. 1.在具体情境中认识余角和补角,会利用互余、互补关系求出角的度数. 2.探索并掌握余角和补角的性质. 3.通过互余与互补关系的应用,进一步提高学生的抽象概括能力和逻辑推理能力. 重点:理解余角、补角的概念及性质. 难点:运用余角、补角的相关知识解题. 1.通过动态课件演示引出概念,充分调动学生的学习兴趣,把学生吸引到课堂上来,使数学知识充满新鲜感,增强学生对几何图形的敏感性. 2.在具体的教学过程中坚持“数形结合”,从学生熟悉的知识着手,讲解余角和补角的性质时,先以代数的形式出现,然后在练习中再强化从图形上形象地理解性质,激发学生的学习兴趣,促成好的学习方法,培养学生的几何直观,养成良好的学习习惯. (一)情境导入 如图(1)所示,坝底是由石块堆积而成,要测出∠1的度数,你有什么简单的方法吗?如图(2)所示,∠1和∠2是直角吗?它们之间有什么关系?如图(3)所示.∠1与∠2有什么关系? 要解决这问题,我们先来学习余角和补角. (二)新知初探 探究一:余角和补角的概念 1.如图所示,将一张长方形纸片,沿一个角折叠后,折痕与长方形的边形成了4个角. 问题1　∠1与∠2有什么数量关系? 解:∠1+∠2=90°. 问题2　∠3与∠4有什么数量关系? 解:∠3+∠4=180°. 小结: (1)如果两个角的和等于一个直角(90°),那么就说这两个角互为　余角　(简称　互余　),也说其中一个角是另一个角的余角.　  (2)如果两个角的和等于一个平角(180°),那么就说这两个角互为　补角　(简　互补　),也说其中一个角是另一个角的补角.  练习 (1)图中给出的各角,哪些互为余角? (2)图中给出的各角,哪些互为补角? 探究一　意图说明 1.让学生从直观的角度去感受互为余(补)角的概念.并用语言去表达这个概念,培养学生的归纳总结能力和口头表达能力. 2.学生回答后教师再进行说明,强调互为余角反映的是角的数量关系,而不是角的位置关系. 探究二:余角和补角的性质 问题1　 ∠1与∠2互补,∠1与∠3互补,那么∠2与∠3的大小有什么关系?请说明理由. 解:∠2=∠3. 因为∠1与∠2互补,∠1与∠3互补, 所以∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°. 所以∠2=180°-∠1,∠3=180°-∠1. 所以∠2=∠3.(等量代换) 问题2　 ∠4与∠5互余,∠4与∠6互余,那么∠5与∠6的大小有什么关系?请说明理由. 解:∠5=∠6. 因为∠4与∠5互余,∠4与∠6互余, 所以∠4+∠5=90°,∠4+∠6=90°. 所以∠5=90°-∠4,∠6=90°-∠4, 所以∠5=∠6(等量代换). 问题3　对于上面的两个问题,你发现了什么结论?你能将这个结论用数学语言进行叙述吗? 小结:同角(或等角)的补角相等. 类似地,可以得到同角(或等角)的余角相等. 探究二　意图说明 1.让学生先通过观察得到结论,再对结论进行推理说明,最后用数学语言归纳总结出性质,培养学生的推理能力与归纳总结能力. 2.充分放手给学生,让学生自己得出结论,体验探究的乐趣. 探究三:例题讲解 例1　如图所示,点A,O,B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,图中哪些角互为余角? 解:因为点A,O,B在同一条直线上,所以∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC, 所以∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°. 所以∠COD和∠COE互为余角. 同理∠AOD和∠BOE,∠AOD和∠COE,∠COD和∠BOE也互为余角. 例2　如图所示,∠AOB与∠BOD互为余角,OC是∠BOD的平分线,∠AOB=29.66°,求∠COD的度数. 解:因为∠AOB与∠BOD互为余角, 所以∠BOD=90°-∠AOB=90°-29.66°=60.34°. 又因为OC是∠BOD的平分线, 所以∠COD=∠BOD=×60.34°=30.17°, 因此,求∠COD的度数为30.17°. 例3.若一个角的补角等于它的余角的4倍,求这个角的度数. 解:设这个角为x°,则它的补角是(180-x)°,余角是(90-x)°. 根据题意,得180-x=4(90-x). 解得x=60. 因此这个角的度数是60°. 探究三　意图说明 1.通过例题的讲解使学生巩固互余和互补的概念,初步体会由定义求一个锐角的余角和一个角的补角的过程,体会识图能力在解决问题时所带来的方便之处,培养学生用分析法来解决几何问题, 2.通过应用余角和补角的性质解决问题,进一步培养学生的几何直观与具体内容见名校课件逻辑推理能力,提高学生学好数学的自信心。 (三)课堂小结 1.角的关系 (1)互为余角; (2)互为补角. 2.角的性质: (1)同角(或等角)的余角相等; (2)同角(或等角)的补角相等. 　　本节课是在认识了直角、平角,比较角的大小后,引进余角、补角的概念及性质,为今后证明角的相等和判定两直线平行提供了一种依据和方法,教学中注重启发学生动脑思考与合作探究,在讲余角、补角性质时,先以图形的形式出现,然后再从几何推理理解性质,激发学生的学习兴趣,促成好的学习方法,养成良好的学习习惯,在教学中始终以学生为主体,让学生不断的说,总结,注重数形结合思想的应用,通过做题巩固本节课的知识,提高学生识别图形的能力和推理能力,本节课的不足之处是学生板书太少,展示少. 学科网（北京）股份有限公司 $$