福建省福州高级中学2024-2025学年高三上学期期末数学训练 （解析几何1）

2024-2025学年福州高级中学高三数学期末训练 解析几何1 班级_________姓名__________座号_______ 一、单选题 1．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 2．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 4．已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（    ） A． B．9 C． D．6 二、多选题 5．已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 6．已知椭圆，则下列结论正确的是( ) A.若，则的离心率为 B.若的离心率为，则 C.若，为的两个焦点，直线l过点且与交于点A，B，则的周长为4a D.若，分别为的左、右顶点，P为上异于点，的任意一点，则，的斜率之积为 7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年——公元前190年）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点P满足，直线，则( ) A.直线l过定点 B.动点P的轨迹方程为 C.动点P到直线l的距离的最大值为 D.若点D的坐标为，则的最小值为 三、填空题 8．若两条直线与平行，则与间的距离是________． 9．过点作圆：的两条切线，切点分别为A，，若直线与圆：相切，则________． 10．古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468——公元前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也.意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.现在从以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的值与x，y无关，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题 11．已知圆C：和直线l：相切． (1)求圆C半径； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②证明直线AB恒过定点． 12．已知双曲线（，）实轴端点分别为，，右焦点为F，离心率为2，过点且斜率为1的直线l与双曲线C交于另一点B，已知的面积为. （1）求双曲线C的方程. （2）若过F的直线与双曲线C交于M，N两点，试探究直线与直线的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 13．已知椭圆的焦距为，且过点. （1）求椭圆C的方程. （2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，O为坐标原点. ①若点P在直线上，求证：线段MN的垂直平分线恒过定点S，并求出点S的坐标； ②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值. 2024-2025学年福州高级中学高三数学期末训练 解析几何1（解析） 1.D 2．B 3．D【详解】设，则，， 由于，故过点的切线方程为， 即，即， 同理可得过点的切线方程为， 设，过点的两切线交于点， 故，整理得， 同理，整理得， 故直线的方程为，斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确. 4.C【详解】双曲线中，，，则，根据对称性不妨设过的直线为， 联立， 可得， 则 设，，则，，①由，可得，即有，② 由①②可得，，所以， 解得（负值已舍去），， 所以．故选：C． 5.AD【详解】根据题意，可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径． 对于A，因为两圆的圆心距，所以A项正确； 对于B，两圆内切时，圆心距，即，解得． 两圆外切时，圆心距，即，解得． 综上所述，若两圆相切，则或，故B项不正确； 对于C，若圆与圆恰有两条公切线，则两圆相交，， 即，可得，解得且，故C项不正确； 对于D，若圆与圆相交，则当圆的圆心在公共弦上时，公共弦长等于，达到最大值， 因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确．故选：AD． 6．BCD【详解】 选项A，离心率，若，则，所以A不正确； 选项B，离心率，则，所以B正确； 选项C，根据椭圆的定义可知C正确； 选项D，设，则，由椭圆方程可知，，所以 ，所以D正确. 7．ABD【详解】对于A，直线，即，所以直线l过定点，A正确； 对于B，设，因为动点P满足，所以，整理可得，即，所以动点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，因此动点P的轨迹方程为圆，B正确； 对于C，当直线l与MC垂直时，动点P到直线l的距离最大，且最大值为，C错误；对于D，由，得，所以，又因为点D在圆C内，点B在圆C外，所以，当且仅当点P为线段DB与圆C的交点时取等号，D正确.故选：ABD. 8．【答案】【详解】由两条直线与平行，得，则与间的距离是. 9．81【详解】圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径； 由题意可知：，可知点在以为直径的圆上， 以为直径的圆为， 整理得，结合圆：， 两圆方程作差，可得直线的方程为，即， 若直线与圆：相切， 则，整理得. 10．【详解】由已知可得点所在圆的方程为， 设， 故z可看作点P到直线与直线距离之和的5倍，因为的值与x，y无关，所以这个距离之和与点P在圆上的位置无关. 圆心到直线l的距离为，所以圆与直线l相离，如图所示，可知直线m平移时，点P与直线m，l的距离之和均为直线m，l之间的距离， 此时可得圆在两直线之间，当直线m与圆相切时，有，解得（舍去）或，所以，即实数a的取值范围为. 1(1)；(2)①；②证明见解析. 【详解】（1）圆心到直线的距离， 所以圆C半径. （2）①由（1）知，圆C的方程为：，圆心，， 由MA、MB是的两条切线，得，，设， 则， 因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为. ②由①知，点，，，则四点共圆且以MC为直径，此圆的方程为，整理得，而圆C的方程为，，两圆方程相减得，因此直线的方程为，对任意实数，当时，，所以直线过定点. 12．（1）（2）点Q在定直线上，且定直线方程为 【详解】（1）设直线l的方程为， 由得， 又，，代入上式得，即， 所以，解得，从而， 故双曲线C的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，， 直线的方程为，直线的方程为， 由得即. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由得，则有，. 直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得，两边平方得， 又，在双曲线上， 所以，， 所以 ，所以， 解得或（舍去）.综上，点Q在定直线上，且定直线方程为. 13．（1）（2）①线段MN的垂直平分线恒过定点 【详解】（1）因为焦距，即，所以. 又因为椭圆过点，所以，解得，， 所以椭圆C的方程为. （2）证明：由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，设，，. 由得， ， ，. ①因为点P为线段MN的中点，且点P在直线上， 所以，即，即. 所以. 所以线段MN的垂直平分线的方程为， 即，即. 故线段MN的垂直平分线恒过定点. ②由弦长公式得坐标原点到直线MN的距离， 所以的面积 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以取最大值时， .所以直线OM与ON的斜率之积为定值. 解几1第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$