云南省宣威市部分学校2024-2025学年高二下学期学业水平检测数学试卷

2025年春季学期高二年级学业水平检测试卷 数学 本试卷共4页，19题。全客满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1,答题前，先将自已的姓名，考号等填写在试题卷和容题卡上，并将准考证号条形司 黏贴在答题卡上的指定位置， 名，远样题的作答：选出每小题答案后，用2B船笔把答题卡上对应题日的答案标号溶 屬。可在试题卷，草稿纸和答题卡上的津答题区城均无效 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对皮的容题区城内。可在试 题卷，草稿纸和答题卡上的事答题区城灼无效， L.考试结来后，请将本试题卷和客题卡一并上交。 一、进择题（本题共8小题，每小题5分，其4的分。在每小题给出的国个意项中，只有一项 是符合题目要求的) L已知满足2：十：=3一，其中1为度数单位.测引： A.1 B.3 C.2 0,信 2.若第合X=O,11,则第合Y=(a,b)laEX,a一EX1的真子集的个数为 A.3 且.4 C.7 D.15 3.已知函数z)一2x十anx,若f(na)<f(2),则g的取值范围为 A(0,e) B.(0,e) C.(e,+oa) D.(2.十m) 七已知0是第四象限角，且m(叶)=字·期m计》 A B.-7 c.- D.7 五若图C:十(3一1)=4与圆G:r一1)十(y一：=1有且仪有？条公切线，则#的 取值苍圆是 A,(0,1U(1,1+2、2) B1-2E.1+22) C.(-1-22.11U1.1+22) D.(1-22,1)U1,1+2登) 6,(2+y一x)的展并式中y的系数为 B25 C.-50 )50 7,如图.已知戴物线C的方程为y=16,一束光沿着直线：y一2氧射在A点，期反射光 线解在的直线方程为 A.8r+15y=32-0且.8：-15y+28=0C15r+8y-32=0D.1r+5岁-28=0 数学试量第1西（共4页） 8.若fx)=e一nx在[1,3】上存在曜一的零点，测 A2<<e B. CDd D.n司 二、选择题（本思其子小恩，每小愿6分，并1日分。在每小是给出的这项中，有多项符合墨 目菱求，全都选对的得6分，部分注对的得部分分，有违错的得0分) 9.国家射击运动员在某次调然中的8次射击戒塘（单位：环）为10,7,8,10，，10,8,6，其中 工为整数，若这8次射击成绩的中位数为9，削 A.r=0 B.极差为4 C众数为10 )平均值为&.5 10.在△ABC中，A,B,C新对的边分别为a,b,c,若b,c或等比数列，其公北为g:刚 A.inA,nB,nC战等比数列 技B6费 Cw十c<2b n梦5<< 让已知双描线C后一学-1@>0的左：有焦点为，，左，右瑞点分屑为Ad若A 在C的右支上，AF,=1AR,1AF,且A的纵坐标为产过点-2,0)的直线1与C的 左支交手M,N两点，M在第二象限，则 A.C的离心率为2 B.C的两条渐近线的夹角为写 已过原点O可以作C的两条奶线 D直线MA与NA的交点在直线=一上 三，填空题《本思其3小题，每小题5分，共15分1 12在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,56,若叶c=8A=寻，5m8=3mC,则 ,△AC的外接图的面积为 ,(第一个空3分，第二个空2分) 13.已正四棱台ACD一A:B,CD,的上，下面面边长分期为？和4，且BB,与DD研 在直线五相垂直，侧接棱台的体积为 已每函数代：)=（如r+)>0)在区可（一导·看）上有定义，且其图象在区可 (0,可》上至少有两个对称中心，期的京值范围为 四、解苦题本题其5小题，共7分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步罐 15(本小题满分13分》 已知首项为1的正琪数列a调是血行一V在一了 (1求a1t 《2求(a,1的通项公式： (3)求数列 上一的前项和5 4.+√a 盐学试程第2质引满4用引 16,(本小题调分15分》 D5kAp即于2025年1月1日正式发布并上线，它凭情创新的功能和提高吸引 力的用户体验，在杜交煤体上引发了广泛的讨论和分享，因面产生了黛大的社会效夜，公 司新开发了一数算法，为了测试该算法在青年人和中年人中的应用效果，乱构进行了一项 调查，统计结聚如下表（单位：人） 用户 数果 总计 青年人用户人数 中年人用户人数 有 2十1y 十3 无装 3r-3y +25 总计 10 100 30 (1)求出支y的值， (2)低馨小概率值：=化，01的独文生榜赖，请判断算法的效果在两国不同年静段的 用户中是否存在差异？ (3)先用分层袖样在断有接受调查的用户中袖取30人得到一个医缩样本A,再在A 的青年人用户中一次胜随机钩取3人，求恰有1人的体拾效果为有效的氧率， nlad-he] 附以a+h2a子6+面n-+b中c+d 7.(卷小题澜分15分) 如图，在圆台ACD中，已御上、下耗面率径分别为1和2，体积为7.E为下底面圆 周上一《0E⊥CD,F为O,E的中点，接CF (1)在下意面以0为照心作一个半径为号的圆，求证：在劉0上存在一点G,使得 FG/BC (2)求平面ACD与平面，CF夹角的余弦值 酸学区亚第3页（利4面司 18.(本小题离分17分) 已知质C后+-1a>>0)的长题轴长之比为，，且6经过点反 (1)求C,的方程： (2)设麻圆C的中心在坐标原点，焦点在y轴上，义C与C的离心率附等 ①用：个正的参数A写出C,的方程： @④已知A为C,的右螭点：若BC分别为C1,G上的点，端是：AB,A心=0，AB 心，求（的长轴长的取值范国， 19.(本小题调分17分) 已知函数x)=(:一an士一nu十在 1若■1，付论八x)的单调性： (2)已知f(x)有两个零点，(<n) 《|)证明：<an4: 4日》证明：十x处十2w14>4 数学试盟第车页引我本页)参考答案及解析 数学 2025年春季学期高二年级学业水平检测试卷 数学参考答案及解析 一、选择题 -C=-20,令r=2可得xy的系数为C号=15，故 1.D【解析】设=a十bi,代入2：十=3一2i得之 原展开式中xy2的系数为2×(-20)十15=一25.故 1-2i,所以|=√/5.故选D. 选A, 2.D【解析】若a=0,则b=0或-1：若a=1,则b=0 7.A【解析】联立y=16x与y=2得A(仁，2），抛物 或1，Y=〈(0,0)，(0，-1)，(1,0)，(1,1)}，所以 线C的焦点为F(4,0),由C的光学性质得，反射光 Y={(a,b)a∈X,a-b∈X)的真子集的个数为2一 线所在的直线为AF,其方程为y= 2-0（x-4),即 1=15.故选D. 3.A【解析】由题意可得f(x)=2十cosx>0,故 8x十15y-32=0.故选A f(x)在R上单调递增，所以f(lna)<f(2),等价于 In a<2 8.D【解析】令f(x)=0,因为x∈[13]，所以}= 解得0<a<c,故选A a>0 1-Inx ,令gx).所以R(x)= 一，因为 4.C【解析】由i血(0叶x)=号可得sim0=-专，由于 存在唯一的x∈(1,3)满足：g(x)=0,所以，当 9是第四象限角，则0s0=√-（告）=亭，故 x∈[1，x。]时，g'(x)>0;当x∈[xo,3]时， 0g=-÷,故am(0叶） g'(x)<0,所以g(x)在[1，]，[x3]上分别单 tan cos 0 调递增、单调递减，x为极大值点，因为g(1)=0< tang叶tan于 4十1 3 故远C g(3),所以当且仅当g(1)≤}<g(3)时，直线y 1-anan 1+ 5.D【解析】因为圆C:x2十(y一1)=4与圆C: 十与g(x)的图象有唯一的交点，即了()在 (x一1)2十(y一a)=1有且仅有2条公切线，所以 [1,3]上存在唯一的零点，所以0<<3，所以 圆C:x2十(y-1)=4与圆C2:(x-1)2十 e (y-a)2=1相交，所以2-1<CC<2+1,所以1< >n3故选D /(-1)+(1-a)F<3=1-2√2<a<1或1<a< 二、选择题 9.ABC【解析】将成绩（除了x)从小到大排列为：6,7， 1十2√2.故选D. 8,8,10,10,10,当x=10时，这8次射击成绩的中位 6.A【解析】易得(y一x)‘展开式通项公式为T,-:= C·y-·(-1)x,令r=3可得x2y2的系数为 数8+10=9，所以x=10,故A正确：将8个成绩从小 2 数学 参考答案及解析 到大排列为：6,7,8,8,10,10,10,10，极差为10-6 时，方程无解，不合题意：当且仅当3一>0，即一 4,故B正确：众数为10，故C正确：平均值为 √5<k<3时，方程有两解，不合题意，故C错误：设 6+7+8+8+X10-号，枚D精误，故选AC 1的方程为x=一2，则M(一2,3)，N(一2，-3)，所 8 以MA的方程为y=一3(x十1)，VA:的方程为y 10.AB【解析】A.由正弦定理及a,b,c成等比数列 =x一1，联立解得MA,NA:的交点坐标为 得，sinA,sinB,sinC成等比数列，故A正确：B.由 余弦定理及a,b,c成等比数列得，cosB= (一合，-号)）不在直线x=-十上，故D错误，故 +≥2a5=合，所以B<受，当且仅当 选AB. 2ac 2ac 三、填空题 a=c=b时"=”成立，故B正确：C.因为a,b,e成等 比数列，所以6=ac,因为ac≤（生）广，所以：≤ 12.V,1g【解析】根据正弦定理和5血B=3sC 可得5b=3c,又b十c=8,所以b=3,c=5,故a= (安)'，所以K安，即a十c≥26，故C错误：D 2 √/C十6-2 bccos A= 1 √9+25-2×3×5× q≥1， 9<1, 因为a,b,c成等比数列，所以 或 a+b>c b+c>a ,2R=厘=厘=2厘，R=厘 sin A 所以 9≥1 q1, 2 所以 或 ,解得15<g< 1+q>4 g+g> △ABC的外接圆的面积为R=警，故答案为 1十5，故D错误.故选AB 2 11.AB【解析】由双曲线的定义得，AF!-AF:=2a, 13,282 3 【解析】如图，连接BD,过D作BB平行 因为AF:=1,所以AF=1十2a,因为AF:⊥AF:, 且A的纵坐标为是，所以(1+2)·1=2V瓜+3 线，交BD于E点，又BD∥BD,则四边形 DBBE为平行四边形.又由题，BD=2E,BD= ·是，解得a=1,所以C的离心率为玉=2， a 4V2,则ED1=2√E.又BB⊥DD,BB:=DD,则 故A正确：C的渐近线方程为y=士√3x,倾斜角分 DE=DD,DE⊥DD,则等腰直角△DED斜边上 别为受，号，所以C的两条渐近线的夹角为受，故B 的高，即棱台的高为h=√2，则由棱台体积公式，棱 正确：假设过原点O存在一条直线y=kx与C相 台体积为：号×厄X(2十+2X40)-28.故答 y=kr 切，则 r-y 有难一组解与=1有 案为8 1 唯一解，当且仅当3一k≤0，即k≥√3或k≤一5 ·2 参考答案及解析 数学 a' (10分) 4.(层]【解析】当x∈(-受若)a+专 (13分) 5x=150, x=30, (-肾+号，管+子)，若函数f(x)=an(ax+ 16.解：(1)由已知得， ,所以 3x+3y=150 y=20 受)(>0)在区间(-号，若)上有定义，则 (3分) (2)零假设为H。:算法的效果在两组不同年龄段的 +>-受 ,解得0<w≤1，函数的对称中心 用户中不存在差异， (5分) 晋+受<受 由题意计算得，X=300020X70-30×80)=24 200×100×150×150 满足十号=受·整理得r=32,其图象在 >10.828=r.61, (7分) 区间(0，)上至少有两个对称中心，则工=3跳一2)五 所以依据小概率值a=0.001的独立性检验，推断 H。不成立， 在区间(0，π)上至少有两解，整理得至少存在两个k 即可以判断：算法的效果在两组不同年龄段的用户 值使0<3k一2<6w,故至少有k=1,2两个取值，所 中存在差异。 (9分) 以w>号，综上的取值范为（号1]，故答案为 《3)由已知得，分层抽样比为品-六· (停 故在A的青年人用户中，体验有效的有12个用户， 四、解答题 无效的有3个用户， (12分) 15,解：1)令n=1,有a=1+ 所以一次性随机抽取人3人，恰有1人的体验效果 4a, (1分) 即（√a2-2)=0, 为有效的框率为号一票 (15分) (2分) 解得a4=4, (3分) 17.解：(1)设圆台的高为， 因为上下底面半径分别为1和2，体积为7π， (2)易得V瓜)是以1为首项，=1为公差的 所以7=弯(+2+1X2),所以=3. (2分) 等差数列 (5分) 取O,C的中点H,连接EH,则EH的中点就是要找 故a=1十(n-1)×1=n. (6分) 的G点， (4分) 即an=n2. (7分) 证明如下：因为E为下底面圆周上一点，OE⊥CD, (3)由(2)可得1 1 1 F为O1E的中点， ·3· 数学 参考答案及解析 所以O,G=EH=OH+0OE= 5 2 2 (6分) 轴长之比为1，且C经过点(2号)， 在三角形OEH中，因为F,G分别为O,E,EH的 中点， 所以 (1分) 所以FG∥OH, 导+= 因为OB∥CH,O,B=CH=1,所以四边形OBCH 解得a=万，6=1，所以C的方程为写+y少=1. 为平行四边形， (8分) (3分) 所以O,H∥BC,所以FG∥BC (9分) (2)如图，分别以直线OE,OC,OO为x,y,轴 (2②)0因为C的方程为号+y=1,G的中心在坐 建立空间直角坐标系， 标原点，焦点在y轴上，又C与C,的离心率相等， 所以可设C的方程为学+r=合(A>0) 即C,的方程为3x+y2=A(a>0). (6分) ②因为AB·AC=0,|AB=|AC1,所以AB⊥AC 且|AB|=|AC,A(5,0), 设B(x,)(y≠0) (7分) 则平面ABCD的一个法向量为n1=(1,0,0), 所以1A-(一万)+w产万 (11分) 0(0,0.3),02(0.0,0).C(0,2,0),E(2,0,0): 设C(xr,),所以|AC2=(xe-3)+, 所以F(1,0,号） k=一E 1 (9分) 所以0亡=(0,2,0)，O市-(1,0，号），设平面 直线AC的方程为y=kx（(x一√5)，即y= 1 O,CF的一个法向量为n:=(x,y), (x-), 2y=0, 所以x-=一Byr,代人|AC卡=(xe-) 所以 令x=一3，则=2，所以n= 3 x+=0 十得， (-3,0,2) (13分) |AC:=（k+1)站=✉=B)+正= (x。-3)2 所以平面ABCD与平面O:CF夹角的余弦值为 AB 1·mL=-3L33 V8, mTn:T1×√313 (15分) 因为|AB|=|AC|,所以=(x。-5). 18.解：1)因为椭圆C后+苦 =1(a>b>0)的长，短 (11分) 。4 参考答案及解析 数学 不妨设c=一√3，代入AC的方程可解得 若b≥alna,则f(x)≥f(a)≥0.当且仅当b=alna C(5-,x6-5): (12分) 且x=a时同时取等， 因为C位于C:上，所以A=3(5-)十(x。 f(x)至多一个零点，不合题意： (8分) ,1a},x 3)2=3(y-2√5y+3)+xd-2√3x6+3=(xi+ 所以6 <aln a,取=min{e =max(3a,a,-36,e, 3y)+12-2√5(x+3y), 则f(x)>0,f(x)>0,又f(a)=b-alna<0. B(xoy%)为C上任一点，所以xi十3y=3,化简 所以3x1∈(x,a),3r∈(a,x),使得f(x1)= 得A=15-2√3(x十3y). (14分) f(x4)=0. (9分) 设x。十3y=m,因为B(x6,y)为C上任一点，即 (x-a)In xi-ziIn a=-b 3 十y=1 (Ⅱ)由题意， 有解· (r:-a)In r:-zzIn a=-b x。十3y%=m (经-)h-na=- a 整理得12y一6m%+m一3=0，△=36m一48(m2 即 3)=12(12-m)≥0. (-)n-na=- 解得m∈[-2√3,23]，所以X=15一23m∈ (径-lna-2lna+ina=-。+lna [3,27], (16分) 所以 所以C的长轴长2W瓜∈[25,65]. 17分) 19.解：(1)易得f(x)的定义域为(0，十o),f(x)= (10分) x-1十lnx x (1分) 记Rx)=(红一1Dh,则（会）=（倍） f(1)=0,x>1时，f(x)>0,0<x<1时，f(x)< 即证++2√>4，即证√臣+√>2 0 (2分) (11分) 所以f(x)在区间(0,1)单调递减，在(1，十∞)单调 递增。 (3分) 令=√g)=g (2)(1)f(x)=4+lhx-lna, (4分) 记h(x)=g(x2)=2(x2-1)lnx,则h(t)=h(t). f(a)=0, (5分) 由(1)可得，g(x)在区间(0,1)上单调递减，在(1， x<a时，x-a<0,nx-lna<0,所以f'(r)<0,同 +o∞)上单调递增，所以h(x)在区间(0,1)上单调递 理x>a时，f(x)>0. (6分) 减，在(1，十0○)上单调递增。 (12分) 了(x)在区间(0，a)上单调递减，在(a,十∞)上单调 下证t4十t4>2,由0<<1<t4,只需考虑2<2，即 递增. (7分) 证>2一t, ·5· 数学 参考答案及解析 由h(x)在区间(0,1)上单调递减，即证h(t)=h() m(x)在区间(1,2)上单调递减， (15分) <h(2-t:). (13分) 又m(1)=0,所以m(x)<0,(1<x<2),所以t(x)在 即证2(f-1)lnt2<2[(2-t)一1]ln(2-4),即证 区间(1,2)上单调递减， (16分) (4+1)lnt2<(2-3)n(2-t). 又t(1)=0,所以t(x)<0,证毕，即十t>2,即 记t(x)=(x+1)lnx-(x-3)ln(2-x),t(1)=0, x1十x+2/xxa>4a. (17分) t=+h克 (14分) 记m()=t(r,m（x)=二4x》<0,所以 x(x-2) ·6