福建省泉州市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试题

2024一2025学年度下学期泉州市高中教学质量监测 2025.07 高一数学参考答案及评分细则 2 3 4 6 8 10 11 B D C B A A C AC ABD ACD 12.913. 14.4,20-8万 15(13分)【试题解析】 1)依题意得了)的最小正周期为T=2江=2红-元， …2分 1wl2 由2-22x+2k+2keZ，（keZ没写扣1分)……4纷 解得a-≤<+，kEZ, 1 …5分 所以函数因的单调造增区间[（晋虹+是·ke乙： (没写成区间形式扣1分，写成开区间不扣分) 6分 2)由xe0孕得2+写e哼领 7分 所以sn2x+孕e号， 8分 所以f)=2si血(2x+爱∈L,2] … …9分 解法一：当xe0,孕时，由W(9,且feL,得≤f …10分 只需满足 11分 因为函数y=在区间[，2]上单调递减， 小…】2分 所以m≤，即实数m的取值范围为（←匀 …13分 解法二：令t=f(x)≤≤2)，可设g0=l,则原题意等价于g),…10分 高一数学试题第1页（共10页） 当m=0时，不等式显然成立： …11分 当m≠0时，因为函数8)=M是单调函数， 81)≤1 「≤1 所以只需满足 8(2)≤1' 即 2ms’ 解得≤三且≠0，…12分 综上，实数m的取值范围为(-0，三 …13分 16.(15分)【试题解析】 (1)因为(0.006+0.014+m+0.024+0.036×10=1,…1分 所以l=0.02,…… …2分 所以甲工厂生产的产品质量指标平均数为 =50×0.06+60×0.14+70×0.24+80×0.36+90×0.2=75,…5分 (答案正确，没有步骤得2分：答案错误，有正确步骤得2分) 方差为s甲=∑（化-… …6分 =0.06×(-22+0.14×(-15)2+0.24×(-5)2+0.36×52+0.2×152 ……7分 =129 …9分 (答案正确，没有步骤得1分：答案错误，有正确步骤得2分) (2)乙工厂生产的产品质量指标平均数为无= 40×63+60×83=75,…11分 100 (答案正确，没有步骤得1分；答案错误，有正确步骤得1分) 方差为52=2×[6+(63-7]+×6+83-7列]…13分 =108,…14分 (答案正确，没有步骤得1分：答案错误，有正确步骤得1分) 所以弹=元，5>52， 以样本估计总体，甲、乙两家工厂产品的质量指标平均数相当，但乙工厂生产 的产品质量指标值方差比较小，产品质量比较稳定，故建议选择乙工厂生产的 产品.（不同的建议如果言之有理，酌情给分）…15分 高一数学试题第2页（共10页） 17.(15分)【试题解析】 (1)因为PC=DC=AB=2,BC=1,PB=√5，…1分 所以PC2+BC2=PB2,所以BC⊥PC,…2分 又因为BC⊥AC,AC∩PC=C, 所以BC⊥平面APC;(AC∩PC=C没写，扣1分)…4分 B (2) 解法一：过点A作AH⊥PC于点H,连结HB 因为BC⊥平面APC,AHC平面APC, 所以BC⊥AH,… …5分 又因为BC∩PC=C, 所以AH⊥平面PBC,(BC∩PC=C没写，扣1分)…6分 所以HB为斜线AB在平面PBC上的射影，∠ABH为直线AB与平面PBC所成 的角，… …7分 在平形四边形ABCD中，AD∥BC, 因为AC⊥BC,所以AD⊥AC, 所以PA⊥AC,在Ri△PAC中，PC=DC=AB=2,BC=1, 由勾股定理可得AC=√5， 根据等面积法可得4H=P4:AC-区 …8分 PC 2 在Rt△PAB中，AB=2, 所以sim∠ABH=AB=V5 AB 4 高一数学试题第3页（共10页） 即直线PB与平面ABC所成的角的正弦值为5 …9分 解法二：因为BC⊥平面APC,BCC平面ABC, 所以平面PBC⊥平面APC,… …5分 过点A作AH⊥PC于点H,连结HB 又因为平面PBC∩平面APC=PC,AHc平面APC, 所以AH⊥平面PBC,…6分 下同解法一： 解法三：在平形四边形ABCD中，AD∥BC, 因为AC⊥BC,所以AD⊥AC, 所以PA⊥AC,……5分 因为BC⊥平面APC,PAC平面APC, 所以BC⊥PA,…6分 又因为AC∩BC=C, 所以PA⊥平面ABC,(AC∩BC=C没写，扣1分)…7分 设点A到平面PBC的距离为h,直线AB与平面PBC所成的角为B, 根据等体积法可得h Va-mc=3V,-AC=PA.S.Ac3 3 S.sc S.rsc 2, 因为AB=2,所以sim0=h=5 AB 4 即直线AB与平面PBC所成的角的正弦值为 …9分 4 (3)由(2)知PA⊥平面ABC,又因为AE⊥BE, 所以-吉ePA-4B=若迟服，10分 解法一：因为AB2+BE2=AB2=4,…11分 所以AB,BB≤AB+BE=2,当且仅当AB=BE=5时等号成立 (等号成立条件没写扣1分)……14分 所以当AE=√2时，三棱锥P-ABE的体积取得最大值， (最大值没写不扣分)…15分 高一数学试题第4页（共10页） 解法二：设AB=x(0<X<2),则BB=√4-2，…11分 %2=V4-2,l 令1=0<1<0.则m=后4-0=名VU-2少+4， 所以当t=2,即AE=√2时，三棱锥P-ABE的体积取得最大值.…15分 (最大值没写不扣分) 解法三：设∠BAB=a0<a<5, 在Rt△AEB中，AE=AB cosa,BE=AB sin a,…11分 1 所以rr=石4B' 39m2a, …12分 因为0<a<,所以0<2a<, 所以当2a=乃即a=牙时，三棱锥P-ABB的体积取得最大值， 4 所以当AE=√反时，三棱锥P-ABE的体积取得最大值. (最大值没写不扣分)…15分 说明：用空间向量的方法证明和求解相应给分， 18.(17分)【试题解析】 (1)因为b2+c2=a2+bc, 所以b2+c2-d2=b派，…1分 由余弦定理得cosA= b2+c2-a2 bc I …3分 2bc 2bc 2 高一数学试题第5页（共10页） 因为A∈(0，)， 所以A=” …4分 (2) 解法一：在△ABC中，由正弦定理得 6 sin B sinC' 又c=4,A= 3 所以b=csinB csin 2π-C9）40sn20 3 cosC-co32πg sinC 3 sinC)23 3 sinC sin C tanC+2, …7分 因为△MBc是锐角三角形，所以Ce(传受 …8分 所以be(2,8),… …9分 因为SABC= Lb sinA=xbx4xsim- 2 2 所以△ABC的面积的取值范围是(2√3,8√3)：…10分 解法二：因为△4BC是锐角三角形， 所以cosB=c2+d-b >0,…6分 2ca >0,且cosC=r+b2-c2 2ab 所以c2+a2-b2>0,且d2+b2-c2>0, 又因为a2=b2+c2-bc,c=4,所以a2=b2-4b+16,…7分 所以16+b2-4b+16-b2>0,且b2-4b+16+b2-16>0,…8分 解得2<b<8,……9分 下同解法一： 解法三：因为△ABC是锐角三角形，所以∠ABC,∠ACB均为锐角， 根据图形变化，考查∠ABC,∠ACB的极端位置情况， 当∠4BC=时，b=C=8, 2 元 CoS- 3 高一数学试题第6页（共10页） 当∠ACB=L时，b=c~cos=2, 2 3 可得当且仅当2<b<8时，△ABC是锐角三角形；…7分 说明：解答题不建议使用此解法，所以用此解法扣2分 下同解法一： (3) 解法一：因为A子∠ABD=∠ACB=子 4 所以∠CBD=π-（匹+亚+5=亚 …11分 4436 因为BD⊥CD,设CD=x,则BC=a=2x,BD=√3x, AB、BC BCsin元 在△ABC中，由正弦定理可得 sin sin T，即AB= 4-2v6 ①， 4 “3 …13分 在△ABD中，由余弦定理可得AD=AB2+BD2-2AB.BDcos ②， 4 …15分 将0减代入@式狗学+-229-15， 化简得x2=9,解得x=3,… …16分 故a=6。…17分 解法二：过点A作AE⊥DE交DC的延长线于点E, B 因为A=5∠ABD=∠ACB 4 所以∠CBD=π-(G+ 十 …11分 4436 高一数学试题第7页（共10页） 因为BD⊥CD,设CD=x,则BC=a=2x,BD=3x, 又因为∠4c=-停9-晋DC4-号牙吾 3412’ …12分 AC BC 所以在△ABC中，由正弦定理可得n5玩 ，即 sin- sin- “12 3 BCsin 5n AC=- 2=W5+ x, …13分 3 sin 3 在△ACB中，AE=ACsin 123 x,CE=4Ccosπ=2 2+10x,…14分 12 3 所以DE=CB-CD=2V X,………15分 3 因为AD=5,在△AD8中，由勾股定理可得5=()+(2的 化简得x2=9,解得x=3,……16分 故a=6 …17分 说明：若用坐标法求解相应给分 19.(17分)【试题解析】 (1) bsin 兀 1=acos- 1. 1=-a- -b 2 解法一：依题意得 即 ,…2分 0=asim5+bcos 3 3 0= a+-b 2 2 解得a=号6s-8 (式子列对一个就给1分：最后答案正确，没有完整步骤得3分) 高一数学试题第8页（共10页） 解法二：A(a,)可由40,0)绕原点O顺时针旋转得到，也就是绕原点O逆时针旋转- a=1.co8(-7-0-sin(- 得到，所以 …2分 b=1sm-+0-cos(7 所以a=b=- …4分 2 (式子列对一个就给1分：最后答案正确，没有完整步骤得3分) (2) 解法一：任取曲线C上点P(x,),点P绕原点O逆时针旋转严后得到点P(x'),则点P 在C上， x=xCos -ysin π2.2 4 依题意得 42- y'=xsin x+ -V p=5巨，’6分 4 422 21 2 代入y=2sin2x,整理得yx=inx牛y,7分 2 所以曲线C'的方程为y-x=sin(x+y), y-x=sin(x+y) 联立 整理得sin(2x+1)=1,…8分 y=x+1 所以2x+1=匹+2m,keZ,即x=- +kπk∈Z, 2 42 所以直线y=x+1与C有无数多个公共点；…9分 (没有求出x的解，直接下结论扣1分) 解法二：将直线)=x+1顺时针旋转子即逆时针旋转-牙得到，则”与C的交点个数 与直线y=x十1与C的交点个数相同，… ……5分 任取1'上一点P(x,),设点P'绕原点O逆时针旋转正后对应的点为Px,), 则P在直线y=x+1上， 高一数学试题第9页（共10页） x=x'cos y'sin 4 4 2 2 依题意得 …6分 y=x'sin-+y'cos π2 4 42 2 代入y=x+1可得y'= √2 …7分 2 所以直线”的方程为y= 2 √ 1V= 联立 2 整理得sin√2x=1,…8分 V= sin√2x 所以V2x=+2akeZ,所以x=2m+Vk元kez, 4 所以直线'与C有无数多个公共点， 即直线y=x+1与C'有无数多个公共点； 9分 (没有求出x的解，直接下结论扣1分) (3)曲线E上存在四个点，使得以这四个点为顶点的四边形为等腰梯形， ……10分 理由如下： 设曲线E绕原点O逆时针旋转角C后得到E',E上点P(x,y)绕原点O逆时针旋 x'=x cosa-ysina 转角a后得到点P(xy),则 y'=xsina+vcosa 当sina≠0，cosa≠0时， x' XCOSO -V sina sin a 由 整理得x=x'cosa+y'sin&, b xsIn a -+y cosa coSa ti ysin a -=X- cosa cosa 由 整理得y=y'C0sa-x'sina,…11分 y cos a 一=十 sina sin a 代入y-x=cos(x+y),得 (cosa-sin a)y'-(cos a+sin a)x'=cos[(cos a-sina)x'+(cosa+sin a)y'] ……12分 高一数学试题第10项（共10页）保密★启用前 2024一2025学年度下学期泉州市高中教学质量监测 2025.07 高一数学 本试卷共19题，满分150分，共8页。考试用时120分钟。 注意事项： 1,答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内 作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号： 非选择题答案使用05毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知z1+i)日1-i2,则z= A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 2.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从 初中部和高中部两层共抽取n名学生.已知该校初中部和高中部分别有1500名和2000名 学生，若从高中部抽取的学生人数为80，则n= A.60 B.100 C.120 D.140 3.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,A=45°，B=75°，则C= A.√2 B.2 c.√6 D.3 4.设a,B为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，且ax∩B=m,则下列说法正确的是 A.若n∥m,则n∥ad B.若n⊥m,则n⊥a或n⊥B C.若n∥a,n∥阝，则n∥m D.若n与a,B所成的角相等，则n⊥m 5.已知向量a,b满足|a=l,b=√2，a⊥(a-b),则a在b上的投影向量为 A.b B.b c. D.-b 高一数学试题第1页（共8页） 6.已知直三棱柱ABC,-ABC的顶点均在球面上，且AA=2√3，∠BAC=30°，BC=1,则该 球的表面积为 A.16元 B. 32π C.4n D. 4π 3 3 7.如图，某款厨房用的香料粉收纳盘为正四棱台造型，其两底面的边长分别为6cm,2cm,若 该收纳盘中香料粉的每日使用量保持不变，收纳盘装满香料 粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度 的一半，则剩余的香料粉大约还可以连续使用 A.7天 B.11天 C.15天 D.19天 8.在△ABC中，AB=AC,BC=2,动点M满足BM=xBC+yBA,且2x+y=1,若N为 AB的中点，则|MNI的最小值为 A.3 B. 2 C. D. 5 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.已知函数fx)=Asin(ox+p(A>0,o>0,pk)的部分图象如图所示，则 A.A=√2 B.0=1 7π 3 12 C.心x-?的图象关于原点对称 D.直线x=是倒的图象的对称轴 12 10.已知，z2∈C,则下列说法正确的是 A.31+22=3+z2 B.若a=名，则名∈R C.若，z2是方程x2-x+2=0的两根，则z2+z22=5 D.若1≤z≤2，则在复平面内，对应的点的集合所成的图形面积为3π 高一数学试题第2页（共8页） 11.已知三棱柱ABC-ABC的底面是边长为2的正三角形，G,M,N分别为AB,BC,AC的 中点，若A4=2,∠AAB=∠AAC=60°，则 A.AA⊥BC B.三棱柱ABC-4RG的体积为2互 C.4M与AW所成的角的余弦值为 14 D.平面MNG截三棱柱所得的截面面积为3 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知一组数据：4,4,5,7,7,7,8,9,9,10，则这组数据的上四分位数（第75百分位数）是 1B.已知v5sma+casa=l,则cos(2a+争 14.数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画 等边三角形ABC,再分别以点A,B,C为圆心，以AB的长为半径画圆弧，便得到莱洛三 角形（如图所示），已知P为AC上的一点，为AB的中点，若BC=4,则P.PC的 最大值为 ,最小值为 B 高一数学试题第3页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=2sin(2x+ (1)求(x)的最小正周期及单调递增区间： (2)当x∈0，时，m)≤1，求实数m的取值范围 高一数学试题第4页（共8页） 16.(15分) 某企业拟从甲、乙两家工厂中选择一家作为供货商，现从两家工厂生产的产品中各抽取 100件，并测量其质量指标值（指标值越大，代表质量越高），测量结果统计如下： 个频率/组距 0.036 质量指标值分组 [45,70) [70,95] 0.024 频数 40 60 m 0.014 平均数 63 83 0.006 方差 6 16 0455565758595质量指标值 甲工厂 乙工厂 (1)求m的值，并估计甲工厂产品质量指标值的样本平均数和样本方差（频率分布直方 图中，同一组的数据用该组区间的中点值作为代表)； (2)结合统计学知识为该企业推荐一家供货商。 高一数学试题第5页（共8页） 17.(15分) 如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2,BC=1,AC⊥BC,将△ACD沿AC翻折至 △ACP(如图2)，使得PB=V5, (1)证明：BC⊥平面PAC: (2)求直线AB与平面PBC所成的角的正弦值： (3)若点E在平面ABC内，AE⊥BE,当三棱锥P-ABE的体积最大时，求AE的长. D 图1 图2 高一数学试题第6页（共8页） 18.(17分) 已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bC· (1)求A: (2)若c=4,求△ABC的面积的取值范围： (3)如图，若D为△MBc外-点，且∠ABD=∠ACB=,BD1CD,AD=压，求a D B 19.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，点P(x,)绕原点O逆时针旋转α角后得到点P(x,y),其中 x=o--ys血2称该公式为点的坐标旋转变换公式. y'=xsina+ycosa, (1)已知点A0,0)可由点4(a,b)绕原点O逆时针旋转？得到，求a,b的值： (2)若曲线C:y= 2血：绕原点O逆时针旋转得到曲线C“,求证：直线y=x+雪 C有无数多个公共点： (3)曲线E:y一x=Cos(x+y)上是否存在四个点，使得以这四个点为顶点的四边形为等腰 梯形？证明你的结论 tn安wT止、子