河南省实验中学2024—2025学年下学期七年级期末数学试卷

2024-2025学年河南省实验中学七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中国在芯片制造领域取得了显著成就，目前已经实现了7纳米工艺的突破.纳米为长度单位，1纳米等于米，则7纳米用科学记数法表示为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2.中国汉字形美如画以感目，意美如诗以感心.下列四个汉字中，用数学眼光来看，可近似看作是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，中，，点B在直线b上.若，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.下列说法正确的是(    ) A. 了解河南省中学生的视力和用眼卫生情况，采用普查 B. 检查“神舟二十号”载人飞船上某种零部件，采用抽样调查 C. 掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件 D. 买一张体育彩票，中一等奖是不可能事件 6.如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米那么A，B间的距离不可能是(    ) A. 5米 B. 米 C. 27米 D. 18米 7.下列命题是真命题的是(    ) A. 相等的角是对顶角 B. 等角的补角相等 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8.如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于D，连接若，则的周长是(    ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 9.若在中，，则称为“可爱三角形”，称为“可爱角”.现有一个“可爱且等腰的三角形”，这个三角形的“可爱角”应该是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. ，或 10.某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低.如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率电池含电率随充电时间分钟变化的函数图象，下列说法错误的是(    ) A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B. 本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 C. 本次充电持续时间是120分钟 D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图：，AC，BD相交于点O，要使≌，只需添加一个条件，这个条件可以是______. 12.一个角的补角比它的余角的3倍还多，则这个角是______. 13.若，，则的值为______. 14.某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费不足一天按一天计算则租金元和租赁天数之间的关系式为______. 15.如图，在中，，M是BC边上一点，，，，若点和点M关于AB对称，点和点M关于AC对称，则点，之间的距离的最小值是______，点，之间的距离的最大值是______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 计算：； 化简： 17.本小题8分 科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图. 如图②，，OE平分，CF平分 试说明： 阅读下面的解答过程，并填空理由或数学式 解：______， ____________ 平分已知， ______角平分线的定义 同理，______. 等量代换， ____________， ______ 18.本小题9分 如图，点P是内一点. 按下列要求画出图形： ①过点P画BC的垂线，垂足为点D； ②过点P画交AB于点F； 点P到直线BC的距离是线段______的长. 19.本小题9分 如图1和图2均是一个均匀的可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字.转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字当指针恰好指在分界线上时重转；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色当指针恰好指在分界线上时重转小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘. 如图1，转到数字5是______事件；填“随机”、“必然”或“不可能” 求小明转出的数字小于7的概率. 小颖认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？ 20.本小题9分 阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角. 杨辉三角 如果将为非负整数的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表. 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和.按照这个规律可以将这个表继续往下写. 该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡——是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年. 应用规律： ①直接写出的展开式，______； ②的展开式中共有______项，所有项的系数和为______； 代数推理： 已知m为整数，求证：能被18整除. 21.本小题10分 如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形.沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形. 观察图2，直接写出代数式，，mn之间的关系：______； 利用的结论和公式变形，解决下面问题： 已知，，则值为______； 两个正方形ABCD、AEFG如图3摆放.边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分的面积是多少？ 22.本小题10分 “鹿鸣博约”数学兴趣小组探究如下月题： 【问题引入】 从1，2，3，…，为整数，且这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 【模型探究】 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决月题的方法.从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果. 从1，2，3，4，这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果. 从1，2，3，…，10这10个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果. 归纳结论：从1，2，3，…，为整数，且这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有种不同的结果结果用含a的式子表示 【问题解决】 从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中面值为整数，一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有______种不同的金额. 23.本小题10分 张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.下面是张老师在“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔绍阅读，并完成相应任务. 活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图1所示，则由≌，可得 活动2：如图2，在中，，AP是的角平分线，在AC上截取，连接PQ，则≌ 请完式下列任务： 在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是______，______填序号 ①SAS ②AAS ③ASA ④SSS 【迁移探究】 如图3，在四边形ABCD中，，的平分线与的平分线恰好交于CD边上的点P，试判断PD与PC的数量关系，并说明理由. 【拓展探究】 如图4，在中，，AE，BF是的两条角平分线，且AE，BF交于点试猜想PE与PF之间的数量关系，并说明理由. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：1米纳米， 7纳米米米． 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2.【答案】D  【解析】解：根据轴对称图形的定义逐项分析判断如下： A.找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B.找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C.找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D.可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； 故选： 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线对称轴折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：，故该选项不正确，不符合题意； B.，故该选项不正确，不符合题意； C.，故该选项正确，符合题意； D.，故该选项不正确，不符合题意． 故选： 根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解． 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：如图所示，延长AC交直线b于D， ，， ， ， 故选： 利用平角的性质可推出的度数，再根据三角形的内角和即可得到 本题主要考查平行的性质和三角形的内角和性质，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：了解河南省中学生的视力和用眼卫生情况，适合采用抽样调查，故此选项不符合题意； B.检查“神舟二十号”载人飞船上某种零部件，适合用全面调查，故此选项不符合题意； C.掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件，故此选项符合题意； D.买一张体育彩票，中一等奖是随机事件，故此选项不符合题意． 故选： 根据随机事件，全面调查与抽样调查的定义作出判断． 本题考查了主要考查了抽样调查和全面调查的区别，随机事件的判断，属于基础题． 6.【答案】C  【解析】解：连接AB，设米， 米，米， 由三角形三边关系定理得：， ， 所以选项C不符合，选项A、B、D符合， 故选： 连接AB，根据三角形的三边关系定理得出不等式，即可得出选项． 本题考查了三角形的三边关系定理，能根据三角形的三边关系定理得出不等式是解此题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：A、相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意； B、命题是真命题，故B符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故C不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D不符合题意． 故选： 由对顶角的定义，补角的性质，同位角的定义，垂线的性质，即可判断． 本题考查命题与定理，余角和补角，对顶角、邻补角，垂线，同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握对顶角的定义，补角的性质，同位角的定义，垂线的性质． 8.【答案】B  【解析】解：由作法得MN垂直平分BC， ， 的周长 故选： 先利用基本作图得到MN垂直平分BC，再根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 9.【答案】C  【解析】解：是一个“可爱且等腰的三角形”， 设三角形三个角的度数为，，，则， 解得：， 此时，，即可爱角是； 设三角形的底角为，，，则， 解得：， 此时，，即可爱角是， 故三角形的“可爱角”是或， 故选： 分设三角形底角为，顶角为，或设三角形的底角为，顶角为，根据三角形的内角和为，得出答案． 本题是新定义题，主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，运用分类思想是解题的关键． 10.【答案】D  【解析】解：A、由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，不符合题意； B、由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意； C、由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意； D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时， 到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意， 故选： 仔细观察函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答即可 本题考查了由函数图象读取信息，解题的关键是读懂图象信息． 11.【答案】或或≌  【解析】解：当添加时， 在和中， ， ≌； 当添加时， 在和中， ， ≌； 当添加≌时， ≌， ，， ， 即， 在和中， ， ≌ 故填：或或≌ 本题已知条件是一条公共边和，所填条件必须和已知条件构成或经推理可以得出SSS、SAS，所以添加的条件可以是一条边对应相等或一个夹角对应相等． 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 12.【答案】  【解析】解：设这个角的度数为x， 由题意得：， 整理得，， 解得， 所以这个角的度数为， 故答案为： 设这个角的度数为x，根据和为180度的两个角互为补角，和为90度的两个角互为余角，结合已知条件，列出方程进行求解即可． 本题考查与余角和补角，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 13.【答案】8  【解析】解：当，时， 故答案为： 利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可． 本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 14.【答案】  【解析】解：由题意得：， 故答案为： 根据题意可得：租金=前两天的租金+超过两天后的租金，根据等量关系代入相应数值进行计算即可． 本题考查根据实际问题列函数解析式，正确理解题意，弄清收费方式是解题的关键． 15.【答案】  16  【解析】解：连接AM，，， 点和点M关于AB对称， ，， 点和点M关于AC对称， ，， ， ， ， ，，三点共线， ， 当AM最小时，最小． 是BC上一点， 时，AM最小， 此时， ， ， 的最小值为 是BC上一点， 点M与点B重合时，AM最大， 的最大值为， 故点，之间的距离最小值是，点，之间的距离最大值是16， 故答案为：； 根据轴对称的性质，得到，，推出A，，三点共线，得到，进而得到当AM最小时，最小，当AM最大时，最大，进行求解即可． 本题考查轴对称，掌握垂线段最短是解题的关键． 16.【答案】；    【解析】 ； 根据乘方、零指数幂，负整数指数幂，绝对值的法则进行计算，即可解答； 根据完全平方公式，单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则进行计算． 本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17.【答案】已知  OCD  两直线平行，内错角相等  AOC  OCD  CF  内错角相等，两直线平行  两直线平行，同旁内角互补  【解析】解：已知， 两直线平行，内错角相等， 平分已知， 角平分线的定义， 同理，， 等量代换， 内错角相等，两直线平行， 两直线平行，同旁内角互补 故答案为：已知；OCD，两直线平行，内错角相等；AOC，OCD，CF，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 根据平行线的判定和性质，填写各步骤的条件或结论，即可． 本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 18.【答案】①见解答． ②见解答．     【解析】①如图，直线PD即为所求． ②如图，直线PF即为所求． 由题意得，点P到直线BC的距离是线段PD的长． 故答案为： ①根据垂线的定义画图即可． ②根据平行线的判定画图即可． 根据点到直线的距离的定义可得答案． 本题考查作图-复杂作图、垂线、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19.【答案】随机；  ；   她的看法对，理由见解析．  【解析】解：如图1，转到数字5是随机事件， 故答案为：随机； 图1被平均分成9等份，分别标有9个数字．即共有9种等可能的情况， 其中转出的数字小于7的情况有6种， 则小明转出的数字小于7的概率是； 她的看法对，理由如下： 图2绿色部分的扇形圆心角是， 则图2红色部分的扇形圆心角是， 所以转出的颜色是红色的概率是， 所以两者概率相同． 根据事件的分类作答即可； 共有9种结果，“转出数字小于7”的结果有6种，利用概率公式计算即可； 计算小亮转出的颜色是红色的概率，再与算出的概率比较即可． 本题主要考查了事件的分类，概率公式，掌握概率公式是解题关键． 20.【答案】①，②7，64； 证明：， ， 能被18整除．  【解析】【分析】 直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案； 直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案． 本题考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． 【解答】 解：根据规律得： ①； ②， 的展开式中共有7项，所有项的系数和为； 故答案为：①，②7，64； 见答案. 21.【答案】；   ；     【解析】，理由：图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，图2中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，图2中四个空白长方形的面积和为4mn，所以有，故答案为：； ，， ， ， 故答案为：； ，， ，即， ， 又， ， ， ， 利用两种方法表示图2的面积即可； 应用的结论进行计算即可； 根据求出xy的值，再根据求出的值，根据进行计算即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 22.【答案】7；  22；  ；问题解决：    【解析】模型探究：由题意得：从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数， 则有，，，，，，，，，， 其中它们和的最小值为，最大值为， 所以这两个整数之和共有种情况， 故答案为：7； 由题意得：从1，2，3，4，…，10这10个整数中任取3个整数，其中它们和的最小值为，最大值为， 所以这3个整数之和共有种情况， 故答案为：22； 由可知： 从1，2，3，…，为整数，且这n个整数中任取5个整数，其中它们和的最小值为，最大值为， 所以这5个整数之和共有种情况； 问题解决：由可得：从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中面值为整数，任意抽取5张奖券，其面值之和共有种情况， 故答案为： 模型探究：列举出从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，然后进行相加即可得出答案； 列举出从1，2，3，4，…，10这10个整数中任取3个整数，然后进行相加即可得出答案； 根据可总结规律，进而问题可求解； 问题解决：根据中结论可代入进行求解． 本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键是理解题意． 23.【答案】④；①；   ，理由见解答过程；   ，理由见解答过程．  【解析】活动1：连接PD，PE，如图1所示：   由尺规作图可知：，， 在和中， ， ≌； 活动2：在AC上截取，连接PQ，如图2所示： 是的角平分线， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：④；①； 与PC的数量关系是：，理由如下： 在AB上截取，连接PH，如图3所示： ， ， ， 的平分线与的平分线恰好交于CD边上的点P， ，， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， ； 猜想PE与PF之间的数量关系是：，理由如下： 在AB上截取，连接PK，如图4所示： 在中，， ， ，BF是的两条角平分线，且交于点P， ，， ， 是的外角， ， ，， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 活动1：连接PD，PE，由尺规作图可知，，进而可依据“SSS”判定和全等； 活动2：在AC上截取，连接PQ，根据角平分线定义得，进而可依据“SAS”判定和全等，由此即可得出答案； 在AB上截取，连接PH，根据得，根据角平分线定义得，，进而可依据“SAS”判定和全等得，和全等得，由此可得出PD与PC的数量关系； 在AB上截取，连接PK，求出，则，，进而依据“SAS”判定和全等得，，则，由此可依据“ASA”判定和全等得，由此即可得出PE与PF之间的数量关系． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$