第23讲 角与角的度量 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第23讲 角与角的度量 1 2 1.角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端 点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. 2.角的度量:度、分、秒是常用的角的度量单位 . 3.余角和补角:如果两个角的和等于 90°(直角)，就说这两个角互为余角; 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角. 3 1.角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示.其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可以用顶点处的一个字母来记这个角.角还可以用希腊字母（如 ， ）表示，或用阿拉伯数字（如 ， ）表示. 4 2.按角的大小可将角分为锐角、直角、钝角、平角、周角等，角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角. 3.从一个角的顶点出发，将它分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线.角可以度量，因此从数和形的角度，角可以加、减、倍、分，角度的计算一方面要关注图形、另一方面要关注数量. 5 4.比较角的大小有两种方法：（1）测量法：用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大.（2）叠合法：将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置. 6 5.余角（补角）与这两个角的位置没有关系.不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，它们就具备相应的关系.两个角互余，则其中一个角称为另一个角的余角；两个角互补，则其中一个角称为另一个角的补角.性质：等角（同角）的补角相等；等角（同角）的余角相等.余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联. 7 知识点一：角的概念与度量单位 &1& 计算： （1） 思路点拨 根据度、分、秒 之间的换算进行加减运算 解题过程 原式 8 （2） 思路点拨 与数的运算顺序相同，先计算乘法，再计算加法. 解题过程 原式 9 方法提炼 本题考查角度的计算，熟练掌握度、分、秒之间的换算（ ）是解题的关键. 下列运算正确的是( ) B A. B. C. D. 如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组 成的小于平角的角的度数是_ _____. <m></m> 11 知识点二：余角与补角 设 的度数分别为 和 ，且 都是 的补角. （1）求 的值. 思路点拨根据补角的性质可得 。解方程即可得答案， 解题过程 都是 的补角， ，解得 12 （2） 与 是否互余，请说明理由. 思路点拨 由(1)得 ，根据余角的定义可得答案， 解题过程 与 互余.理由如下：由（1）得 ， 与 互为余角. 13 方法提炼 本题考查余角和补角，利用同角的补角相等列出方程是解题的关键. 14 如图， 和 都是直角. （1）填空：图中与 互余的角有_ ______________. <m></m> 和 <m></m> （2） 与 互补吗？为什么？ [答案] 与 互补.理由如下： 和 都是直角， 又 ， 与 互补. 15 知识点三：角的计算 已知 16 （1）如图1，当 在 的内部时，若 ，求 的度数. 思路点拨 利用角的和差关系列式解答即可. 解题过程 17 （2）如图2，当射线 在 的内部， 在 的外部时，试 探索 与 的数量关系，并说明理由. 思路点拨 利用角的和差关系列式解答即可. 解题过程 与 互补.理由如下： 与 互补. 18 （3）如图3，当 在 的外部时，分别在 内部和 内部画射线 ，使 ，求 的度数. 思路点拨 设 ，利用已知条件和角的和差关系列式求得 与 ，根据 即可求出答案. 19 解题过程 设 ，则 20 方法提炼 本题考查角的计算、角的和差关系，熟练掌握角的和差倍分关系是解题的关键. 21 新定义：若 的度数为 的度数的 倍，则 叫做 的 倍角. （1）若 ，请直接写出 的4倍角的度数. [答案] 22 （2）如图1，若 ，请直接写出图中 的2倍角. [答案] 图中 的2倍角有 23 （3）如图2，若 是 的3倍角， 是 的4倍角，且 ，求 的度数. [答案] 是 的3倍角， 是 的4倍角， 设 ，则 24 如图，点 在同一条直线上，从点 引一 条射线 ，且 （1）求 的度数. 思路点拨 根据邻补角的定义和性质可得出结论. 解题过程 由图可知 25 （2）将 绕点 顺时针旋转 （ ，且 不是 的整 数倍）得到 ，在 内引射线 ，在 内引射线 ， 且 26 ①若 ，求 的度数. 思路点拨 根据 的角度可得出 和 的度数，由此可得 出 和 的度数，根据和差关系可得出结论. 解题过程 若 ，则 27 ②若 ，请直接写出 的大小. 思路点拨 根据题意，需要对 进行讨论，分别求解即可. 解题过程 由旋转得， 当 时， 28 ，解得 当 时，如图1, ，解得 当 时，如图2, ，解得 （舍去）. 综上所述， 的度数为 或 方法提炼 本题考查角的计算，涉及分类讨论思想、三等分线的定义等，由图得出角度的和差关系是解题的关键. 32 1.如图，下列表示角的方法错误的是( ) D A. 与 表示同一个角 B. 表示的是 C. D. 也可用 来表示 33 2.如图，点 在同一条直线上， ， 若 ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 3.下午 时，时针与分针所夹锐角的度数为( ) C A. B. C. D. 34 4.如图，在海岛 测得船 在其南偏东 的方向上，测 得灯塔 在其北偏东 的方向上，则 的度数为 ( ) B A. B. C. D. 5.已知 ，过点 作射线 ，使得 ，则 的度数为( ) D A. B. C. 或 D. 或 6.已知 ，则 的补角等于_ ________. <m></m> 35 7.若 与 互余， 与 互补，则 _ ____. <m></m> 8.如图，已知点 在直线 上， 是直角， ，则 _ ____. <m></m> 36 9.已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求这个角的度数. [答案] 设这个角的度数为 ，则这个角的余角为 ，这个角的补角为 由题意得 ，解得 这个角的度数为 37 10.如图， ，直线 经过点 （1）求 的度数. [答案] 38 （2）若 ，试画出 ，并求出 的度数. [答案] 由（1）得 的位置如图所示. 当点 位于点 时， ； 当点 位于点 时， 综上所述， 或 39 11.若 与 互补，且 ，有下列表示 的余角的式子：① ；② ；③ ；④ 其中正确的是 ( ) B A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④ 40 [解析] 与 互补， ， ， 可表示为 的余角，即正确的是①②④.故选B. 41 12.将一张纸按如图所示的方式折叠后压平，点 在线段 上， 为两条折痕，若 ，则 的 度数为 ( ) C A. B. C. D. 42 [解析] 由折叠的性质可知 ，设 故选C. 43 13.如图，射线 在 的内部，图中共有3个角： 和 ，若其中有一个角的度数为另一个 角度数的两倍，则称射线 是 的“巧分线”.若 <m></m> 或 <m></m> 或 <m></m> ，且射线 是 的“巧分线”，则 的度数为 _ _______________. 44 [解析] ①当 时， ②当 时， ③当 时， 综上所述， 的度数为 或 或 故答案为 或 或 45 14.如图，已知 是直线 上的一点， （1）当 时， 的度数为_ ____. <m></m> [解析] 故答案为 46 （2）当 比 的余角大 时， 的度数为_ ____. <m></m> [解析] 由题意得 . 47 故答案为 15.已知 和 是直角. 49 （1）如图1，当射线 在 内部时，请探究 和 之间 的数量关系. [答案] ，且 和 互补. 50 （2）如图2，当射线 、射线 都在 外部时，过点 作射线 、 射线 ，满足 ，求 的度数. [答案] 和 是直角，且周角为 51 16.如图1，把直角三角形 的直 角顶点 放在直线 上，射线 平分 （1）若 ，则 的 度数为_ ____. <m></m> 52 （2）若 ，则 的度数为_ ____.（用含 的代数式表示） <m></m> [解析] 又 平分 故答案为 53 （3）结合（1）和（2），请直接写出 和 之间满足怎样的 数量关系. [答案] 由（1）和（2）可得 54 （4）若将直角三角形 绕点 旋转到如图2所示的位置，射线 仍平分 ，试问： 和 之间的数量关系是否发生变化？ 请说明理由. [答案] 和 之间的数量关系不发生变化.理由如下： 平分 ，即 55 17.定义：若两个角的和为 ，则称这两个角互为 “幸运角”.已知 与 互为“幸运角”， 与 互补. （1）如图，当点 在 的内部，且点 在 的同侧时. ①若 ，则 _ ____. <m></m> 56 ②若射线 在 内部，且满足 ，求 的度 数（用含 的代数式表示）. [答案] 与 互补， 与 互为“幸运角”， 射线 在 内部，且满足 . . 57 （2） 所有可能的度数为__________________（用含 的代数式 表示）. <m></m> 或 <m></m> [解析] 与 互补， 与 互为“幸运角”， 当 在 的内部，点 在 的同侧时， 58 如图1，当 在 的内部，点 在 的两侧时， 如图2，当 在 的外部，点 在 的同侧时， 综上所述， 所有可能的度数为 或 故答案为 或 如图3，当 在 的外部，点 在 的两侧时， $$