第55讲 随机抽样 专项训练-2026届高三数学一轮复习

第九单元　统计 第55讲　随机抽样 基础热身 1.为了解高三年级12个班共600名学生的高考填报志愿的情况,决定在12个班中每班随机抽取10人的志愿进行分析,这个问题中样本量是 (　 ) A.600 B.120 C.50 D.10 2.为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男、女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 (　 ) A.抽签法 B.分层随机抽样法,且按性别分层 C.分层随机抽样法,且按学段分层 D.随机数表法 3.下列抽样中适合用抽签法的是 (　 ) A.从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验 C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱50件)产品中抽取6件进行质量检验 D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验 4. 某校高一共有10个班,编号为01,02,…,10,现用抽签法从中抽取3个班进行调查,设高一(5)班被抽到的可能性为a,高一(6)班被抽到的可能性为b,则 (　 ) A.a=,b= B.a=,b= C.a=,b= D.a=,b= 5.某校高三年级有女生520名,男生480名,若按比例分配的分层随机抽样的方法从高三年级学生中抽取一个容量为200的样本,则男生应抽取　　　　名.  6.高一某班有男生28人,女生21人,现用比例分配的分层随机抽样的方法从该班全体同学中抽取出一个容量为7的样本,已知抽出的男生的平均身高为176 cm,抽出的女生的平均身高为162 cm,估计该班全体同学的平均身高是　　　　cm.  综合提升 7. 为实现乡村生态振兴,走乡村绿色发展之路,乡政府采用比例分配的分层随机抽样的方法从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研,已知甲村和乙村人数之比是3∶1,被抽到的参与环保调研的村民中,甲村的人数比乙村多8人,则参与调研的总人数是(　 ) A.16 B.24 C.32 D.40 8.中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶,二十四节气歌共有四句.某小学三年级共有学生600名,随机抽查100名学生并提问二十四节气歌,只能说出一句的有45人,能说出两句及以上的有38人,据此估计该校三年级的600名学生中,对二十四节气歌一句也说不出的有 (　 ) A.17人 B.83人 C.102人 D.115人 9.甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为4∶3∶3∶2,为了解某种疾病的感染情况,按比例分配的分层随机抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n的样本,已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20,则样本容量n的值是 (　 ) A.200 B.240 C.260 D.280 10.已知某地区中小学生人数如图①所示,为了解该地区中小学生的近视情况,卫生部门根据当地中小学生人数,按比例分配的分层随机抽样的方法抽取了10%的学生进行调查,调查数据如图②所示,则估计该地区中小学生的平均近视率为 (　 ) A.50% B.32% C.30% D.27% 11.(多选题)某学生社团有男生32名,女生24名,从中随机抽取一个容量为7的样本,某次抽样结果为抽到3名男生和4名女生,则下列说法正确的是 (　 ) A.这次抽样可能采用的是抽签法 B.这次抽样不可能是按性别采用比例分配的分层随机抽样法 C.这次抽样中,每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率 D.这次抽样中,每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率 12.采用简单随机抽样法从含15个个体的总体中抽取一个容量为5的样本,则个体a前两次没有被抽到,第三次被抽到的概率为　　　　.  13.3月12日是植树节,某地区有375人参与植树活动,植树的树种及数量的折线图如图所示.植树后,该地区农业局根据树种用比例分配的分层随机抽样的方法抽取75棵树,请专业人士查看植树的情况,则被抽取的柳树的棵数为　　　　 .  14.利用比例分配的分层随机抽样的方法,调研某校学生参加某次数学竞赛的成绩(满分100分),获得的样本数据如下表: 人数 成绩平均数 成绩方差 男生 32 70 16 女生 8 80 36 则总样本的平均数为　　　　 ,方差为　　　　.  参考公式:n个数x1,x2,x3,…,xn的平均数=xi,方差s2=(xi-)2=[(++…+)-n]. 参考数据:8×(36+802)+32×(16+702)-40×722=1440. 能力拓展 15.(多选题)某学校为调查学生迷恋电子游戏的情况,设计如下调查方案,每个被调查者先投掷一枚骰子,若出现向上的点数为3的倍数,则如实回答问题一:“投掷点数是不是奇数?”,反之,如实回答问题二:“你是不是迷恋电子游戏?”.已知被调查的150名学生中,共有30人回答“是”,则下列结论正确的是 (　 ) A.这150名学生中,约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?” B.这150名学生中,必有5人迷恋电子游戏 C.该校约有5%的学生迷恋电子游戏 D.该校约有2%的学生迷恋电子游戏 16.某公司为了调查员工的健康状况(女员工所占比例较大),按性别分层,用比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本,已知所抽取的所有员工的体重的方差为120,女员工的平均体重为50 kg,标准差为6,男员工的平均体重为70 kg,标准差为4.若样本中有21名男员工,则样本中女员工的人数为　　　　 . 参考答案 1.B　[解析] 12个班,每班抽取10人,共抽取120人,所以样本量是120.故选B. 2.C　[解析] 由于男、女生视力情况差异不大,但是小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,故应采用分层随机抽样法,且按学段分层.故选C. 3.B　[解析] 对于选项A,D,总体的个体数较多,不适合用抽签法,故选项A,D错误;对于选项C,甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大,也不适合用抽签法,故选项C错误;对于选项B,总体容量和样本容量都较小,适合用抽签法,故选项B正确.故选B. 4.C　[解析] 由简单随机抽样的定义,知每个个体被抽到的可能性相等,故高一(5)班和高一(6)班被抽到的可能性均为.故选C. 5.96　[解析] 由已知得女生与男生的人数之比为52∶48,则男生应抽取的人数为200×=96. 6.170　[解析] 根据题意得抽出的男生人数为7×=4,女生人数为7×=3,所以估计该班全体同学的平均身高为×(176×4+162×3)=170(cm). 7.A　[解析] 设被抽取参与调研的乙村村民有x人,则甲村被抽取参与调研的村民有3x人,所以3x-x=8,即x=4,所以参与调研的总人数为x+3x=16.故选A. 8.C　[解析] 由题意得,100名学生中一句也说不出的学生有100-45-38=17(人),所以估计该校三年级的600名学生中,对二十四节气歌一句也说不出的有600×=102(人).故选C. 9.B　[解析] 甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为4∶3∶3∶2,因为样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20,所以-=20,解得n=240.故选B. 10.D　[解析] 根据题意,抽取的样本量为(3500+4500+2000)×10%=1000,其中小学生、初中生、高中生抽取的人数分别为350,450,200,根据图②知抽取的小学生、初中生、高中生中近视的人数分别为35,135,100,所以估计该地区中小学生的平均近视率为×100%=27%,故选D. 11.AB　[解析] 根据抽样结果,此次抽样可能采用的是抽签法,A正确;若按性别采用比例分配的分层随机抽样法,则抽得的男生、女生人数分别为4,3,所以这次抽样不可能是按性别采用比例分配的分层随机抽样法,B正确;若按抽签法,则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均相等,C,D错误.故选AB. 12.　[解析] 个体a第一次没有被抽到的概率是,个体a第一次没有被抽到且第二次没有被抽到的概率是×,∴个体a前两次没有被抽到,第三次被抽到的概率是××=. 13.25　[解析] 由题意可知,被抽取的柳树的棵数为75×=25. 14.72　36　[解析] 方法一:总样本的平均数=×70+×80=72.设32名男生的成绩分别为x1,x2,x3,…,x32,8名女生的成绩分别为x33,x34,…,x40,∴男生成绩的方差=[(++…+)-32×702]=16,女生成绩的方差=[(++…+)-8×802]=36,∴++…+=32×(16+702),++…+=8×(36+802),∴总样本的方差s2=×[32×(16+702)+8×(36+802)-40×722]=36. 方法二:总样本的平均数=×70+×80=72,总样本的方差s2=×{32×[16+(70-72)2]+8×[36+(80-72)2]}=36. 15.AC　[解析] 因为掷出点数为3的倍数的概率为,所以理论上回答问题一的人数为150×=50.掷出点数为奇数的概率为,理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”,故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5.对于A,抽样调查的这150名学生中,约有50人回答问题一,故A正确.对于B,抽样调查的这150名学生中,约有5人迷恋电子游戏,故B错误.对于C,D,理论上,抽样调查的150名学生中,50名学生回答问题一,100名学生回答问题二,回答问题二的学生中有5名学生回答“是”, 故该校迷恋电子游戏的学生约占=5%,故C正确,D错误.故选AC. 16.39　[解析] 由题意,样本中女员工的平均体重(单位:kg)和标准差分别为=50,s1=6,男员工的平均体重(单位:kg)和标准差分别为=70,s2=4,设样本中女员工的人数与样本量之比为ω(ω>0.5),则样本中男员工的人数与样本量之比为1-ω,所以样本中全部员工的平均体重(单位:kg)=ω+(1-ω)=70-20ω,方差s2=ω[+(-)2]+(1-ω)[+(-)2]=ω[36+(20-20ω)2]+(1-ω)[16+(-20ω)2]=-400ω2+420ω+16=120,化简得100ω2-105ω+26=0,即(20ω-13)(5ω-2)=0,解得ω=0.65或ω=0.4(舍),所以样本中女员工的人数为×0.65=3 学科网（北京）股份有限公司 $$