福建省福州高级中学2024-2025学年高三上学期期末数学训练 （解析几何2）

2024-2025学年福州高级中学高三数学期末训练 解析几何2 班级_________姓名__________座号_______ 一、单选题 1．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线（，）的左焦点为F，过F的直线与圆相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若，则双曲线C的离心率为( ) A. B. C. D.2 4．已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是等腰三角形 C．存在四边形是菱形 D．存在四边形是矩形 二、多选题 5．已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（    ） A．10 B．2 C． D． 6．下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线的倾斜角的范围是 C．方程表示的曲线是双曲线 D．曲线与曲线恰有三条公切线，则 7．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线（，）的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体.若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E两点，则( ) A.双曲线C的方程为 B.双曲线与双曲线C共渐近线 C.存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点 D.双曲线C上存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3 三、填空题 8．点A（1,2）关于直线的对称点是_________. 9．已知圆与直线交于A，B两点，则经过点A，B，的圆的方程为_______． 10．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为_________. 四、解答题 11．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且． ①求证：的面积为定值； ②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 12．已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)求的方程． (2)直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． (3)证明：点H在直线上． 13．已知，我们称双曲线与椭圆互为“伴随曲线”，点为双曲线和椭圆的下顶点. (1)若为椭圆的上顶点，直线与交于，两点，证明：直线，的交点在双曲线上； (2)过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦长为，双曲线的一条渐近线方程为，若为双曲线的上焦点，直线经过且与双曲线上支交于，两点，记的面积为，（为坐标原点），的面积为. （i）求双曲线的方程； （ii）证明：. 2024-2025学年福州高级中学高三数学期末训练 解析几何2（解析） 1．D【详解】表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示： 设点关于直线的对称点为，则，解得， 所以对称点为，则 由图知：的最小值为，故选：D 2.A【详解】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部； 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即，解得.故选：A 3．A【详解】记右焦点为，连接，，过作，如图所示.因为QF与圆相切，所以，，因为，所以.因为O为的中点，，所以，.又，所以，.在双曲线中，有，所以.因为，，所以为直角三角形，所以，即，化简可得，上式两边同时平方，并将代入可得，，故离心率为.故选：A 4．D【详解】依题意，线段平行于轴，不妨设在第一象限，设，则，焦点，A选项，当时，解得，所以，则，是直角三角形，A选项正确. B选项，当时，解得，所，由于，所以关于直线对称，而，所以此时是等腰三角形.对于CD选项，先考虑四边形是平行四边形，则，则，此时，，所以四边形是矩形，不是菱形，所以C选项错误，D正确. 5.BD【详解】由题意可得弦所在的直线方程为， 因为圆，圆心， 圆，圆心， 设圆心与圆心到直线的距离分别为， 因为，即， 所以，又， 即，化简可得， 即，解得或.故选：BD 6． BD【详解】对选项A：将代入验证不成立，错误； 对选项B：直线的斜率为， 直线倾斜角为，，，则，B正确；对选项C：， 表示到点和的距离之差的绝对值为，轨迹为两条射线，错误； 对选项D：，， 两圆有三条公切线，故两圆外切，故，解得，正确；故选：BD 7．ABD【详解】由题意可得，， 所以即解得，， 所以双曲线方程为，所以A正确； 双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以B正确； 由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，所以C错误； 由题意得，，设为双曲线上任意一点，则，， 所以， 所以双曲线C上存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，所以D正确.故选：ABD. 8．（3,0）【详解】法一：设对称点为，由题意可知，所以对称点为（3,0） 法二：特殊形式的秒杀 点关于直线对称的点坐标为． 点关于直线对称的点坐标为． 求对称点的横坐标，即将已知点的纵坐标代入即可 9． 【详解】设， 由解得， 可得， 设经过点A，B，的圆的方程为 ， 所以，解得， 即，可得. 故答案为：. 10． 【答案】 【详解】 设且，直线，联立， 整理得，则． 设过点的切线方程为，联立， 整理得，由，可得， 则过A的切线为：，即，即，即， 同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：， 联立两切线，则， 所以两条切线的交点在准线上，则， 两式相减得， ，可得，， 又因为直线的斜率为，（也成立），如图，设准线与轴的交点为，的面积，当轴时，最短（最短为），也最短（最短为）， 此时的面积取最小值． 11．（1）；（2）见详解 【详解】（1）由题意知，焦距，故，又，故， 所以，故椭圆C的方程为． （2）①由消去y，化简得：， 设，，则， ，， 故， 因为，所以， 所以， 坐标原点到直线l的距离为， 所以的面积为 ， 故的面积为定值． ②假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则， 设，则， 又因为，即，得， 与矛盾， 故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形． 12．(1) (2)直线过定点，理由见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）抛物线的焦点为，则有，， 所以抛物线的方程为. （2）直线，与抛物线各有两个交点，可知直线，斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得， 此时， 由韦达定理得，， 由A为弦MN的中点，有，则， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，可知时， 所以直线过定点，其坐标为. （3）， 同理得， 此时直线的方程为， 即， 同理，直线的方程为 ， 由，消去解得， 故直线ME与直线NP的交点在直线上. 13． (1)证明见解析；(2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）证明：依题意可知，， 联立不妨取，， 则直线的方程为，① 直线的方程为，② 联立①②可得即直线，的交点坐标为. 又成立，所以直线，的交点在双曲线上. （2）（i）对，令，故可得，； 因为过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦长为，所以.③ 因为双曲线的一条渐近线方程为，所以.④ 联立③④，解得，，所以双曲线的方程为. （ii）证明：由（i）得点，. 设直线的斜率为，，， 则直线的方程，与双曲线联立并消去得， 则，所以，，则， 故. 又，所以， 整理得：，，解得或（舍去）. 因为， 所以 . 因为，所以，即. 解几2第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$