福建省福州高级中学2024-2025学年高三下学期数学校本作业10

2024-2025学年福州高级中学高三数学校本作业10 班级_________姓名__________座号_______ 建议完成时间：120分钟 一、选择题： 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．已知平面向量a，b满足，且，，则向量a，b的夹角为（ ） A． B． C． D． 4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 5．已知，，则（ ） A．3 B． C． D． 6．若数列为等差数列，为数列的前n项和，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ） A． B． C． D．4 8．已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题： 9．已知实数a，b，c满足，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．当时，在上单调递增 B．若，且，则函数的最小正周期为 C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的最小值为3 D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为 11．如图，曲线C过坐标原点O，且C上的动点满足到两个定点，的距离之积为9，则下列结论正确的是（ ） A． B．若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 C．周长的最小值为12 D．面积的最大值为 三、填空题： 12．在等比数列中，，，则_______． 13．已知函数，若与的图象相切于A、B两点，则直线的方程为____________． 14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成____________部分（用数字作答）． 四、解答题： 15．已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为2且位于x轴上方的点，A到抛物线焦点的距离为． （1）求抛物线C的方程； （2）若过点F的直线l交抛物线C于B、D两点（异于O点），连接、，若，求的长． 16．如图，在直四棱柱中，，，，，． （1）设过点G、B、D的平面交直线于点M，求线段的长； （2）若，当二面角为直二面角时，求直四棱柱的体积． 17．在中，，，点D在边上，且． （1）若，求的长； （2）若，点E在边上，且，与交于点M，求． 18．已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）设方程的所有根之和为T，且，求整数n的值； （3）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围． 19． 母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个形象且精妙的比喻． 对于任意数列，即用如下方法与一个函数联系起来： ，则称是数列的生成函数． 例如：求方程的非负整数解的个数． 设此方程的生成函数为，其中x的指数代表的值． ，则非负整数解的个数为． 若，则，可得，于是可得函数的收缩表达式为：． 故 （广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式） 则 根据以上材料，解决下述问题： 定义“规范01数列”如下：共有项，其中m项为0，m项为1，且对任意，，不同的“规范01数列”个数记为． （1）判断以下数列是否为“规范01数列”； ①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1． （2）规定，计算，，，的值，归纳数列的递推公式； （3）设数列对应的生成函数为 ①结合与之间的关系，推导的收缩表达式； ②求数列的通项公式． 2024-2025学年福州高级中学高三数学校本作业10 参考答案 一、单选题： 1-5CABCD 6-8BAD 二、多选题： 9．BCD 10．ABD 11．AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．16 13． 14．23 5【详解】由， 所以，而， 所以，即，所以. 6. 【详解】由等差数列性质可得， 即可得；又，所以； 因此可得数列的公差，且前6项均为负值， 所以的最小值为前6项和，即为. 7. 【详解】如图，因为双曲线，所以， 由双曲线的对称性知， 所以，双曲线定义可得， 所以，又， 所以，即， 所以, 故， 8. 【详解】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，所以在上是减函数，， 即，所以， 所以，所以，即实数a的取值范围为. 9. 【详解】对于A，实数a，b，c满足， 则，即，A错 对于B，由于，故， 则，B正确；对于C，因为，故，则，即，C对；对于D，由于，故， 则，而 ，当且仅当时等号成立，故，D正确， 10. 【详解】对于A，当时，若，则，所以由复合函数单调性可知在上单调递增；对于B，若，且，则当且仅当，故B正确； 对于C，若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象所对应的函数表达式为：， 若的图象关于y轴对称，则， 注意到，所以当且仅当时，的最小值为4，故C错误； 对于D，，若在上恰有4个零点， 则当且仅当， 即的取值范围为. 11.【详解】由定义，即， 即，该曲线过原点，所以， 又，所以，故选项A正确； 故方程为， 所以曲线C的方程为， 直线与曲线：必有公共点， 因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解， 即只有一个解为， 即时，无解， 故，即实数的取值范围为，故B错误； 由，仅当时等号成立，此时点P在的垂直平分线上，故点P与原点O重合，不能形成三角形，所以，所以周长，等号取不到，故C错误； ， 当且仅当，等号成立，此时点P纵坐标为， 方程可化为， 令，则方程， 由判别式，可得，故面积能取到最大值，故D正确. 13【详解】， ， 不妨设，所以， 所以直线的方程为： 14. 【详解】假想一个没有上顶的正方体，该正方体会把空间分割成块，把四面进行极限倾斜相交，如图所示， 在倾斜的过程中，在不管底面的情况下，个侧面在顶点以下的“水平范围”内最多可以切割出个空间，与没有倾斜极限的情况一样， 多出来的空间是交叉的切割出来的空间， 在空间上是对称的，四个倾斜的侧面在空间中的延伸还是这样的倾斜侧面，如图所示的对称的锥面同样会切割出个空间， 即顶点之上的个延伸的倾斜的面同样会切割出个空间， 但是四个空间和下面的四个倾斜的侧面切出的是同一个，即标记“×”的位置， 所以在基础上加减，即结果是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．解：（1）由题意得 （2分） 解得， （3分） 故抛物线方程为． （5分） （2）由题意得直线l的斜率不为0，设直线，与 联立得，由韦达定理得，① （7分） 设，，过O点做l垂线，垂足为G． 由，得，即 由得② （9分） 由①②联立上式得，， （11分） ． （13分） 16．证明：（1）连接，由题意可得， （2分） 又因为平面，平面平面， 平面，所以，由平行传递性可知 （4分） 所以M为靠近的三等分点， （6分） （2）如图，设，连接，， 由题意得，，，故面， 同理可证面，故，， 所以为二面角的平面角 （8分） 设，由二面角为直二面角可知，由（1）可得，故，， 在中，由勾股定理可得 （10分） 即整理得，解得 （12分） 题设可知，则 （14分） 所以 （15分） 方法二：向量法： 设直线与直线交于点O，以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴建立如图所示的空间直角坐标系：． 在中，∵．由射影定理得：，，，设，则： ，，， （8分） 设平面的一个法向量为 则：，即：， ∴ 令，则，∴， （10分） 设平面的一个法向量为 则：，即：， ∴令，则， ∴， （12分） 当二面角为直二面角时，，即：，得：． （13分） ∴ （15分） 17．解：（1）设 在中，① （2分） 在中，由余弦定理 ② （4分） 所以， 所以，， （6分） （2） （7分） （9分） （11分） （13分） （15分） 18．解：（1）， （2分） ，，单调递减， ，，单调递增， （3分） ； （4分） （2）方程可化简为 方程的根就是函数的零点， 易知在，上单调递增 （5分） 因为，， 所以函数在有唯一零点，且 （7分） 因为，， 所以函数在有唯一零点，且 （9分） 则，因此，． （10分） （3）设，则当时恒成立， （12分） ①由（1）得， 当时， ，，单调递减， ，，单调递增， ∴ （14分） ②当时，，这与矛盾， （16分） 综上，． （17分） 19．解析： （1）由题意得①，③是“规范01数列”， （2分） 对于②，由于时，，故②不是“规范01数列”； （3分） （2），，，； （每个1分）（7分） “规范01数列”中，首项，若同时满足： ①当时，；②当时，， 此时可将划分为两部分，即和，由于且，则可构成一个“规范01数列”，所以数列的递推公式为： （9分） （注：学生由得出也可给到10分） （3）① ∴ （10分） 即 由于 当时，（舍去） 当时，，满足题意 故的收缩表达式为； （12分） ② （14分） （15分） 故数列的通项公式为 （17分） （注：其余方法得出均可给到17分） 校本10-2 - 学科网（北京）股份有限公司 $$