精品解析：山东省济南市育秀中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

八年级期中学业质量检测数学试题（202504） 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 6. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 7. 、、、四人的体重分别为、、、，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系为（　　） A. B. C. D. 8. 若分式方程有增根，则的值是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点的坐标为，第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点，然后按这四次规律重复，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 分解因式：_____． 12. 若分式的值为0，则x的值是________． 13. 如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为________． 14. 如果关于的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数的和为___________． 15. 在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 _____ ． 三、解答题（共10小题，满分90分） 16. 解不等式组，并写出它的正整数解． 17. 因式分解： （1）； （2） 18. 计算： （1）； （2）． 19. 如图，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若与的周长之差为，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． （1）将沿轴方向向左平移3个单位后得到，画出； （2）将绕顺时针旋转后得到，画出； （3）在轴上作一点，使最小，画出点的位置，并直接写出点的坐标___________． 21. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 22. 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm） （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　； （2）若每块小矩形的面积为10cm2，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58cm2，试求m+n的值 （3）②图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为　 　cm．（直接写出结果） 23. 【问题提出】如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： （1）当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为___________． 预备知识2：函数，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简时，可令和，分别求得（称1，3分别是和的零点值），这样可以就，，三种情况进行讨论： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，． 就可以化简为． 预备知识3：函数(为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． （2）【知识迁移】如图④，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是___________． 【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （3）先化简，再作图，在图⑤所示的平面直角坐标系中作出函数和的图象．并通过观察图象，求出不等式的解集 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线交轴于点． （1）求的值及直线的函数表达式； （2）求四边形的面积； （3）我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，现将沿轴向下平移（是整数）个单位长度，则其与直线、轴围成的三角形（不含边界）中恰好有个整点，请直接写出的值． 25. 如图，在中，，．点D，E分别为，的中点，点P为线段上一动点（不与点D重合），将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，，，交于点N． （1）求证：； （2）求证：； （3）在点P运动过程中，能否使为等腰三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期中学业质量检测数学试题（202504） 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用因式分解的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、，属于整式乘法，故A不符合题意； B、，属于因式分解，故B符合题意； C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，故C不符合题意； D、，属于整式乘法，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 2. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据定义即可判断出答案． 【详解】解：选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选： 【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟记两种图形的特点并准确判断是解题的关键． 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．∵， ∴，则此项错误，不符题意； B．∵， ∴，则此项错误，不符题意； C．∵， ∴，则此项错误，不符合题意； D．∵， ∴，则此项正确，符合题意； 故选：D． 4. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不为零列式求解即可． 【详解】解∵分式有意义， ∴， ∴． 故选D． 5. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理、勾股定理及三角形三边关系逐一分析各选项，判断是否能构成直角三角形． 【详解】A.，， ， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； B.设三边比例为， 即，，， 此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），因此无法构成三角形，更无法判定为直角三角形，故此选项符合题意； C. ，即，符合勾股定理， ， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； D.， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； 故选B． 6. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：x，y同时扩大为原来的2倍， 则有， ∴该分式的值是原分式值的，故C正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，给分子分母同时乘以一个整式（不为0），不可遗漏是解答本题的关键． 7. 、、、四人的体重分别为、、、，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了四元一次不等式组的应用、不等式的性质，根据示意图列出四元一次不等式组，并熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据人在跷跷板上的示意图，列出四元一次不等式组，再由不等式的性质进行计算即可． 【详解】解：由题意得： 由③得：④， 把④代入②中得：， ∴， ∴， ∴， 由③得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 若分式方程有增根，则的值是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的解求参数，依题意为增根，将分式方程化为整式方程，将代入，即可求解． 【详解】解：若关于的方程有增根，则为增根． 把方程去分母可得， 把代入可得， 解得． 故选：A． 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D． 【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； ∴，故D结论正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 10. 如图，点的坐标为，第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点，然后按这四次规律重复，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转、点的坐标变化规律及关于轴、轴对称点的坐标，根据所给变换方式，依次求出点，…，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，所得点的坐标按循环是解题的关键． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，如图所示： ∵点的坐标为， ∴． 由旋转可知，． 又∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∵点和点关于轴对称， ∴点的坐标为． 依次类推： 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， 则从点开始，所得点的坐标按循环， ， 点的坐标是． 故选：D． 二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 12. 若分式的值为0，则x的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件可以求出的值．熟知需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．是解题的关键． 【详解】解：由分式的值为零的条件得且， 由，得， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：2． 14. 如果关于的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数的和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组． 先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有个整数解可以是，，，，，即可得到，解得，可以求得满足条件的整数的值，然后求出其和即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解是，，，，， ， 解得：， 满足条件的整数的值为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 15. 在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 _____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于，连接． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中， ，， ，， ∴， 在中，． 故答案为：． 三、解答题（共10小题，满分90分） 16. 解不等式组，并写出它的正整数解． 【答案】，正整数解为， 【解析】 【分析】先解出每个不等式的解集，再根据“比大小，比小大，中间找”求出不等式组的解集，最后求出其正整数解．本题考查了一元一次不等式组的基本解法，关键是要熟练掌握一元一次不等式组的基本解法、熟知“比大小，比小大，中间找”的原则． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的正整数解为， 17. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了公式法以及提公因式法进行分解因式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用提公因式法进行分解因式，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行分解因式，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据同分母分式加法运算法则即可求解； （）先算括号的分式减法，然后算分式除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若与的周长之差为，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）在中，，，根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得，即可求得的度数，继而求得答案； （）根据垂直平分得，，根据由的周长为，的周长为，又与的周长之差为，则求出的长即可； 此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴在中，， ∴； 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴，， 由的周长为，的周长为， ∵与的周长之差为， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． （1）将沿轴方向向左平移3个单位后得到，画出； （2）将绕顺时针旋转后得到，画出； （3）在轴上作一点，使最小，画出点的位置，并直接写出点的坐标___________． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则点即为所求，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，为最小值，则点即为所求； 由图可得，点的坐标为． 故答案为：． 21. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】（1）原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米 （2）该公司原计划最多应安排8名工人施工 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； 【小问2详解】 解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 22. 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm） （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　； （2）若每块小矩形的面积为10cm2，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58cm2，试求m+n的值 （3）②图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为　 　cm．（直接写出结果） 【答案】（1）（2m+n）（m+2n）；（2）7；（3）42 【解析】 【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式 2m2+5mn+2n2因式分解即可； （2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10平方厘米，得出等式求出m+n， （3）根据m+n的值，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可． 【详解】解：（1）由图形可知，2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）， 故答案为（2m+n）（m+2n）； （2）依题意得，2m2+2n2＝58，mn＝10， ∴m2+n2＝29， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝29+20＝49， ∴m+n＝7， 故答案为7． （3）图中所有裁剪线段之和为7×6＝42（cm）． 故答案为42． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确用两种方法表示图形面积是解题的关键． 23. 【问题提出】如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： （1）当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为___________． 预备知识2：函数，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简时，可令和，分别求得（称1，3分别是和的零点值），这样可以就，，三种情况进行讨论： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，． 就可以化简为． 预备知识3：函数(为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． （2）【知识迁移】如图④，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是___________． 【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （3）先化简，再作图，在图⑤所示的平面直角坐标系中作出函数和的图象．并通过观察图象，求出不等式的解集 【答案】[问题提出] （1）；[知识迁移] （2）；[问题解决]（3）作图见解析；或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出]：（1）根据函数图象可得答案； [知识迁移]：（2）先求解的值，再根据函数图象可得答案； [问题解决]：（3）把函数化为，再画图即可；在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案； 【详解】解：[问题提出]，（1）如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， [知识迁移]，（2）如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， [问题解决] （3）根据题意得： ， 画图如下： 再在同一坐标系内画的图象如下： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线交轴于点． （1）求的值及直线的函数表达式； （2）求四边形的面积； （3）我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，现将沿轴向下平移（是整数）个单位长度，则其与直线、轴围成的三角形（不含边界）中恰好有个整点，请直接写出的值． 【答案】（1），直线的解析式为： （2）四边形的面积为 （3）的值为 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何图形的结合，图形平移的性质，掌握一次函数图象的性质，几何图形面积的计算，图形与坐标轴的交点的计算方法是解题的关键． （1）把点代入直线可求出的值，再把点代入直线即可求解； （2）如图所示，过点作轴于点，图形结合可得的长，根据即可求解； （3）根据题意作图，结合图形平移的性质即可求解． 【小问1详解】 解：已知直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点， ∴， 解得，， ∴， 把点代入直线中， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴于点， ∵，， ∴，则， ∵直线交轴于点， ∴令，则， ∴，则， ∴ ， ∴四边形的面积为； 【小问3详解】 解：根据题意作图如下， ∵将沿轴向下平移（是整数）个单位长度， ∴平移后直线的解析式为：， ∴如图所述，， 解得，， ∴， ∴的值为． 25. 如图，在中，，．点D，E分别为，的中点，点P为线段上一动点（不与点D重合），将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，，，交于点N． （1）求证：； （2）求证：； （3）在点P运动过程中，能否使为等腰三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）或3或 【解析】 【分析】由旋转的性质得，，进一步得到，结合，可证得即可得到； 过点C作交于点H，有题意可得，则，结合勾股定理即可证得成立； 由题意得，，且为中位线，有，，①当，此时，点P、点N和点E重合，则；②当，得，且，则；③当，则，，则即可． 【小问1详解】 证明：∵线段绕点C逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过点C作交于点H，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 ∵．， ∴，， ∵点D，E分别为，的中点， ∴为中位线， ∴，， ①当，此时，点P、点N和点E重合，则； ②当， ∵线段绕点C逆时针旋转得到， ∴， ∴， 由（1）得， 则， ∴； ③当，则， 由（1）得， ∴； 故的长为或3或； 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $