第3章 实数 第10讲 代数式 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第10讲 代数式 1 2 1.代数式:代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表 示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或者一个字母也是代数式。 例如: ，-13， ， 等。 2.单项式和多项式统称为整式，多项式表示几个单项式的和，多项式的 每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数。 3 1.把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表 示出来，就是列代数式.列代数式时需注意：（1）在同一个式子或具体 问题中，每一个字母只能代表一个量。（2）要注意书写的规范性.如： ①用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“ ”简写作 “ ”或者省略不写。②在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母 的前面，这个数若是带分数，则要把它化成假分数.③含有字母的除法， 一般不用“ ”（除号），而是写成分数的形式。 4 2.（1）单项式的定义：数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义。 （2）单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。 5 3.（1）多项式的定义：几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，每 个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式中次 数最高的项的次数叫做多项式的次数。 （2）多项式的组成元素为单项式，即多项式的每一项都是一个单项式， 单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有 个单项式，次 数是 ，那么这个多项式就叫 次 项式。 6 4.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值.求代数式的值可以直接代入、计算。如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。 5.将多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列，同样，将多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。降幂或升幂排列都是利用加法交换律交换项的位置，注意排列时，各项一定要带着符号移动位置。 7 知识点一：用字母表示数（列代数式） 某服装店销售一种品牌服装，其原价为 元，现有三种调价方案： 方案一：先提价 ，再降价 ；方案二：先提价 ，再降价 ；方案三：先提价 ，再降价 请分析这三种方案调价后的价格是否一样？最后是不是都恢复了原价？ 8 思路点拨 由商品原价为 元，根据各方案的措施列出相应的算式，计算后比较大小，即可得到调价后的价格是否一样 9 解题过程 方案一：调价后价格为 （元）； 方案二：调价后价格为 （元）； 方案三：调价后价格为 （元）， 三种方案调价后的价格不一样，都没有恢复原价。 10 方法提炼 本题考查列代数式，根据各方案列出相应的式子并通过计算规范书写代数式是解题的关键. 11 &2& 用字母表示下列各数： （1）比 的倒数小 的数。 [答案] （2）比 的 大 的数。 [答案] （3）三个连续奇数，中间一个是 ，请分别写出另外两个奇数。 [答案] 3。 12 知识点二：整式及相关概念 已知多项式 是六次四项式，且 的次数与它相同。 （1）求 的值。 思路点拨 根据多项式的概念即可求出m与n的值 解题过程 该多项式是六次四项式， 的次数也是六次， 13 （2）请写出多项式的各项，并求出各项的系数和。 思路点拨 根据多项式的概念即可判断各项与各项系数。 解题过程 该多项式为 该多项式的项有 各项系数为 系数和为 14 方法提炼 本题考查多项式的知识，解题的关键是掌握多项式的次数和单项式的次数的概念，得出 的值，特别注意多项式的次数和单项式的次数的区别和联系，不要混淆。 15 &4& 观察下列三行中有规律的单项式，根据其规律，回答下列问题： 第一行： ； 第二行： ， ， ， ； 第三行： 16 （1）第一行第9个单项式为______，第二行第9个单项式为_ _______， 第三行第9个单项式为_ ______。 <m></m> <m></m> <m></m> [解析] 第一行第 个单项式为 ，故第9个单项式为 ； 第二行第 个单项式为 ，故第9个单项式为 。 第三行：由所给的单项式不难看出，单项式的系数与次数相等，相同系 数的单项式的个数为（系数 - 1），则第9个单项式为 故答案为 ； ； 17 （2）在各行的单项式中，若第一行某个单项式为 ，第二行某个单 项式为 ，第三行某个单项式为 ，则 ___， _ __， ___。 -7 <m></m> 6 （3）在第一行单项式中，猜想第 个单项式为_ ___________。 <m></m> 18 知识点三：代数式在生活实际中的应用 如图， 两地相距 ，嘉嘉从 地出 发，沿 方向以 的速度行进，淇淇从 地出发，沿 方向以 的速度行进，两人同时出发，设行进的 时间为 19 （1）用含 的代数式表示： ①两人行进的路程之和。 思路点拨 根据路程=速度x时间，即可得到答案。 解题过程 嘉嘉以 的速度行进，淇淇以 的速度行进， 行进 后，两人行进的路程之和为 20 ②当 时，两人之间的距离。 思路点拨 先通过计算判断出两人未相遇，再计算即可。 解题过程 设行进 后两人相遇。 嘉嘉以 的速度行进，淇淇以 的速度行进， 两地 相距 ， 。 ， 两人还未相遇。 两人之间的距离为 21 （2）当 时，直接写出两人之间的距离。 思路点拨 计算当 时，两人行进的路程和，判断是否相遇， 再计算距离即可。 解题过程 当 时，两人行进的路程和为 两人之间的距离为 22 方法提炼 本题考查相遇问题，正确理解相遇问题中路程与速度、时间的关系并能正确用代数式表示相关数量是解题的关键. 23 为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定如果 每户每月用水不超过 ，每吨水收费3元；如果每户每月用水超过 ，则超过部分每吨水收费3.8元。小红看到这种收费方法后，想算算 她家每月的水费，但她不清楚家里每月用水是否超过 （1）如果小红家一个月用水 ，那么小红家该月的水费是多少元？ [答案] （元）。 （2）如果小红家一个月用水 ，那么小红家该月的水费是多少元？ [答案] （元）。 24 （3）如果用字母 表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水 费该如何用含 的代数式表示呢？ [答案] ①当 时，小红家每月水费为 元。 ②当 时，小红家每月水费为 元。 25 &7& 观察下列等式： 第1个等式： ；第2个等式： ； 第3个等式： ；第4个等式： ； 26 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式： _ _________________。 <m></m> 思路点拨 根据所给的式子的形式进行求解即可。 27 （2）用含 的代数式表示第 个等式： _ __________ _ ______________（ 为正整数）。 <m></m> <m></m> 思路点拨 分析所给的各个式子，用含 的代数式表示出其中规律. 解题过程 由等式的规律可得 故答案为 ； 28 （3）已知 与 互为相反数，试用上面的规律求值： 。 思路点拨 由题意可求得 ， ，再利用(2)中的规律进行 求解即可。 29 解题过程 与 互为相反数， ，解得 原式= =× =×==。 30 方法提炼 本题考查规律型——数字的变化类、绝对值的非负性、列代数式、有理数的混合运算，由所给的等式总结出存在的规律是解题的关键。 31 1.下列式子中，符合代数式书写形式的是( ) C A. B. C. D. 2.下面说法正确的是( ) D A. 的系数是 B. 的次数是2 C. 的系数是5 D. 的次数是2 32 3.若一件商品售价 元，利润率为 ，则这种商品每件的成本 是( ) C A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 33 4.如图， 两地之间有一条东西向的道路.在 地的正东方向 处 设置第一个广告牌，之后每往东 就设置一个广告牌.某人在 地的 正西方向 处出发，沿此路自西向东走，当经过第 个广告牌时，此 人所走的路程为 ( ) D A. B. C. D. 34 5.按照如图所示的运算程序，下列 输入的数据中，能使输出的结果为 9的是( ) B A. B. C. D. [解析] 当 时，解得 （舍去）.当 时，解 得 或 （舍去）. 只有 符合题意.故选B. 35 6.有一个两位数，十位数字是 ，个位数字是 ，则这个两位数可表示 为_ ________。 <m></m> 7.在式子 ， ， 中，整式的个数是___。 5 8.把多项式 按 的降幂排列是______________ _______________. <m></m> 36 9.某城市居民用电电价为0.33元/千瓦时，某户本月底电能表显示数为 ， 上月底电能表显示数为 （1）用含 和 的代数式把本月电费表示出来。 [答案] 本月电费可表示为 元。 37 （2）若本月底电能表显示数为1601，上月底电能表显示数为1497，问：本月的电费是多少？ [答案] 把 代入 ，得 （元）。 本月的电费为34.32元。 38 10.如图，按图中的程序进行计算。 （1）当输入的 时，输出的数为_____；当输入的 时，输出的数为____。 - 60 -64 39 [解析] 根据运算程序可知，当输入的 时，得 ， 当输入的 时，输出的数为 -60。 根据运算程序可知，当输入的 时，得 再输入 ，得 当输入的 时，输出的数为 -64。 故答案为 - 60； -64。 （2）若输出的数为-52，求输入的整数 的值。 [答案] 当输出的数为 - 52时，分两种情况： 第一种情况： ，解得 第二种情况：当第一次计算结果为 - 26时，再循环一次输出的结果为 - 52， 则 ，解得 综上所述，若输出的数为 - 52，输入的整数 的值为 或 41 11.有若干片相同的拼图，其形状如图1所示，且拼图沿水平方向排列时 可紧密拼成一行，此时底部可与直线贴齐.当4片拼图紧密拼成一行时长 度为 ，如图2所示.当10片拼图紧密拼成一行时长度为 ，如 图3所示.设图1中的两部分的长度分别为 ，则下列说法正确 的是 ( ) 42 A.依题意得， B.1片拼图的长度为 C.将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加 D.将 片拼图紧密拼成一行时，总长度为 √ 43 [解析] 当4片拼图紧密拼成一行时长度为 ①，故A错误。 当10片拼图紧密拼成一行时长度为 ②。 由①②可得 片拼图的长度为 ，故B错误。 将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加 ，故C 错误。 将 片拼图紧密拼成一行时，总长度为 ，故D正确。 故选D。 44 12.某商场举行促销活动，根据顾客一次性购物的标价总额，规定相应 的优惠方法：①若不超过500元，则不予优惠；②若超过500元，但不超 过800元，则按标价总额给予八折优惠；③若超过800元，则其中800元 给予八折优惠，超过800元的部分给予六折优惠。促销期间，小红和妈 妈分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和 元；若合并付款，则她们总共只需付款 ____ 元。（用含 的代数式表示） 或 45 [解析] 由题意知，付款480元，实际标价为480元或 （元）；付款 元，实际标价为 （元）。 ①若合并付款总标价为 元，则应付款 （元）。 46 ②若合并付款总标价为 元，则应付款 （元）。 故答案为 或 47 13.有两桶水，甲桶装有 水，乙桶中的水比甲桶中的水多 现将 甲桶中水量的 倒入乙桶，然后再将此时乙桶中总水量的 倒入甲桶， 我们将上述两个步骤称为一次操作。假定桶足够大，且水不会溢出。 （1）一次操作完成后，若甲、乙两桶中的水共 ，则 ___。 2 [解析] 由题意得， 故答案为2。 48 （2）两次操作完成后，乙桶中的水为_ _______L（用含 的代数式表示）。 <m></m> [解析] 一次操作后：甲桶中有水 ，乙桶中有水 二次操作后：甲桶中有水 L，乙桶中有水 L。 故答案为 49 （3）若重复操作2023次，设甲桶中的水量为 ，乙桶中的水量为 ， 则 ____1（填“＞”“＜”或“ ”）。 ＞ [解析] 三次操作后：甲桶中有水 L，乙桶中有水 L. 四次操作后：甲桶中有水 L，乙桶中有水 重复操作2023次，甲桶中的水量＜乙桶中的水量，即 ＞ 1。故答案为 ＞ 。 50 14.（1）例：代数式 表示 两数和的平方.仿照上例填空： 代数式 表示_________________； 代数式 表示_ ____________________________。 <m></m> 两数的平方差 <m></m> 两数的和与这两数的差的积 （2）试计算 取不同数值时， 及 的值，填入 下表： 的值 ____ ____ _____ ____ ____ _____ 24 12 - 27 24 12 - 27 51 （3）请你再任意给 各取一个数值，并计算 及 的值：当 ___， ___时， ___， ___。 2 1 3 3 [解析] 当 时， 故答案为2；1；3；3.（答案不唯一） 52 （4）规律：_ _______________________。 <m></m> （5）用你发现的规律计算： [答案] 53 15.小张承包了一片土地用于种植草莓，土地平面示 意图如图所示（图中长度单位： ），请根据示意 图回答下列问题： （1）用含 的代数式表示出这片土地的总面积 [答案] 这片土地的总面积 54 （2）由于草莓品种和各个地块土壤条件存在差异，地块①和地块②平 均每平方米可种植9株草莓，剩下地块平均每平方米可种植11株草莓， 则小张总共可种植多少株草莓？（用含 的代数式表示） [答案] 地块①的面积为 ；地块②的面积为 ， 地块①和地块②平均每平方米可种植9株草莓， 地块①和地块②可种植的草莓为 株. 55 除地块①和地块②，剩下地块的面积为 ， 又 剩下地块平均每平方米可种植11株草莓， 除地块①和地块②剩下地块可种植的草莓为 株。 小张总共可种植的草莓为 株. 56 （3）在（2）的条件下，当 时，小张种植草莓的数量为 多少株？ [答案] 当 时， ， 小张种植草莓的数量为19140株。 57 16.如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字.它是由前12位 数字和校验码构成的，其结构分别代表国家代码、厂商代码、产品代码 和校验码.其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正 确性.它的编制是按照特定的算法得来的.其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和 ，即 ； 58 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和 ，即 ； 步骤3：计算 与 的和 ，即 ； 步骤4：取大于或等于 且为10的整数倍的最小数 ，即 ； 步骤5：计算 与 的差就是校验码 ，即 59 请解答下列问题： 60 （1）《辞海》第六版的条形码为 ，则校验码 的值 为___。 9 [解析] 由题意可知， ， 故答案为9。 61 （2）&8& ，该条形码中的一位数字被墨水污染了，请求出这个数字。 [答案] 设这个数字为 由题意得 为10的整数倍， ，即 的值为9。 这个数字为9。 62 （3）&9& ，该条形码中被污染的两个数字的和是5，求这两个数字从左到右分别是多少。 [答案] 设这两个数字从左到右分别是 由题意得 为10的整数倍， 这两个数字从左到右分别是1，4。 63 $$