福建省福州高级中学2024-2025学年高三上学期期末数学训练（集合、不等式、向量2）

2024-2025学年福州高级中学高三数学期末训练 集合、不等式、向量2 班级_________姓名__________座号_______ 一、单选题 1.已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．10 2．若等差数列的前项和为，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值为4 C．最小值为2 D．最小值为2 4．已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则下列结论正确的个数是（    ） ①存在实数解；②共有个不同的复数解； ③复数解的模长都等于；④存在模长大于的复数解． A． B． C． D． 6．在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，则（    ） A． B． C．的最小值为1 D．的图象与轴有1个交点 8．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 9．下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为，则的定义域为 B．不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是 C．一元二次不等式的解集为，则有最小值 D．若，则的最小值为1 三、填空题 10．已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 11．已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是 . 12．对任意两个非零的平面向量和，定义：，，若平面向量，满足，且和都在集合中，则 ， ． 4、 解答题 13．已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 14．在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，. (1)若，试用，和实数表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 15．设函数 (1)若，求的解集． (2)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (3)解关于的不等式：． 2024-2025学年福州高级中学高三数学期末训练 集合、不等式、向量2（解析） 班级_________姓名__________座号_______ 一、单选题 1.【答案】A；2．【答案】A；3【答案】C；【详解】对于A，，解得，当且仅当时等号成立，故A不正确； 对于B， 当且仅当，即时等号成立，故B不正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立，故D错误． 4．【答案】B【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得故选:B. 5．【答案】C；【详解】设，则，可得， 则， 于是， 这两个的取值都在区间内． 故有解，因此有个不同的复数解． 当时，由于， 因此的复数解的模长都等于．因此，②③正确，故选：C. 6．【答案】D【详解】，，， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为.故选：D. 二、多选题 7．【答案】ACD；【详解】令，得，则，得， 故，，，A正确，B错误. ，所以在上单调递增， ，的图象与轴只有1个交点，C正确，D正确. 8．【答案】BD；【详解】设，其中，则，故，而，故， 故，故，故BD正确，AC错误；故选：BD. 9．【答案】AC；【详解】对于A，因为的定义域为， 所以，解得， 故的定义域为，故A错误； 对于B，当时，不等式为恒成立，可得对一切实数恒成立； 当时，由对一切实数恒成立， 可得，解得， 综上所述:不等式对一切实数恒成立的充要条件是，所以不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是，故B正确； 对于C，因为一元二次不等式的解集为， 所以当且仅当，即当且仅当， 所以. 因为，所以上式， 当且仅当，即时取等. 所以有最大值，故C错误； 对于D，因为， 所以 ， 当且仅当时成立，所以，的最小值为1，故D正确. 三、填空题 10【答案】 /；11．【答案】/ 【详解】设复数，则， 即，则点的轨迹为圆心在，半径为的圆， ，其表示点到点的距离，其最大值为到圆心的距离加上半径，即， 12．【答案】 /0.25 或【详解】设与的夹角为， 因为和都在集合中，所以其取值可能为，因为，则， 可得， 因为，即，可得，所以； 又因为，即，解得， 因为， 可得，即或1， 当且时，即且， 可得，所以； 当且时，即且， 可得，所以； 综上所述：或. 5、 解答题 13．【详解】（1）因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，,故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得，故的取值范围是. 14．【详解】（1）由题意，所以， ① （2）设，由，， ② 由①、②得，， 所以，解得，所以； （3）由，得，所以， 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 15．【详解】（1）解：由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. （2）解：由对一切实数x恒成立，等价于恒成立，当时，不等式可化为，不满足题意．当，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． （3）解：依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$