第57讲 成对数据的统计分析 专项训练-2026届高三数学一轮复习

第57讲　成对数据的统计分析 基础热身 1.对于样本相关系数r,下列描述正确的是 (　 ) A.r>0表明两个变量线性相关程度很强 B.r<0表明两个变量无关 C.|r|越接近1,表明两个变量线性相关程度越强 D.r越小,表明两个变量线性相关程度越弱 2.下面是一个2×2列联表,其中a,b的值分别为 (　 ) X Y 合计 y1 y2 x1 a 21 73 x2 2 25 27 合计 b 46 100 A.52,54 B.54,52 C.94,146 D.146,94 3.下列四幅残差图对应的回归模型拟合效果最好的是 (　 ) A B C D 4.通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳,得到如下列联表: 单位:人 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 已知χ2=,n=a+b+c+d. α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 则以下结论正确的是 (　 ) A.根据小概率值α=0.001的独立性检验,可以认为是否爱好跳绳与性别无关联 B.根据小概率值α=0.001的独立性检验,可以认为是否爱好跳绳与性别有关联 C.根据小概率值α=0.005的独立性检验,可以认为是否爱好跳绳与性别有关联 D.根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为是否爱好跳绳与性别无关联 5.(多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.已知经验回归方程=0.5x-0.78,则当x=26时,y的估计值为12.22 B.在回归分析中,残差点分布的带状区域的宽度越窄表示拟合效果越差 C.在经验回归方程=-0.3x+10中,当解释变量每增加1个单位时,响应变量将平均减少0.3个单位 D.在回归分析中,决定系数R2用来刻画模型的拟合效果,若R2的值越小,则模型的拟合效果越好 6. 某工厂月生产产品的总成本y(单位:万元)与月产量x(单位:万件)有如下一组数据, x 1 2 3 4 y 3.8 5.6 a 8.2 从散点图分析可知y与x线性相关.如果经验回归方程是=1.4x+2.5,那么表格中数据a的值为　　　　.  综合提升 7.已知关于变量x,y的一组数据如表所示: x 6 8 10 12 y a 10 6 4 根据表中数据计算得到x,y之间的经验回归方程为=-1.4x+20.6,x,y之间的样本相关系数为r,则 (　 ) A.a=10 B.变量x,y正相关 C.r=- D.r=- 8.足球是一项大众喜爱的运动,某机构为了解是否喜爱足球是否与性别有关联,随机抽取了若干人进行调查,已知抽取的女性人数是男性的2倍,男性中喜爱足球的人数占男性人数的,女性中喜爱足球的人数占女性人数的.若本次调查得出“根据小概率值α=0.005的独立性检验,认为是否喜爱足球与性别有关联”的结论,则被调查的男性人数至少为 (　 ) 附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.10 B.11 C.12 D.13 9.已知变量x与y的一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6)满足x1x2x3x4x5x6=e24.6,y1y2y3y4y5y6=e18.3,对各样本数据求自然对数,再利用线性回归分析的方法得到ln =1+ln x.若变量z=2y-0.5x,则当z的预测值最大时,变量x的取值约为(e2≈7.4) (　 ) A.5.4 B.10.9 C.14.8 D.29.6 10.(多选题)某芯片研发单位用在“A芯片”上的研发费用占本单位总研发费用的百分比y如表所示. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码x 1 2 3 4 5 y 20% p 40% 50% q 已知=40%,分别用p=30%和p=40%得到了两组样本数据及对应的两个经验回归方程:=x+,=x+,对应的样本相关系数分别为r1,r2,百分比y对应的方差分别为,,则下列结论正确的是 (　 ) A.r1>r2 B.> C.> D.> 11.(多选题)某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效是否有差异,随机抽取了200名高血压患者开展试验,其中100名患者饭前服药,另外100名患者饭后服药,随后观察药效,将试验数据绘制成如图所示的等高堆积条形图,已知χ2=,n=a+b+c+d,且P(χ2>6.635)=0.01,则下列说法正确的是 (　 ) A.在饭前服药的患者中,药效强的频率为 B.在药效弱的患者中,饭后服药的频率为 C.根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异 D.不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异,这种推断犯错误的概率不超过0.01 12.已知某种商品的投入x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间有如下对应数据: x 2 3 4 6 7 8 y 8 11.5 m 31 36.5 43.5 根据上表可得经验回归方程=6x+,但由于操作员不慎,导致一个数据丢失,但可以知道点(,)在函数y=x2的图象上,根据以上信息,可以得到m的值为　　　　;当投入12万元时,预测销售额为　　　　万元.  13.某国在演习中分析现有导弹技术发展方案的差异,有以下两种方案: 方案一:发展一弹多头主动制导技术,一枚一弹多头导弹的弹体含有3个弹头,每个弹头独立命中的概率均为0.415,一枚弹体至少有一个弹头命中即认为该枚导弹命中,演习中发射该导弹10枚; 方案二:发展一弹一头导弹的机动性和隐蔽性,一枚一弹一头导弹的弹体只含一个弹头,演习中发射该导弹30枚,其中22枚命中. (1)求一枚一弹多头导弹的命中率(精确到0.001),并据此计算本次演习中一弹多头导弹的命中枚数(取0.5853≈0.200,0.4153≈0.071,结果四舍五入取整数); (2)结合(1)的数据,根据小概率值α=0.05的独立性检验,判断本次演习中两种方案的导弹命中率是否存在明显差异. 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 能力拓展 14.某城市居民年收入(所有居民在一年内收入的总和,单位:亿元)与某类商品销售额(单位:亿元)10年的统计数据如下表所示: 第n年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 居民年 收入x 32.2 31.1 32.9 35.7 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 商品销 售额y 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 依据表格数据,得到下面一些统计量的值. xi yi (xi- )2 (yi- )2 (xi-)· (yi-) 379.6 391 246.9 568.9 m (1)根据表中数据,得到样本相关系数r≈0.95,据此推断y与x的线性相关程度是否很强(若|r|≥0.75,则认为线性相关程度很强)? (2)根据统计量的值与样本相关系数r≈0.95,建立y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01). (3)根据(2)中求得的经验回归方程,计算第1个样本点(32.2,25.0)对应的残差(精确到0.01). 附:样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)的样本相关系数r=, ≈1.518,=,=- . 15.某剧场的座位数量是固定的,管理人员统计了最近在该剧场举办的五场表演的票价xi(单位:元)和上座率yi(上座人数与总座位数的比值)的数据,其中i=1,2,3,4,5,并根据统计数据得到如图所示的散点图. (1)由散点图判断y=bx+a与y=cln x+d哪个模型能更好地对y与x的关系进行拟合(给出判断即可,不必说明理由),并根据你的判断结果求出经验回归方程; (2)根据(1)所求的经验回归方程,预测票价为多少时,剧场的门票收入最多. 参考数据:=240,=0.5,=365 000,xiyi=457.5;设zi=ln xi,则zi≈27,≈147.4,ziyi≈12.7;e5.2≈181,e5.4≈221,e6.4≈602. 参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为==,=- 参考答案 1.C　[解析] 若r为正,则两个变量正相关,若r为负,则两个变量负相关.|r|越接近1,表明两个变量线性相关程度越强,|r|越接近0,表明两个变量线性相关程度越弱.故选C. 2.A　[解析] 由题意可得解得所以a,b的值分别为52,54.故选A. 3.D　[解析] 残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好,显然D选项的拟合效果最好.故选D. 4.A　[解析] 由题知χ2=≈7.822.因为7.822<10.828=x0.001,所以根据小概率值α=0.001的独立性检验,可以认为是否爱好跳绳与性别无关联,故A正确,B错误;因为7.822<7.879=x0.005,所以根据小概率值α=0.005的独立性检验,可以认为是否爱好跳绳与性别无关联,故C错误;因为7.822>6.635=x0.01,所以根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为是否爱好跳绳与性别有关联,故D错误.故选A. 5.AC　[解析] 对于A,由经验回归方程=0.5x-0.78可知,当x=26时,=0.5×26-0.78=12.22,故A正确;对于B,在回归分析中,残差点分布的带状区域的宽度越窄表示拟合效果越好,故B错误;对于C,在经验回归方程=-0.3x+10中,当解释变量每增加1个单位时,响应变量将平均减少0.3个单位,故C正确;对于D,在回归分析中,若R2的值越小,则模型的拟合效果越差,故D错误.故选AC. 6.6.4　[解析] 由题意知==2.5,=×(3.8+5.6+a+8.2)=,∵经验回归方程是=1.4x+2.5,∴=1.4×2.5+2.5,∴a=6.4. 7.C　[解析] 因为经验回归直线必过点(,),=9,所以=-1.4+20.6=8=,解得a=12,所以选项A错误;由经验回归方程可知,变量x,y负相关,所以选项B错误;样本相关系数r===-,所以选项C正确,选项D错误.故选C. 8.C　[解析] 设被调查的男性人数为x,则女性人数为2x,根据题意可得列联表如下: 单位:人 态度 性别 合计 男 女 喜爱足球 不喜爱足球 合计 x 2x 3x 则χ2==,因为根据小概率值α=0.005的独立性检验,认为是否喜爱足球与性别有关联,所以χ2≥7.879,即≥7.879,解得x≥11.818 5,又因为列联表中的所有数据均为整数,所以x的最小值为12.故选C. 9.D　[解析] 由已知可得ln x1+ln x2+ln x3+ln x4+ln x5+ln x6=24.6,所以(ln x1+ln x2+ln x3+ln x4+ln x5+ln x6)=4.1,同理(ln y1+ln y2+ln y3+ln y4+ln y5+ln y6)=3.05,代入ln =1+ln x,得3.05=1+4.1,所以=0.5,所以=e,则=2e-0.5x.令t=,则=-0.5t2+2et=-(t-2e)2+2e2,则当t=2e时,取到最大值,此时x=4e2≈29.6.故选D. 10.ABC　[解析] 当p=30%时,q=60%,此时样本点全部在一条直线上,所以r1=1;当p=40%时,q=50%,此时样本点不在一条直线上,所以r2<1.所以r1>r2,故A正确.方差反映了数据的稳定性,因为=40%,所以当p=40%时数据更稳定,故此时方差更小,即>,故B正确.=,两组样本数据中,变量x的数据都相同,变量y的平均数相同,当p=30%时,xiyi=1×20%+2×30%+3×40%+4×50%+5×60%=700%,当p=40%时,xiyi=1×20%+2×40%+3×40%+4×50%+5×50%=670%,所以>,故C正确.因为=-,>,所以<,故D错误.故选ABC. 11.AC　[解析] 由题意可得,在饭前服药的患者中,药效强的有80人,药效弱的有20人,在饭后服药的患者中,药效强的有30人,药效弱的有70人,所以在饭前服药的患者中,药效强的频率为=,故A正确.在药效弱的患者中,饭后服药的频率为=,故B错误.列出2×2列联表如下: 单位:人 药效 服药时间 合计 饭前 饭后 强 80 30 110 弱 20 70 90 合计 100 100 200 由表中数据可得χ2==≈50.51>6.635=x0.01,根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异,故C正确,D错误.故选AC. 12.19.5　67　[解析] 由题意可知,==5,∵点(,)在函数y=x2的图象上,∴=52=25,∴==25,解得m=19.5.又(,)满足经验回归方程=6x+,∴=25-6×5=-5,∴=6x-5.当x=12时,=6×12-5=67. 13.解:(1)由题意可知,一枚一弹多头导弹的命中率为p=1-(1-0.415)3=1-0.5853≈0.800, 所以发射10枚一弹多头导弹,命中枚数为10×0.800=8. 故一枚一弹多头导弹的命中率约为0.800,本次演习中一弹多头导弹的命中枚数为8. (2)列联表如下: 单位:枚 命中情况 方案 合计 方案一 方案二 命中 8 22 30 未命中 2 8 10 合计 10 30 40 零假设为H0:本次演习中两种方案的导弹命中率不存在明显差异,由表中数据得χ2==≈0.178<3.841=x0.05,根据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立, 故本次演习中两种方案的导弹命中率不存在明显差异. 14.解:(1)根据样本相关系数r≈0.95>0.75,可以推断y与x的线性相关程度很强. (2)由r=≈0.95及=, 可得== ≈,所以≈r≈0.95×1.518=1.442 1≈1.44,又因为=37.96,=39.1,所以=- ≈39.1-1.442 1×37.96≈-15.64,所以y关于x的经验回归方程为=1.44x-15.64. (3)第一个样本点(32.2,25.0)的残差为25.0-(1.44×32.2-15.64)=-5.728≈-5.73. 15.解:(1)由题中图可知y=cln x+d能更好地对y与x的关系进行拟合. 由已知得z=ln x,=zi≈=5.4,所以=≈===-0.5,=-≈0.5-(-0.5)×5.4=3.2, 所以y关于z的经验回归方程为=-0.5z+3.2, 所以y关于x的经验回归方程为=-0.5ln x+3.2. (2)设该剧场的总座位数为M,由题意得门票收入为M(-0.5xln x+3.2x). 设函数f(x)=-0.5xln x+3.2x,则f'(x)=-0.5ln x+2.7,可得当f'(x)<0,即x>e5.4时,函数f(x)单调递减,当f'(x)>0,即当0<x<e5.4时,函数f(x)单调递增, 所以f(x)在x=e5.4≈221处取到最大值, 所以预测票价为221元时,剧场的门票收入最多 学科网（北京）股份有限公司 $$