第56讲 用样本估计总体 专项训练-2026届高三数学一轮复习

第56讲　用样本估计总体 基础热身 1.某鞋店试销一种新款女鞋,销售情况如下表: 鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41 日销量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理,那么下列统计量中对你来说最重要的是 (　 ) A.平均数 B.众数 C.中位数 D.极差 2.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况,通过随机抽样调查了100位年轻人,对这些人每天的阅读时间(单位:分钟)进行统计,得到样本的频率分布直方图(如图所示),则a的值为 (　 ) A.0.20 B.0.040 C.0.020 D.0.015 3.已知一组数据从小到大排列为1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,7,7,8,9,10,则这组数据的35%分位数为 (　 ) A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 4.(多选题)据某地统计局发布的数据,现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率数据绘制成如图所示的折线图,已知8月份当地的人均月收入为2000元,现给出如下说法,其中错误的说法为 (　 ) A.9月份当地人均月收入为1980元 B.10月份当地人均月收入为2040元 C.11月份当地人均月收入与8月份相同 D.这五个月中,12月份当地人均月收入最低 5.某大学有男生2000名,为了解该校男生的体重情况,随机抽查了该校100名男生的体重,并将这100名男生的体重(单位:kg)按[54,58),[58,62),[62,66),[66,70),[70,74),[74,78]分成六组,绘制成如图所示的频率分布直方图,则该校体重(单位:kg)在区间[70,78]内的男生大约有　　　　 人.  6.我国关于人工智能领域的研究十分密集,发文量激增,在视觉、语音、自然语言处理等基础智能任务实现方面全球领先,并且拥有一批追求算法技术极致优化的人工智能企业,如图是2011年至2020年这十年人工智能领域高水平论文发表量前十国家及发表的论文数量.现有如下说法: ①这十个国家的论文发表数量的平均数为0.87; ②这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4; ③这十个国家的论文发表数量的众数为0.4; ④德国的论文发表数量占美国的比例约为32%. 其中正确的说法是　　　　.(填序号)  综合提升 7.(多选题)新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于21世纪初,近年来发展迅速,连续8年产销量位居世界第一.下面两图分别是某网站统计的2017年至2022年我国新能源汽车年产量和占比(占我国汽车年总产量的比例)情况,则 (　 ) A.2017—2022年我国新能源汽车年产量逐年增加 B.2017—2022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4 C.2022年我国汽车年总产量超过2700万辆 D.2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量 8.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,x,7,8(其中x≠7),若该组数据的中位数是众数的倍,则该组数据的方差和60%分位数分别是 (　 ) A.,5 B.5,5 C.,6 D.5,6 9.气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日均气温都不低于22 ℃”.已知甲、乙、丙、丁四个地区某连续5天日均气温(单位:℃)的数据特征如下: 甲地 中位数为27,平均数为26 乙地 60%分位数为24,众数为22 丙地 最高气温为31 ℃,平均数为25,标准差为3 丁地 下四分位数为23,上四分位数为28,极差为7 则肯定进入夏季的地区是 (　 ) A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地 10.(多选题)某市800名高二学生参加数学竞赛,随机抽取80名学生的成绩(单位:分),成绩的频率分布直方图如图所示,则下列说法错误的是 (　 ) A.图中a的值为0.03 B.估计这80名学生成绩的中位数为75 C.估计这80名学生成绩的众数为75 D.估计该市高二学生中成绩在[80,90)内的人数为200 11.(多选题)甲、乙两名同学6次模拟考试的英语成绩(不含听力)的统计折线图如图所示,下列说法中正确的是 (　 ) A.若甲、乙两组成绩的平均数分别为,,则> B.若甲、乙两组成绩的方差分别为,,则> C.甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数 D.甲成绩的极差大于乙成绩的极差 12.某校采用样本量比例分配的分层随机抽样方法采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况,部分调查数据如下: 样本量 样本平均数 样本方差 高一 100 167 120 高二 100 170 150 高三 100 173 150 则总样本方差s2=　　　　.  13.已知一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为,方差为s2.若3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数比方差大4,则s2-的最大值为　　　　.  14.某地政府积极引导某村农户因地制宜种植某种经济作物,该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量,质量指标值越大表明质量越好.为了解该类经济作物在该村的种植效益,该村引进了甲、乙两个品种,现随机抽取了这两个不同品种的经济作物各100份(每份1千克)作为样本进行检测,检测结果如下表所示(同一区间的数据取该区间的中点值作代表): 频数　　 质量指标值 经济作物　　　　　 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 甲品种 2 6 24 48 20 乙品种 2 8 38 42 10 分别记甲、乙品种质量指标值的样本平均数分别为和,样本方差分别为和. (1)现已求得=60,=324.64,试求及,并比较样本平均数与方差的大小; (2)该经济作物按其质量指标值划分等级如下表: 质量指标值 [0,40) [40,80) [80,100] 作物等级 二级 一级 特级 利润(元/千克) 10 20 50 现利用样本估计总体,试从样本利润平均数的角度分析该村村民种植哪个品种的经济作物获利更多. 15.学校为提升高一年级学生自主体育锻炼的意识,拟将每周自主体育锻炼的时间不低于6小时的同学称为“体育迷”并予以奖励,为了确定奖励方案,先对学生自主体育锻炼的情况进行抽样调查,学校从高一年级随机抽取100名学生,将他们分为男生组、女生组,对每周自主体育锻炼的时间(单位:小时)分段进行统计.第一段[0,2),第二段[2,4),第三段[4,6),第四段[6,8),第五段[8,10].将男生在各段的频率及女生在各段的频数用折线图表示如下: (1)求折线图中m的值,并估计该校高一年级学生中“体育迷”所占的比例; (2)若中学生每周自主体育锻炼的时间不低于5小时,才能保持身体的健康发展,试估计该校高一年级学生的周平均自主体育锻炼时间是否达到保持身体健康发展的水平?(同一段中的数据用该组区间的中点值为代表) 能力拓展 16.鱼卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜欢,也深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发工作多年,有着不少来自零售商和酒店的客户,当地的习俗是农历正月不生产鱼卷,客户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购,小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位:箱)在[100,200]内的客户称为“熟客”,并把他们去年采购的数量制成下表: 采购数量x [100, 120) [120, 140) [140, 160) [160, 180) [180, 200] 客户数 10 10 5 20 5 (1)根据表中的数据作出频率分布直方图,并估计采购数量在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数. (2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总销售量的,估计小张去年年底的总销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). (3)由于鱼卷受到游客们的青睐,小张做了一份市场调查,用以决定今年年底是否在网上出售鱼卷.若不在网上出售鱼卷,则按去年的价格出售,每箱利润为20元,预计销售量与去年持平;若在网上出售鱼卷,则需把每箱售价下调2至5元,且每下调m元(2≤m≤5)销售量可增加1000m箱.求小张今年年底的收入Y(单位:元)的最大 参考答案 1.B　[解析] 鞋店经理最关心的是哪个鞋号的鞋销量最大,所以最重要的是众数.故选B. 2.C　[解析] 由频率分布直方图可知,0.1+10a+0.45+10a+0.05=20a+0.6=1,解得a=0.020.故选C. 3.B　[解析] 由题意可知这组数据共有20个数,因为20×35%=7,所以这组数据的35%分位数是第7个数和第8个数的平均数,即=4.5,故选B. 4.ACD　[解析] 由题知,8月份当地人均月收入为2000元,9月份当地人均月收入的增长率为0,∴9月份当地人均月收入为2000元,故A中说法错误;∵10月份当地人均月收入的增长率为2%,∴10月份当地人均月收入为2000×(1+2%)=2040(元),故B中说法正确;∵11月份当地人均月收入的增长率为1%,∴11月份当地人均月收入为2040×(1+1%)=2060.4(元),而2060.4≠2000,故C中说法错误;∵12月份当地人均月收入的增长率为-1%,∴12月份当地人均月收入为2040×(1+1%)×(1-1%)=2039.796(元),而2039.796>2000,故D中说法错误.故选ACD. 5.240　[解析] 由频率分布直方图估计,该校体重(单位:kg)在区间[70,78]内的男生的人数为2000×(0.02+0.01)×4=240. 6.①②　[解析] 由题知,论文数量的平均数为×(3.3+2.3+0.6+0.6+0.4+0.4+0.3+0.3+0.3+0.2)=0.87,故①正确;这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4,故②正确;这十个国家的论文发表数量的众数为0.3,故③错误;德国发表论文数量占美国的≈0.181 8,故④错误.故正确的说法是①②. 7.BCD　[解析] 对于A选项,由图可知,从2018年到2019年,我国新能源汽车年产量在下降,故A错误;对于B选项,2017—2022年我国新能源汽车年产量的极差为705.8-79.4=626.4,故B正确;对于C选项,2022年我国汽车年总产量为≈2757(万辆),故C正确;对于D选项,2019年我国汽车年总产量为=2587.5(万辆),2018年我国汽车年总产量为≈2822.22(万辆),因为2587.5<2822.22,所以,2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量,故D正确.故选BCD. 8.C　[解析] 由题意知,中位数为,众数为4,则=4×,解得x=6,所以该组数据的平均数=×(1+4+4+6+7+8)=5,该组数据的方差s2=×[(1-5)2+(4-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(8-5)2]=.因为6×60%=3.6,所以该组数据的60%分位数是6.故选C. 9.C　[解析] 对于甲地,中位数为27,平均数为26,若5天气温的数据为21,26,27,28,28,则甲地没有进入夏季;对于乙地,60%分位数为24,众数为22,5×60%=3,将数据按从小到大的顺序排列,则60%分位数为第三个数与第四个数的平均数,若5天气温的数据为21,22,22,26,27,则乙地没有进入夏季;对于丙地,最高气温为31 ℃,平均数为25,标准差为3,将5个数据按从小到大的顺序排列,设前四个数据依次为x1,x2,x3,x4,则x1≤x2≤x3≤x4,所以[(x1-25)2+(x2-25)2+(x3-25)2+(x4-25)2+(31-25)2]=32,则(x1-25)2+(x2-25)2+(x3-25)2+(x4-25)2=9,所以(x1-25)2≤9,若x1<22,则(x1-25)2>9,这与(x1-25)2≤9矛盾,所以22≤x1≤x2≤x3≤x4,所以丙地肯定进入夏季;对于丁地,下四分位数为23,上四分位数为28,极差为7,由5×=,5×=,得下四分位数为按从小到大排列的第2个数,上四分位数为按从小到大排列的第4个数,若5天气温的数据为21,23,24,28,28,则丁地没有进入夏季.故选C. 10.AB　[解析] 对于选项A,由图可得10×(0.005+0.02+0.04+a+0.01)=1,解得a=0.025,故A中说法错误;对于选项B,因为10×(0.005+0.02)=0.25<0.5,10×(0.005+0.02+0.04)=0.65>0.5,所以这80名学生成绩的中位数位于[70,80)内,设其为x,则0.25+0.04(x-70)=0.5,解得x=76.25,故B中说法错误;对于选项C,由图可知[70,80)的频率最大,所以估计这80名学生成绩的众数为75,故C中说法正确;对于选项D,成绩在[80,90)内的频率为10a=0.25,所以估计该市高二学生中成绩在[80,90)内的人数为0.25×800=200,故D中说法正确.故选AB. 11.AC　[解析] 由折线图可知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都高于乙同学,所以>,故选项A正确;由折线图的变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,则<,故选项B错误;由折线图可得,甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数,故选项C正确;由折线图可知,甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项D错误.故选AC. 12.146　[解析] 由题意知,总样本平均数=×167+×170+×173=170,故总样本方差s2=×[120+(167-170)2]+×[150+(170-170)2]+×[150+(173-170)2]=×(120+9)+×150+×(150+9)=146. 13.-1　[解析] 设3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数为,方差为,可得=3+1,=9s2,则3+1=9s2+4,所以s2=-,所以s2-=--=--,由s2=-≥0,可得≥1,则当=1时,s2-取得最大值--1=-1. 14.解:(1)=×(10×2+30×6+50×24+70×48+90×20)=65.6,=(10-60)2×0.02+(30-60)2×0.08+(50-60)2×0.38+(70-60)2×0.42+(90-60)2×0.1=292.又因为=60,=324.64,所以 >,>. (2)记甲、乙两品种利润的样本平均数分别为,, 则=×(8×10+72×20+20×50)=25.2, =×(10×10+80×20+10×50)=22, 所以>,所以从样本利润平均数的角度分析该村村民种植甲品种的经济作物获利更多. 15.解:(1)由男生自主体育锻炼时间的频率折线图可得,m=1-0.04-0.20-0.24-0.16=0.36. 由女生自主体育锻炼时间的频数折线图可知,女生共有1+4+5+12+3=25(人),其中“体育迷”有12+3=15(人), 故男生共有100-25=75(人),其中“体育迷”有75×(0.24+0.16)=30(人).因此估计该校高一年级学生中“体育迷”所占比例为=0.45=45%. (2)由折线图可知,男生自主体育锻炼时间在第一段至第五段的频数分别为75×0.04=3,75×0.20=15,75×0.36=27,75×0.24=18,75×0.16=12,故这100名学生每周的自主体育锻炼时间在第一段至第五段的频率分别为(1+3)÷100=0.04,(4+15)÷100=0.19,(5+27)÷100=0.32,(12+18)÷100=0.30,(3+12)÷100=0.15,所以估计该校高一年级学生的周平均自主体育锻炼时间为1×0.04+3×0.19+5×0.32+7×0.30+9×0.15=5.66. 因为5.66>5,所以估计该校高一年级学生的周平均自主体育锻炼时间达到了保持身体健康发展的水平. 16.解:(1)作出频率分布直方图,如图所示, 由图可估计采购数量在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数为50×20×=17. (2)去年年底“熟客”们采购的鱼卷总数大约为110×10+130×10+150×5+170×20+190×5=7500(箱),则估计小张去年年底的总销售量为7500÷=12 000(箱). (3)若不在网上出售鱼卷,则今年年底小张的收入为Y1=12 000×20=240 000(元);若在网上出售鱼卷,则今年年底的销售量为(12 000+1000m)箱,每箱的利润为(20-m)元,则今年年底小张的收入为Y2=(20-m)·(12 000+1000m)=1000(-m2+8m+240)=1000[-(m-4)2+256],2≤m≤5,当m=4时, Y2取得最大值256 000. 因为256 000>240 000,所以小张今年年底的收入Y的最大值为256 000 学科网（北京）股份有限公司 $$