2025年浙江省杭州市钱塘区中考数学三模试卷

2025年浙江省杭州市钱塘区中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A. B. C. D. 2.如图是由个相同的小立方体块搭成的几何体，它的主视图是(    ) A. B. C. D. 3.年一季度，浙江省地区生产总值达万元数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.括号内填入“”后能使等式成立的是(    ) A. B. C. D. 5.若，则下列不等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 6.已知，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是(    ) A. B. C. D. 7.如图，将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别为，，的延长线分别交，于点，，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，为上一点，，过点作于点，交于点若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 9.已知，在反比例函数为常数，的图象上，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.如图，四边形是正方形，点在边上运动不与端点重合，连结，以为对角线作正方形，连结，当点运动时，下列比值不变的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.因式分解：______． 12.如图，直线，相交于点，于点若，则 ______． 13.已知一个不透明的盒子中装有个白球，个红球，个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中随机摸出一个球，恰好为红球的概率是______． 14.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 15.如图，在中，，分别是，的中点，是的中点，连结，交于点若，则______． 16.如图，在平行四边形中，，分别在，上，，且，把，分别沿，折叠，，的对应点分别为，若，，，四点恰好在同一直线上，，，，则的长是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：． 18.本小题分 解不等式组： 19.本小题分 如图，在矩形中，将绕点旋转至，在上，过点作，交于点，连结． 求证：． 若，，求的长． 20.本小题分 学校以班级为单位选拔学生参加校知识竞赛，在选拔赛中，每班参加比赛人数均相同，成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分，分，分，分，学校将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图． 请根据以上信息解答下列问题： 求出表格中，，的值． 班级 平均数分 中位数分 众数分 一班 二班 根据中的统计量，应选哪个班级参加校知识竞赛？请说明理由． 21.本小题分 如图，，，在上，连结，，求作的中点． 下面是甲同学的作法： 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧交于点，射线交于点，即为所求． 请根据甲同学的作法，在图中画出点，并判断该作法是否正确，说明理由． 请尝试用其他方法，在图中画出点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 22.本小题分 已知，两地间有一条千米的高速公路，甲车以千米时的速度从地匀速开往地，乙车以千米时的速度从地匀速开往地，两车同时出发，分别到达目的地后停止甲，乙两车相距的路程千米与行驶时间小时之间的函数关系如图所示． 请根据题意，直接写出，，的值． 求甲，乙两车相遇后与之间的函数关系式． 23.本小题分 在平面直角坐标系中，，在二次函数的图象上． 当时，求该函数图象的顶点坐标． 若，求的取值范围． 若，且当时，有最小值，求的值． 24.本小题分 如图，内接于，，是的中点，连结，过点作于，交于，过点作于． 若，求的大小． 若，求的值． 求证：． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：由题意知，原组合体的主视图为． 故选：． 根据主视图是从正面看，得出结论即可． 本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3.【答案】  【解析】解：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4.【答案】  【解析】解：，不是同类项，不能合并，括号内填入“”后不能使等式成立，故此选项不符合题意； B.，括号内填入“”后不能使等式成立，故此选项不符合题意； C.，括号内填入“”后不能使等式成立，故此选项不符合题意； D.，括号内填入“”后能使等式成立，故此选项符合题意； 故选：． A.根据，不是同类项，不能合并，进行判断即可； B.根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； C.根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可； D.根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可． 本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则和幂的乘方法则． 5.【答案】  【解析】解：， ，故A选项正确，符合题意； B.， ，故B选项错误，不符合题意； C.， 当时，，当时，，当时，，故C选项错误，不符合题意； D.， 当时，，当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：． 根据不等式的基本性质逐一进行分析判断即可． 本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：由点的坐标特征可知点与点关于轴对称； 由于选项C、的图象关于原点对称，因此选项C、不符合题意； 由、坐标可知，在对称轴的右侧，随的增大而增大， 观察选项A、，只有选项的图象在对称轴的右侧，随的增大而增大， 故选：． 由点 ，的坐标特点，可知函数图象关于轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴右侧随的增大而增大，由此得出答案． 本题考查函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 7.【答案】  【解析】解：将绕点顺时针旋转得到， ， 即， 故选项C正确，符合题意， 由已知条件无法得出选项A，，中的结论， 故选：． 根据旋转的性质逐一判断即可． 本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：在中，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故选：． 根据三角形外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出，进而得，然后根据即可得出的度数． 此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 9.【答案】  【解析】解：、，图象分布在第一、三象限，在第三象限，在第一象限，故，选项说法错误，不符合题意； B、，图象分布在第一、三象限，在第三象限，在第一象限，故，选项说法错误，不符合题意； C、，图象分布在第二、四象限，在第四象限，在第二象限，故，选项说法错误，不符合题意； D、，图象分布在第二、四象限，在第四象限，在第二象限，故，选项说法正确，符合题意； 故选：． 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 10.【答案】  【解析】解：延长到，使，连接，如图所示： 四边形是正方形， ，，， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 当点运动时，的值不变，始终等于． 故选：． 延长到，使，连接，根据正方形的性质及平行线的性质证明，，进而可依据“”判定和全等则，，由此得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，则，再证明和全等得，继而得，由此即可得出答案． 此题主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 11.【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 根据因式分解的定义，用提公因式法得． 本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握公因式的找法是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：， ， ，， ， ， 故答案为：． 先根据已知条件和垂直定义求出，再根据和已知条件，求出，最后根据对顶角相等求出即可． 本题主要考查了对顶角和邻补角，解题关键是熟练掌握对顶角的性质和垂直定义． 13.【答案】  【解析】解：从不透明的盒子中随机摸出一个球有中情况， 从中随机摸出一个球，恰好为红球有种情况， 从中随机摸出一个球，恰好为红球的概率是， 故答案为：． 根据概率公式求从中随机摸出一个球恰好为红球的概率． 本题主要考查概率公式，掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：根据题意得：， 解得：， 即的取值范围为． 故答案为：． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：，分别是边，的中点， ，，， 点是的中点， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， 故答案为：． 根据三角形中位线定理得，，根据相似三角形的判定和性质得∽，可得，则，，根据线段的和差计算即可． 本题考查的是相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定和性质定理以及三角形中位线定理是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形， ， 由折叠得，，，， ， ， ，，，四点在同一直线上，， ， ， ， 和都是等边三角形， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 作交的延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 由平行四边形的性质得，由折叠得，，，，因为，所以，因为，所以，可证明和都是等边三角形，则，所以，求得，则，作交的延长线于点，则，所以，则，求得，由，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、翻折变换的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、解直角三角形等知识，推导出和都是等边三角形是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：原式 ． 利用负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，二次根式及绝对值的性质计算后再算加减即可． 本题考查实数的运算，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18.【答案】．  【解析】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定出不等式组的解集． 本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 19.【答案】见解析；   ．  【解析】证明：将绕点旋转至， ， 过点作， ， 四边形是矩形， ， 又， ≌， ； 解：， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 即的长为． 根据证明≌即可得出结论； 设，则，在中，由勾股定理得出方程求解即可． 本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟记各性质定理是解题的关键． 20.【答案】，，；   选一班级参加市知识竞赛，理由见解答答案不唯一．  【解析】由题意得：， 把二班成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故， 一班出现次数最多的是分，故； 选一班级参加市知识竞赛， 理由：从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数和众数的角度看一班比二班的成绩好，所以一班成绩好答案不唯一． 分别根据平均数、众数和中位数的定义求解即可； 只要答案符合题意即可．答案不唯一 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了平均数、中位数、众数的定义及其应用． 21.【答案】见解析；   见解析．  【解析】如图所示，点即为所求． ； 正确， 理由：由作图知，平分， ， ； 如图，连接，作线段的垂直平分线，交弧于点， 则点即为所求． 利用尺规作图作的平分线交于点，根据圆周角定理可知点即为的中点． 作线段的垂直平分线，交弧于点，则点即为所求． 本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22.【答案】，，；   ．  【解析】设两车出发后小时相遇． 根据题意，得， 解得， 乙车的速度为千米小时，两车出发后小时相遇， 甲车到达目的地用时小时， 乙车到达目的地用时小时， ，，． 当时，， 当时，， 甲，乙两车相遇后与之间的函数关系式为． 设两车出发后小时相遇，根据两车相遇及坐标列关于和的二元一次方程组并求解，从而求出的值，再分别根据时间路程速度求出和的值即可； 按照的取值范围分别写出对应的函数关系式并最终写分段函数的形式即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 23.【答案】该函数图象的顶点坐标；   ，   的值是或．  【解析】， 在二次函数图象上， ， 该函数图象的顶点坐标； ，，， ， ， ，， ， ， ， 该函数图象的对称轴为直线， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，符合题意， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，不合题意舍去， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，不合题意舍去， 综上所述，的值是或． 根据，的值，得到在二次函数图象上，化成顶点式，得到顶点坐标； 根据点坐标，表示出，，代入到，得到结果； 根据题意，得到解析式，结合题意，求得值即可． 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24.【答案】的度数是；   的值为；   证明见解答．  【解析】解：，， ， 的度数是． 解：是的中点， ， 于，于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， 或不符合题意，舍去， ， 的值为． 证明：，， ， ， ，， ， ， ． 由，，求得； 由是的中点，得，由于，于点，得，则，推导出，由，得，再证明，由，得，求得，则； 由，得，而，所以，则． 此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识，推导出及是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$