山东省济南市长清区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷-

2024-2025学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.第33届夏季奥林匹克运动会上，中国体育健儿展现了强大的中国自信与中国力量，共获得40枚金牌.下列体育运动图标中，不是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列从左到右的变形属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 4.若，则代数式的值是(    ) A. B. 2 C. D. 4 5.下列说法正确的是(    ) A. 对角线互相垂直平分的四边形的正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 6.若关于x的分式方程有增根，则m的值是(    ) A. B. C. 1 D. 2 7.如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在BC边上，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若，则线段EF的长为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9.如图，在边长为2的菱形ABCD中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AD于点E，连接若，则CE的长为(    ) A. B. C. D. 10.在矩形ABCD中，，，点E、F分别是边AB，CD上的动点，且，则的最小值为(    ) A. 10 B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.若分式有意义，则实数x的取值范围是______. 12.分解因式：______. 13.正六边形ABCDEF和正方形ABGH如图所示摆放，连接CG，则图中的度数为______. 14.如图，点A坐标为，点O为坐标原点，线段AO沿x轴向右平移得到线段BC，连接AB，若四边形OABC的面积为15，则点B的坐标为______. 15.如图，在菱形ABCD中，，点M和N分别是AB和AD上一点，沿MN将折叠，点A恰好落在边BC的中点E上.若，则ME的长为______. 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 16.先化简，再求值：，其中 四、解答题：本题共9小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题7分 因式分解：； 解方程： 18.本小题7分 解不等式组，并写出它的所有正整数解. 19.本小题7分 如图，在▱ABCD中，点E，F分别AD，BC在上，且，EF，BD相交于点O，求证： 20.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： 若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； 若和关于原点O成中心对称，画出； 在x轴上找一点D，使得的面积等于的面积，直接写出点D的坐标. 21.本小题9分 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点，连接AE、CE、AF、 求证：四边形AECF是平行四边形； 若四边形AECF是矩形，，，求BC的长. 22.本小题10分 在2025年5月份举办的第九届世界无人机大会上，众多企业展示了新型无人机，其中A、B两款无人机备受关注.已知A款无人机比B两款无人机每架多5万元，用80万元购买A款无人机与用60万元购买B两款无人机的数量相等. 求A、B两款无人机的单价各是多少？ 某企业打算购买A、B两款无人机共12架，且A款无人机的购买数量不少于B款无人机购买数量的2倍，求该企业购买多少架A款无人机时花费最少？最少费用是多少万元？ 23.本小题10分 【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用. 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 函数，y的最小值为______，此时，______. 当时，的最小值为______，此时，______. 如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面AD靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边AB的长为x米，当这个矩形花园的宽AB为______m时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米. 24.本小题12分 如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与x轴交于点，与y轴交于点B，直线BC：与x轴交于点 求直线AB的解析式和线段AB，AC的长. 在线段BC上有一动点不与点B，C重合，过点P作轴于点D，于点E，以PD，PE为邻边作▱ ①求▱PDFE的周长. ②当▱PDFE为菱形时，直接写出点F的坐标. 25.本小题12分 综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.同学们以此开展了以下的数学活动. 如图1构造一个四边形ABCD，使得，，那么四边形ABCD______“垂美四边形”填“是”或“不是” 如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE，BG与CE相交于点判断四边形BCGE是否是“垂美四边形”，并请说明理由. 在的条件下，正方形ACFG的边长为2，正方形ABDE的边长为3，求GE的长. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：选项B、C、D均能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 故选： 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心． 2.【答案】C  【解析】解：观察数轴可知：， A.，，此选项的判断错误，故此选项不符合题意； B.，，此选项的判断错误，故此选项不符合题意； C.，，，此选项的判断正确，故此选项符合题意； D.，，，此选项的判断错误，故此选项不符合题意； 故选： 观察数轴可知：， A、B选项均根据不等式的性质判断正误即可； C选项根据有理数的乘法法则进行计算即可； D.根据有理数的加减法则进行判断即可． 本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质、有理数的乘法法则和有理数的加减法则． 3.【答案】D  【解析】解：中等号左边是单项式，则A不符合题意， 是乘法运算，则B不符合题意， 中等号右边不是积的形式，则C不符合题意， 符合因式分解的定义，则D符合题意， 故选： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：原式 当时．原式 故选： 根据分式的乘除运算法则把原式化简，把的值代入计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：对角线互相垂直平分的四边形的菱形，故A错误． 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B错误． 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故C错误． 故选： 根据特殊的平行四边形的性质即可求出答案． 本题考查平行四边形，解题的关键是正确理解特殊平行四边形的性质，本题属于基础题型． 6.【答案】B  【解析】解：， 方程两边同时乘，得， 解得： 分式方程有增根， ，即， ， 解得： 故选： 先根据解分式方程的方法求出，再根据分式方程有增根，可得，即，由此可得，解一元一次方程即可求出m的值． 本题考查了解分式方程，分式方程的增根，解一元一次方程，掌握解分式方程的方法，分式方程的增根，解一元一次方程的方法是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：在中， ，， ， 绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在BC边上， ， ， ， 故选： 先根据三角形内角和定理计算出，再根据旋转的性质得到，接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，然后计算即可． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 8.【答案】B  【解析】解：点D、E分别是边AB、AC的中点， 是的中位线， ， ，D是AB的中点，， ， 故选： 利用三角形中位线定理得到由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可． 本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中． 9.【答案】A  【解析】解：连接BE，如图： 由作图痕迹可知，MN垂直平分AB， ， ， ， ， ， ， ， 四边形ABCD为菱形， ， ， 故选： 连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出CE的长度． 本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识． 10.【答案】D  【解析】解：连接DE， 四边形ABCD是矩形， ， ， ， 四边形BEDF是平行四边形， ， 要求的最小值，即求的最小值， 作D点关于AB的对称点，连接交AB于E， 则的值最小， ，， ，， ， 即的最小值为， 故选： 连接DE，根据矩形的性质得到，推出四边形BEDF是平行四边形，得到，要求的最小值，即求的最小值，作D点关于AB的对称点，连接交AB于E，则的值最小，根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：， 故答案为： 根据分式的分母不等于0即可得出答案． 本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解： 故答案为： 由于原式子中含有公因式a，可用提取公因式法求解． 本题主要考查提公因式法分解因式，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：多边形ABCDEF是正六边形， ，， 多边形ABGH是正方形， ，， ，， ， 故答案为： 根据正多边形的每条边都相等，每个角都相等得出，，，，继而得出，，即可求出的度数． 本题考查了正多边形和圆，等腰三角形的判定与性质，求出，是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：由平移可知， ，， 所以四边形OABC是平行四边形． 又因为点A坐标为， 所以， 则， 所以点B坐标为 故答案为： 根据平移的性质及四边形OABC的面积，得出平移的距离，据此得出点B坐标即可． 本题主要考查了坐标与图形变化-平移及三角形的面积，熟知图形平移的性质是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：作交CB的延长线于点H，则， ， ， ， ， ， 四边形ABCD是菱形，，点E为BC的中点， ， ， 由折叠得， ，且， ， 解得， ， ， 故答案为： 作交CB的延长线于点H，由，求得，则，所以，，由菱形的性质得，则，由折叠得，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 16.【答案】解：原式 ， 当时， 原式  【解析】将分子因式分解，再利用乘法分配律展开计算，继而把x的值代入计算可得． 本题考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 17.【答案】；     【解析】原式 ； 原方程去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 提公因式后再利用完全平方公式因式分解即可； 利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 本题考查解分式方程，因式分解，熟练掌握解方程及因式分解的方法是解题的关键． 18.【答案】，它的所有正整数解为1，  【解析】解：解不等式①得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为， 它的所有正整数解为1， 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19.【答案】证明：连结BE、DF，如图所示. 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， 四边形BEDF是平行四边形，   【解析】本题考查平行四边形的判定和性质，关键是先连接BE、DF，证明四边形BEDF是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可解答． 20.【答案】见解答．   见解答．   或  【解析】如图，即为所求． 如图，即为所求． 延长BA交x轴于点， 此时的面积等于的面积， 可得点的坐标为； 过点B作AC的平行线，与x轴相交于点， 此时的面积等于的面积， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为 综上所述，点D的坐标为或 根据平移的性质作图即可． 根据中心对称的性质作图即可． 延长BA交x轴于点，此时点即为满足题意的点D，可得点的坐标为；过点B作AC的平行线，与x轴相交于点，此时的面积等于的面积，设点的坐标为，结合题意可列方程为，求出m的值，可得点的坐标，进而可得答案． 本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 21.【答案】见解析过程；     【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， 点E，F分别是OB，OD的中点， ，， ， 四边形AECF是平行四边形； 解：四边形AECF是矩形， ，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 由平行四边形的性质可得，，即可求，即可求解； 由勾股定理可求，再由勾股定理可求BC的长． 本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22.【答案】20万元，15万元；   8，  【解析】设A款无人机的单价为a万元，则B款无人机的单价为万元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， 万元 答：A款无人机的单价为20万元，B款无人机的单价为15万元． 设该企业购买x架A款无人机，则购买架B款无人机． 根据题意，得， 解得， 设总花费W元，则， ， 随x的增大而增大， ， 当时W值最小， 答：该企业购买8架A款无人机时花费最少，最少费用是220万元． 设A款无人机的单价为a万元，则B款无人机的单价为万元，根据题意列关于a的分式方程并求解即可； 设该企业购买x架A款无人机，则购买架B款无人机，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，设总花费W元，写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W值最小，求出其最小值即可． 本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． 23.【答案】6；3；  ；；  10；  【解析】由题意，当时，， ，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：6； 由题意，当时，， ，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：； 由题意，米，则米， 篱笆的总长度 ， ，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 答：当这个矩形花园的宽AB为10m时，所用的篱笆的总长度最短，最短为40米． 故答案为：10； 依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为6，进而可以判断得解； 依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为，进而可以判断得解； 依据题意，由米，则米，则篱笆的总长度，又，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为40，最后可以判断得解． 本题主要考查了二次根式的应用、配方法的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． 24.【答案】直线AB的解析式为；，；   ①8； ②  【解析】解：将点代入， ， ， 直线AB的解析式为； 直线AB与y轴的交点为， ， 直线BC与x轴的交点为， ； ①连接PA， ， ， ， ▱PDFE的周长； ②四边形PDFE是菱形， ， ， ， ，， 是的中位线， ， ， 设， ， 解得， ， 用待定系数法求函数的解析式即可； ①连接PA，利用等积法求出； ②由①可得，则PD是的中位线，求出，设，再由，求出m的值即可求F点坐标． 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 25.【答案】是；   四边形BCGE是“垂美四边形”，理由见解答；    【解析】，， 为BD的垂直平分线， ， 四边形ABCD是“垂美四边形”； 故答案为：是； 四边形BCGE是“垂美四边形”，理由如下： 以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE， ，，，， ≌， ， ， ， ， 四边形BCGE是“垂美四边形”； ，， ，，， 由勾股定理可得：，，，， ， 根据垂直平分线的判定得出AC垂直平分BD即可得出结论； 根据四边形ACFG和四边形ABDE为正方形，推出和全等，再根据三角形内角和定理得出为直角即可判断； 根据勾股定理求出BC，CG，BE，在四边形BCGE中，对四个直角三角形列出勾股定理等式，通过变形即可得到GE的长． 本题主要考查了垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，通过勾股定理得出“垂美四边形”四边的关系是本题解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$