辽宁省辽阳市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

高一考试数学试卷参考答案 1.C由题可知P∈l,P∈a,ICa,l￠3. 2.B由题可知(2-i)2十m(2-i)十5=0，整理得(2m十8)-(m十4)i=0,解得m=一4 3A1a+3b1=(a+3b)=a+6ab+9b2=10+6ab=9,则a·b=-言从而a,b夹 角的余弦值为一。 4.D因为OA'=√2，△OAB的面积为3，所以边OA'上的高为3√2，则O'B'=6,从而OB =20B'=12. 五A由A=2B,可得mA=s血2B=2nBsB.因为A+B=3B<所以B<号，号 cosB<1,则inA=2 2sin Beos B>sinB,取A=号，B=齐，满足sinA>sinB,但不满足A =2B,故“A=2B”是“sinA>sinB”的充分不必要条件. 6.B sin 2a=sin[(a+B)+(a-B)]=sin(a+B)cos(a-B)+cos(a+B)sin(a-B)=m,sin 23 =sin[(a+3)-(a-B)]=sin(a十3)cos(a-B)-cos(a十3)sin(a-3)=n,得sin(a十3)· cosa-m-m士a(a+a)ma-)="2,则a2a二-a8+ cos(a++B)sin(a-B)tan(a-B) m十n m一1 7.A如图，由题可知∠ACB=15°+45°=60°，∠BAC=75°，BC=20米，由A sin∠ACB-sin∠BAc,则AB-20sin60°-105 正弦定理可得AB BC sin75° 2+6 4 (302-10√6)米 8.D因为点Q与点P关于点B对称，所以PQ=2PB,则PA·PQ-2PA·PB.取AB的中 点O,连接PO(图略)，则PA=P0+OA,PB=P0+OB=P0-OA,则PA·PB=(PO+ OA)·(P0-O)-P62-Oi2-P02-4.当点P与点C或点D重合时，PO1取得最大值 22,则P02-4≤4，从而PA·PQ的最大值为8. 9.AC因为1=4-3i,x2=2+i,所以1·2=8+4i-6i-32=11-2i,x2|=√22+1卫= √5.1十之2=6一2i,则1十22的虚部为一2,1一2=2一4i,则x1一22在复平面内对应的点 位于第四象限。 10.BD因为0)=1，所以血年=之又0<g<受所以g=看A不正确因为（ ）=0, 所以+看-kZ.得u=183 5 k∈乙.又f(x)的最小正周期T=2红>2×西， 181 得0<w<,所以w-18,3-3,则了x)的最小正周期为号，B正确警+音-2受≠受 18 5 十kx,kEZ.所以f(x)的图象不关于直线x号对称，C不正确将了(x)图象上所有点的 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=2si(x十)的图象，再将所得的图象向 右平移受个单位长度，得到函数y=2sin(x一于)的图象，D正确。 11.ABD如图，设正方形ABCD的中心为G,连接PG.在 △PAC中，E,F,G分别为PA,PC,AC的中点，设PG∩EF 一H,则H为PG的中点.在PD上取点J,连接GJ,使得GJ /0.则PQ-QJ且QI-JD,所以品专A正确由正四 棱锥P-ABCD可得AC⊥平面PBD,PG⊥平面ABCD,则 EF⊥平面PBD.连接DH,则V:m-吉Sm·EF-专× BD,GH·EF,Vm-吉×号BD·AC·PG=VEe,B正确 若君-，不妨设AB=2,PA=,正四棱锥P-ABCD内切球的半径为，外接球的半径 为R,则PG=PG-厅.R=(E)+(5一R户，解得R=5.正四棱锥 P-ABCD的体积为时×2×2×月-1后表面积为2×2+4X号×2×5可=12.则片× 12r=43 VP-NFQE_VPe 3 VEe.且Se 号，C不正，确因为7 FAD VFA VANP =号所 VpnpoE VEB四= 1 以VPAD VA-BDP ,从而正四棱锥P-ABCD被平面BEF分成的上、下两部分的体积之 比为1：5，D正确. 12.、 2 5 因为角a的终边经过点（√2√3），所以cos(π一a)=一cosa= W(2)2+(5) √10 零 D C 如图，在正方体的右侧补一个棱长相等的正方体，取 MN的中点F,连接B,F,DF,易得BE∥BF,则直线BE 与B,D所成的角为∠DB,F或其补角.设正方体的棱长为 2,可得B1D=23,B,F=5,DF=√2I,则cos∠DB,F= B D2+BF-DF2 15 2B1D·B1F ，即直线BE与B,D所成角 的余弦值为零 1.由56=2a+b+e)(a+b-c).可得号b=(a+6-e,则c2=a2++2ab- b因 5 为a=1,所以c2=a2+b2-b.又c2=a2+62-2 abosC.所以cosC=是 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 15.解：(1)因为a=(sinx,2),b=(2cosx,1),所以f(x)=a·b=2 sin xcos x+2=sin2x+ 2.…2分 令一号十2km≤2元≤污十2次元，k∈Z,……4分 得-开+kx≤x<牙+kx,k∈Z, …6分 故f(x)的单调递增区间为[一齐+kx,不+kx]∈Z》。 …7分 (2)由(1)可知，f(a)=2 sin ac0sa十2= 2sin acos a+2 …10分 sin'a+cos a 2ana+2=。3+2=38 …13分 tan'a+1 9 13 16.(1)证明：过M作MN∥AD,与PA交于点N,连接BN.…1分 因为AD∥BC,所以MN∥BC.…2分 因为PM-吉DM,所以答器则N=子AD, …3分 又AD=4BC,所以MN=BC,…4分 则四边形BCMN为平行四边形，从而CM∥BN.…5分 因为CM￠平面PAB,BNC平面PAB,所以CM∥平面 PAB.…7分 (2)解：因为AB⊥BC,AB=√3BC,所以AC-2BC,∠BAC =30,…8分 则∠DAC=60°.由AD=4BC=2AC,可得AC⊥CD.…9分 取AD的中点O,因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD. …10分 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD-AD,所以PO⊥平面ABCD.… ………1分 过点O作OG⊥CD,垂足为G,则CD⊥平面POG,从而∠PGO即为二面角P-CD-A的平 面角.…12分 由AC⊥CD,0为AD的中点，可得OG=2AC=BC,P0=5A0=25BC,…13分 则PG=√/PO2+OG=√13BC,…14分 ∠C0-品-否故二面角P(DA的余弦值为 …15分 17.解：(1)当点P与点E重合时，矩形铁皮PHCG的面积为(3√3一2)×3=9√3一6.…2分 当点P与点F重合时，矩形铁皮PHCG的面积为33×(3一2)=33. …4分 因为9√3-6-33=63一6>0，… …5分 所以当点P与点E重合时，矩形铁皮的面积比当点P与点F重合时，矩形铁皮的面积大 …6分 (2)设∠EAP=0,由题可得P(2cos0,2sin0),G(2cos0,3),H(33,2sin0),…7分 则P⑧H=63cos0+4sin0,P⑧G=4cos20+6sin0,H⑧G=6V3cos0+6sin0,…8分 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 则P®H+P8G_6Bcos0+6sin0+4=1+ 2 =1+ e.... H⑧G 63 cos 0+6sin 0 3sin0+3√3cos0 3sin(0+5》) 10分 因为0∈[o,]所以0+音∈[号]n(0+)∈[]， …12分 1 所 127 e33 …14分 3sim(0+子 从 P⑧H+P8C 「451 HG 的取值范围为33」 15分 18.(1)证明：在正三棱柱ABC-AB1C1中，AA1⊥底面ABC,△ABC为正三角形.…1分 因为D为AB的中点，所以CD⊥AB.…2分 又CDC底面ABC,所以CD⊥AA1. 3分 因为AB∩AA,=A,所以CD⊥平面ABB1A1.…4分 又A1EC平面ABB1A1,所以CD⊥AE. 5分 (2)证明：连接AD.因为D,E分别为AB,BB1的中点，AB=2,AA1=2√2， 所以DE=5,A,E=6,A1D=3,…7分 则DE2十A1E2=A1D2,从而AE⊥DE.…8分 由(1)可知CD⊥AE,因为DE∩CD=D,所以AE⊥平面CDE.…9分 又AEC平面A,CE,所以平面A,CE⊥平面CDE.…10分 (3)解：连接C1E,C1D.因为D为AB的中点，所以点D到平面CC1EA 的距离等于点A到平面C℃1E的距离的一半.…11分 在正三棱柱ABC-AB,C1中，由AB=2,可得点A到平面CCE的距 离为3，则点D到平面CCE的距离为号， ,…12分 23 …13分 由CD⊥平面ABB,A1·DEC平面ABB1A1,可得CD⊥DE, 4… …14分 且CD=B,DE=3.则Se-CD·DE- 2 …15分 设点C到平面CDE的距离为d,则Vce= 3Sae·d= …16分 由V=,G,可得d-2.即点C到平面CDE的距离为 w6 3 …17分 19.解：1)由余弦定理知c2=a2+6-2 bosC=a+b三ab=25 。…1分 因为a2+b2+c2=4ab.所以a2+62=名 3☑b,则4b=15.2分 由cosC-号，可得simC=1-cosC-22 3 …3分 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 则△ABC的面积为2 absin C=-5厄. 4分 a2+b2>c2, (2)因为△ABC为锐角三角形，所以a2+c2>b2, 5分 b2+c2>a2, (c*=Aab-a2-b2<2ab, 代入a2+b+c2=4ab,可得b2<2ab, 6分 a2<2ab. 整理得号号<2，且号1 7分 cos C= a'tb-c"_a'tb:-2ab_atb 2ab …8分 ab 一2. 由双勾函数f(x)=x+的单调性可知，了x)在(2,1上单调递减，在(1,2)上单调递增， 且(）=f2)=号，=2. …9分 从而0<cosC<2: 10分 则C∈(，号》.… …11分 1 11cos A cos B cos C (3)因为anA十anB+anC-snA十snB十sinC 12分 cos Asin B+sin Acos B cos Csin(A+B)cosC sin C cos C sin Asin B sin C sin Asin B'sin C sin Asin B sin C …13分 _sin'C+sin Asin Bcos C c2+abcos C sin Asin Bsin C absin C …14分 2c2+a2+b2-c2a2+b2+c2_2 2absin C 2absin C sin C' …15分 由2)可知Ce(停爱》所以血Ce(停…16分 1+ 1 …17分 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】高一考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第三，四册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 正确的. 1.已知点P在直线1上，直线1在平面α内，但不在平面3内，下列符号表示点、线、面的关系正 确的是 A.PCI B.PCa C.lCa D.IB 2.已知2一i是关于x的方程x2十mx十5=0在复数范围内的一个根，则实数m= A.4 B.-4 C.2 D.-2 3.已知两个单位向量a,b满足a十3b1=3,则a,b夹角的余弦值为 A-吉 R吉 ca n号 4.如图，△OAB是用斜二测画法画出的水平放置的△OAB的直观图，若OA'一√2，△OA'B的面 积为3，则OB= A.62 B.12√2 C.6 D.12 5.在△ABC中，“A=2B”是“sinA>sinB”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知sin2a=m,sin29=n,且m≠n,则anCa± tan(a-B) Am一刀 Bm十n C. D” “m十n m-n m 7.已知点A在点B的正西方向，为了测量A,B两点之间的距离，在观测点C处测得A在C的 北偏西15°方向，B在C的北偏东45°方向，且B,C两点之间的距离为20米，则A,B两点之 间的距离为 A.(30√2-10W6)米 B.(30√2+10√6)米 C.(30-10√3)米 D.(30+10W3)米 【高一数学第1页（共4页）】 8.在矩形ABCD中，AB=2AD=4,P是矩形ABCD区域内一点（含边界），点Q与点P关于 点B对称，则PA·PQ的最大值为 A.4 B.6 C.7 D.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数1=4一3i,x2=2十i,则 A.1·x2=11-21 B.lx2|=5 C.1十x2的虚部为一2 D.1一之2在复平面内对应的点位于第二象限 10.函数f(x)=2sin(ux十p)(w>0,0<g<受)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 A9= 3 Af)的最小正周期为号 Cf:)的图象关于直线x-号对称 D.为了得到函数y=2sin(x-)的图象，只需将f(x)图象上所有点 的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度即可 11.如图，在正四棱锥P-ABCD中，E,F分别是PA,PC的中点，则下列结论正确的是 A设PDn平面BEF=Q,则品号 B.三棱锥E-BDF与正四棱锥P-ABCD的体积之比为1：4 C若治-气则正四陵锥P-ABCD内切球与外接球的半径之 比为1：6 D.正四棱锥P-ABCD被平面BEF分成的上、下两部分的体积 之比为15 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知角a的终边经过点(W2,√3)，则cos(π一a)= 13.在正方体ABCD-A:B1C,D1中，E是AA1的中点，则直线BE与B,D所成角的余弦值为 14.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,5b=2(a+b十c)(a+b-c), 则cosC=▲ 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知向量a=(sinx,2),b=(2cosx,1),函数f(x)=a·b. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)若ana=2,求f(a)的值. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AD∥BC,AD=4BC,M是线段PD 上-点，且PM=DM (1)证明：CM平面PAB (2)若△PAD是正三角形，AB⊥BC,AB=√3BC,求二面角P-CD-A的余弦值 17.(15分) 如图，四边形ABCD是一块矩形铁皮，AB=3√3，AD=3.该铁皮内有一半径为2的扇形 AEF(E在AB上，F在AD上)区域因被腐蚀而不能使用，其余部分可以使用.工人计划在 EF上找一点P(包含E,F),作PG⊥CD,PH⊥BC,得到可以使用的矩形铁皮PHCG. (1)试比较当点P分别与点E,F重合时，矩形铁皮PHCG的面积的大小 (2)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.定 义：若M1y),N(xy2),则M⑧N=x1,十y3y,求PH+P8S的取值范围. H⑧G D G B 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分) 如图，在正三棱柱ABCA:B1C1中，D,E分别为AB,BB1的中点，AB=2,AA1=2√2 (1)证明：CD⊥A1E (2)证明：平面A1CE⊥平面CDE (3)求点C1到平面CDE的距离. C B B 19.(17分) 已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2+c2=4ab (1)若c-5,c0sC-号，求△ABC的面积： (2)求C的取值范围； 1 (3)求anA十anB十anC的取值范围. 1 [高一数学第4页（共4页）】