专题6 最短路径问题 讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

专题6 最短路径问题 【人教版2024】 【类型1 “将军饮马”模型】 模型一：异侧线段之和最小值问题 如图，定点A,B在动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使PA+PB最小. 连接AB交直线l与点P,∵PA+PB≥AB∴PA+PB的最小值就是线段AB的长 模型二：同侧线段之和最小值问题（即“将军饮马”） 已知直线l和其同侧两个定点A,B,在直线l上找一点C使CA+CB最短. 作点A(或点B)关于直线l的对称点A′（或B′）,连接A′B（AB′）交直线l于点C（点C即为所求）. ∵CA+CB=CA+CB′≥AB′∴CA+CB的最小值就是线段AB′的长 【例1】如图，小河边有两个村庄、．要在河边建一自来水厂向村与村供水．若要使水厂到、村的水管最省料，应建在什么地方？    【答案】利用轴对称求最短路线的方法得出点关于直线的对称点，再连接交于点，即可得出答案． 【详解】如图所示：作点关于直线的对称点，再连接交于点，点即为所求．    【练1.1】如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则 ．    【答案】 【分析】过E作，交于，连接交于，连接，推出为中点，求出和关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】解：过E作，交于，   ，， ， ， ， 是边上的中线，是等边三角形， ， ， ， ， 和关于对称， 连接交于，连接， 则此时的值最小， ∵是等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【练1.2】如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：连接， ∵， ∴垂直平分， ， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、、三点共线，且时，最小， 过点作于点交于点，如图所示： ∴当点在点处，点Q在点E处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 【类型2 “将军饮马”模型拓展】 如图，P为∠AOB内一点，在射线OA、OB上分别找点M和点N，使得△PMN的周长最小 作法：分别作点P关于的对称点 ， ，， ∴的周长， 当四点共线时，有最小值，最小值就是的长. 【例2】如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，点M到草地与河边的距离分别为5km和6km,则牧马人所走的最短路程可能是（ ） A． B．22km C．23 D．24km 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点间线段最短；分别作M点关于河（直线a）、草地（直线b）的对称点B、A，连接，分别与河（直线a）、草地（直线b）相交，交点分别为C、D，这两个交点分别是饮水处与放牧处，从而可得最短的牧马路线． 【详解】解：如图，分别作M点关于河（直线a）、草地（直线b）的对称点B、A，连接，分别与河（直线a）、草地（直线b）相交，交点分别为C、D，连接，则最短路线为． ∵点M到草地与河边的距离分别为5km和6km，∴MA=10km，MB=12km, ∴12-10＜AB＜12+10，即2＜AB＜22 所以牧马人所走的最短路程在2km-22km之间，∴选A 【练2】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为_______________. 【答案】120° 【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案 【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N， 则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠BAD＝120°， ∴∠HAA′＝60°， ∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°， ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN， ∠NAD＋∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°． 【能力闯关】 1.某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区提供牛奶，要使两小区到送奶站的距离相等，则送奶站的位置应该在（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，要使两小区到送奶站的距离相等，只需设在线段的垂直平分线与街道的交点处即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，要使两小区到送奶站的距离相等，只需设在线段的垂直平分线与街道的交点处即可． 故选：B． 2．如图，已知O ，点 P 为其内一定点，分别在O 的两边上找点 A 、 B ，使△ PAB 周长最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形与三角形的周长定义即可求解. 【详解】D图中，三角形的周长=AP+BP+AB=P1A+AB+BP2=P1P2,为一条线段，故为最小，其他三个选项均不是最小周长. 故选D. 【点睛】此题主要考查轴对称的性质与周长的定义，解题的关键是熟知轴对称的性质. 3.如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，根据等边三角形的各边上的高相等，求得CF的长，即为FE+EB的最小值． 【详解】连接CE， ∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线 ∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC ∴EB=EC， 当C. F. E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF， ∵等边△ABC中，F是AB边的中点， 是等边三角形边上的高， 和中 ∴AD=CF=8， ∴EF+BE的最小值为8， 故选D 【点睛】此题考查等边三角形的性质、轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线. 4.如图，在中，，，的面积为18，的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，同时涉及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接、，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，从而可得周长的最小值． 【详解】解：连接、 是等腰三角形，点是边的中点， ,， 的面积为18， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， 、、三点共线时，最小，且最小值为， 的周长最小值， 故选：C． 5.如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查轴对称一最短路径，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于的对称点，连接，当点，P，F三点共线，时，的值最小，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点E关于的对称点E′，连接， ， ， 当点，P，F三点共线，时，的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：8． 6.问题提出 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为______． 问题解决 (2)如图，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】(1)； (2)整个过程所行的路程为． 【分析】（1）如图，连接，由题意可知，当时取得最小值，结合等边三角形性质可求得； （2）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可知： 点B关于直线的对称点为， 连接，设与直线的交点为P， 则， 即当时取得最小值， 是等边三角形， ， 故答案为：； （2）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径．                                         由题意，得， ， ， ， ，                       为等边三角形， ， ， ∴整个过程所行的路程为．                                           【点睛】本题考查了最短路径的实际应用；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6 最短路径问题 【人教版2024】 【类型1 “将军饮马”模型】 模型一：异侧线段之和最小值问题 如图，定点A,B在动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使PA+PB最小. 连接AB交直线l与点P,∵PA+PB≥AB∴PA+PB的最小值就是线段AB的长 模型二：同侧线段之和最小值问题（即“将军饮马”） 已知直线l和其同侧两个定点A,B,在直线l上找一点C使CA+CB最短. 作点A(或点B)关于直线l的对称点A′（或B′）,连接A′B（AB′）交直线l于点C（点C即为所求）. ∵CA+CB=CA+CB′≥AB′∴CA+CB的最小值就是线段AB′的长 【例1】如图，小河边有两个村庄、．要在河边建一自来水厂向村与村供水．若要使水厂到、村的水管最省料，应建在什么地方？    【练1.1】如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则 ．    【练1.2】如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【类型2 “将军饮马”模型拓展】 如图，P为∠AOB内一点，在射线OA、OB上分别找点M和点N，使得△PMN的周长最小 作法：分别作点P关于的对称点 ， ，， ∴的周长， 当四点共线时，有最小值，最小值就是的长. 【例2】如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，点M到草地与河边的距离分别为5km和6km,则牧马人所走的最短路程可能是（ ） A． B．22km C．23 D．24km 【练2】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为_______________. 【能力闯关】 1.某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区提供牛奶，要使两小区到送奶站的距离相等，则送奶站的位置应该在（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知O ，点 P 为其内一定点，分别在O 的两边上找点 A 、 B ，使△ PAB 周长最小的是（    ） A． B． C． D． 3.如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4.如图，在中，，，的面积为18，的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 5.如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 6.问题提出 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为______． 问题解决 (2)如图，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 学科网（北京）股份有限公司 $$