福建省泉州市台商区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年福建省泉州市台商区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一种纳米材料的厚度是，数据用科学记数法表示为 A. B. C. D. 2.不能判定一个四边形是平行四边形的条件是(    ) A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行另一组对边相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别相等 3.如果点和点关于轴对称，则的值是(    ) A. B. C. D. 4.若分式方程有增根，则这个增根的值为(    ) A. B. C. D. 或 5.在一次引体向上的测试中，小明等位同学引体向上的次数分别为：，，，，，关于这组数据，下列说法正确的是(    ) A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 众数是和 6.某校八年级学生去距学校的科技馆参观，一部分学生骑自行车，过了，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑自行车学生速度的倍，设骑自行车学生的速度为，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在菱形中，，菱形的面积为，则菱形边长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，函数与在同一直角坐标系中的图象大致为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在正方形中，点在对角线上，连接，于点，交于点，连接，已知，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 10.如图，已知、、、是平面坐标系中坐标轴上的点，且≌设直线的表达式为，直线的表达式为，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.计算：______． 12.如图，函数和的图象相交于点，则关于不等式的解集为______． 13.如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为______． 14.已知点，，都在反比例函数为常数的图象上，且，则，，的大小关系为______请用“”连接． 15.已知关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是______． 16.如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点、是坐标轴上的动点，若正方形的边长为，则线段长的最大值是______． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程：． 18.本小题分 先化简，再求代数式的值：，其中． 19.本小题分 如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，交的延长线于点求证：． 20.本小题分 为了增强学生的防溺水安全意识，某校举办了“防溺水安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动八班陈老师组织全班同学通过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名成绩较高的学生代表班级参加比赛如表是这两名同学参加各项活动的比赛成绩单位：分： 选手 主题活动项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 乙 如果根据三项比赛的平均成绩确定人选，那么谁将被选中？ 如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项成绩得分按，，的比例确定两人的比赛成绩，那么谁将被选中？ 21.本小题分 如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数的图象交于、两点，且与轴交于点，与轴交于点，点的横坐标与点的纵坐标都是． 求一次函数的表达式； 求的面积． 22.本小题分 如图，在矩形中，，，连结． 尺规作图：作菱形，使得点，分别在边，上保留作图痕迹，不写作法． 求中所作的菱形的边长． 23.本小题分 【综合实践】 如图所示，是天工开物中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即，受桔槔汲水的启发，小明同学组装了如图所示的装置其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． 若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物对绳子的拉力为______； 为了让装置有更多的使用空间，小明同学准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化，设重物的拉力为，的长度为，则： 关于的函数解析式是______． 完成表格： ______； ______． 在图的直角坐标系中画出该函数的图象． 在中所求函数的图象上存在点，当阻力臂移动到某个位置时，点到原点的距离最小，请确定点的坐标，并说明理由． 24.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点为的中点，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线方向运动；当点到达点时，点也停止运动．以，为邻边构造▱，设点运动的时间为秒． 点的坐标为______，直线的解析式为______． 当点运动至点时，连结，求证：． 如图，连结，当点恰好落在的边所在的直线上时，求所有满足要求的的值． 25.本小题分 如图，已知正方形的边长为，点关于直线的对称点是点，连结、、、，设． 若点是边上的一个动点， 如图，当点落在对角线上时，求的值； 如图，若的延长线交边于点，并且，求的面积；  若点是射线上的一个动点，当时，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：数据用科学记数法表示为． 故选：． 绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 2.【答案】  【解析】解：、两组对边分别平行，可判定该四边形是平行四边形，故A不符合题意； B、一组对边平行另一组对边相等，不能判定该四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故B符合题意； C、一组对边平行且相等，可判定该四边形是平行四边形，故C不符合题意； D、两组对边分别相等，可判定该四边形是平行四边形，故D不符合题意 故选：． 根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案． 此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形． 3.【答案】  【解析】解：点和点关于轴对称， ，， 则的值是：． 故选：． 直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案． 此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 4.【答案】  【解析】解：已知分式方程有增根， 则， 即， 故选：． 根据增根的定义即可求得答案． 本题考查分式方程的增根，熟练掌握其定义是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：将数据重新排列为，，，，， 则这组数的众数是和， 中位数为， 平均数为， 故选：． 根据众数、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可． 本题考查了众数、中位数、平均数，解题的关键是牢记概念及公式． 6.【答案】  【解析】解：设骑自行车学生的速度为，则汽车的速度为， 由题意得，． 故选：． 设骑自行车学生的速度为，用含的代数式表示出汽车的速度，然后根据骑自行车行驶的时间汽车行驶的时间列方程即可． 本题考查了实际问题抽象出分式方程，读懂题目信息，理解两种行驶方式的时间的关系是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：四边形是菱形，面积为，且， ，，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即菱形的边长为， 故选：． 由菱形的性质得，，，，根据菱形的面积求出，然后由勾股定理求出的长即可． 本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项B符合； 时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合． 故选：． 根据反比例函数的性质和一次函数的性质，分和两种情况讨论，当取同一符号时，两函数图象能共存于同一坐标系的为正确答案． 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 9.【答案】  【解析】解：过作交于，交于，如图：， 四边形是正方形， ，， 、是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， 又， ≌， ， 的面积为， 故选：． 过作交于，交于，由四边形是正方形，可得、是等腰直角三角形，，可得，故BG，，可得，根据，可证明≌，即得，从而的面积为． 本题考查正方形性质及应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 10.【答案】  【解析】解：直线的表达式为， ，， ，， 直线的表达式为， ，， ，， ≌， ，， ，， ，， ， 故选：． 根据直线和直线的解析式，求出，，，点坐标，进一步求出，，，，再根据≌，可得，，表示出，，进一步求解即可． 本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征，涉及全等三角形的性质，求出两直线与两坐标轴的交点坐标是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：， 故答案为：． 先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 本题考查了零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：把代入． 得． 解得． 即点坐标为． 由图象可得，当时，， 关于的不等式的解集为． 故答案为：． 先把点的坐标代入中求解的值，然后根据一次函数与不等式的关系可进行求解． 本题主要考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 由可知，而矩形的对角线平分且相等得，所以是等边三角形，所以，故BD． 本题考查了矩形的性质和等边三角形的判定，关键是结合图形求出是等边三角形，进而求解． 14.【答案】  【解析】解：， 反比例函数为常数的图象分布在第二、四象限，在每一象限随的增大而增大， 点，，都在反比例函数为常数的图象上，且， 点在第四象限，，在第二象限， ． ． 故答案为：． 根据反比例函数性质判断即可． 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 15.【答案】且  【解析】解：去分母得：， 解得：， 由分式方程的解为负数，得到，且， 解得：且， 故答案为：且 分式方程去分母转化为整式，由分式方程的解是负数确定出的范围即可． 此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16.【答案】  【解析】解：如图，记的中点为，连接、， ， ， 正方形， 由勾股定理得，， 由题意知，，即， 线段长的最大值是， 故答案为：． 如图，记的中点为，连接、，则，由正方形，勾股定理得，，由题意知，，即，然后作答即可． 本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 17.【答案】．  【解析】解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 先变形，再方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 18.【答案】；．  【解析】解：原式 ； 当时， 原式． 将括号内的分式通分并计算，然后将除法化为乘法后再约分，最后将已知数值代入计算即可． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 19.【答案】证明见解答过程．  【解析】证明：在矩形中，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 根据矩形性质得，，再根据得四边形是平行四边形，再由平行四边形性质得，由此即可得出结论． 此题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，平行四边形的判定和性质是解决问题的关键． 20.【答案】甲将被选中；   甲将被选中．  【解析】甲的平均成绩为分， 乙的平均成绩为， ， 甲将被选中； 根据题意，两人的比赛成绩如下：甲的比赛成绩为分， 乙的比赛成绩为分， ， 甲将被选中． 根据平均数的计算方法进行解答即可； 根据按，，的比例计算出两人的成绩，再进行比较即可． 本题考查了加权平均数，解题的关键是根据加权平均数的计算方法来解答． 21.【答案】解：把代入，求得，故A， 把代入，求得，故B， 把，点代入得：， 解得：， 故直线解析式为：； ，当时，， 故C点坐标为：， 则的面积为：．  【解析】根据题意得出，点坐标进而利用待定系数法得出一次函数解析式； 求出一次函数与轴交点，进而利用三角形面积求法得出答案． 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求一次函数解析式、三角形面积求法等知识，正确得出，点坐标是解题关键． 22.【答案】解：如图，菱形为所作； 四边形为矩形， ， 四边形为菱形， ， 设，则，， 在中，， 解得， 即菱形的边长为．  【解析】作的垂直平分线交于点，交于点，则四边形满足条件； 根据菱形的性质得到，设，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质和菱形的判定与性质． 23.【答案】；   ；   【解析】，，，， ， 重物所受拉力为， 故答案为：； 由得， 则， 关于的函数解析式为， 故答案为：； 当时，， 当时，， 故答案为：，； 列表如下． 描点；连线，可得该函数的图象，如下图即为所求； 点在函数的图象上； 设点的坐标为， 则点到原点的距离， 当且仅当时， 取最小值为或， 或， 点坐标为或． 根据题意，直接根据求解即可； 由公式可得关于的函数解析式； 将和代入中解析式中求解即可； 根据表格数据进行描点、连线即可画出图象； 由点在函数的图象上；设点的坐标为，求得点到原点的距离，当且仅当时，取最小值为或，于是得到结论． 本题属于反比例函数综合题，主要考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． 24.【答案】，； 如图，连接， 四边形是平行四边形， ，， 点为的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ； 如图，过点作于，过点作于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 又， ≌， ，， 点，点，点， ，， ， 点， 当点落在直线上时，则，即， 当点落在直线上时， 点， 直线解析式为：， ， ， 当点落在上时， 四边形是平行四边形， 与互相平分， 线段的中点在上， ， ； 综上所述：或或．  【解析】解：点的坐标是，点的坐标是，点为的中点， 点， 设直线的解析式为：， 由题意可得：， 解得：， 直线的解析式为：； 故答案为：，； 如图，连接， 四边形是平行四边形， ，， 点为的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ； 如图，过点作于，过点作于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 又， ≌， ，， 点，点，点， ，， ， 点， 当点落在直线上时，则，即， 当点落在直线上时， 点， 直线解析式为：， ， ， 当点落在上时， 四边形是平行四边形， 与互相平分， 线段的中点在上， ， ； 综上所述：或或． 由中点坐标公式可求点坐标，利用待定系数法可求解析式； 通过证明四边形是平行四边形，可得结论； 分三种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解． 本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 25.【答案】解：如图，点关于直线的对称点是点， ，，， 点落在对角线上， ， 正方形的边长为， ，， ， 中，， ， 即； 如图，由对称得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ，， 中，， ， ， ； 如图，过作，交的延长线于，过作于， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ．  【解析】根据点落在对角线上，可知：，根据是等腰直角三角形得，得的值为； 如图，先根据等腰三角形的判定得：，同理可得：，根据勾股定理得：，则，可计算的值，根据三角形的面积公式可得结论； 如图，作辅助线，构建度的直角三角形，先计算的长，证明四边形是矩形，得，最后根据度的直角三角形的性质可得的长，从而得的值． 此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，对称性，画出图形是解本题的关键，也是难点，是一道比较好的压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$