1.4问题解决策略：反思 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 问题解决策略：反思 2024版北师大数学八年级数学上册 学习目标 1.经历借助“反思”策略解决问题的过程，了解“反思”策略的意义、适用情境和一般步骤，体会“反思”策略在分析问题、解决问题中的价值，发展思辨能力. 2.积累利用“反思”策略解决不同知识领域问题的经验，提高分析问题、解决问题的能力. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 问题: 如图,一个圆柱的高为12 cm，底面圆的周长为18 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 问题：从A到B的最短路径 问题构建 问题1：在这个问题中,已知条件有哪些？你认为已知条件足够解决这个问题吗？ 问题2：沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短？请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下 已知条件：圆柱的高，圆柱的底面周长，爬行路径的起点和终点,可以解决. 有直线路径，也有曲线路径，展开后可能会得到最短路径. 问题构建 问题3：以前研究过最短路线问题吗?这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同？ 研究过：比如两点之间线段最短；垂线段最短；轴对称的应用等.最大的不同在于研究背景从平面图形到立体图形. 问题4：如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题?各个点的位置如何确定？ 借助七年级上册第一章知识展开与折叠，将曲面转化为平面，在对照立体图形确定各个点的位置. 问题构建 确定A、B位置后，根据两点之间线段最短即可得出AB的长度即为最短距离. 解：在Rt△ABC中，AC=12cm,BC=9cm， 由勾股定理得： 所以=225 AB=15cm 因此，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是15cm. 问题5：在解决上述问题的过程中，你获得了哪些经验？与同伴进行交流. 协作破冰 经验类别 内容一 内容二 内容三 知识转化 立体圆柱转平面长方形 曲线段转线段；不可计算转化为可计算 关联旧知：如展开与折叠；勾股定理；两点之间线段最短. 操作实践 借助水杯、笔筒等实物感受，将抽象的数学转为可感知的实物 明确对应关系，从立体图中的点对应平面上的点 同伴互助：集思广益，和同学交流效率更高 方案设计 分布思考：理解问题-拟定计划-实施计划，逻辑清晰可操作 预设与调整：先预想曲面爬行情况，在提前筛选，简化制图难度 模型制作：迅速用卡纸制作模型，便于操作，提升方案执行度 思想方法 转化 类比 数形结合 问题6：这个问题中，影响结果的量有哪些？如果改变有关的量，你还能求解吗？例如,改变圆柱的形状,改变 A,B 两点的位置,改为沿着圆柱表面爬行…… 这时又会有哪些新的问题？选择部分问题进行研究，并与同伴进行交流. 协作破冰 高度，底面圆周长，A、B点的位置等，改变后可以尝试求解. 例1:如图,圆柱的高为13cm,底面周长为10cm，在圆柱的下底面点A处有一只蚂蚁,它想吃到离上底面1cm的点B处的食物,这只蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？ 过点B作垂线构造直角三角形，借助勾股定理可得出最短路径AB的长. 问题7：解决这个问题的经验，还可以运用到哪些问题中？例如,能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题？ 教师示范 例2：如图,一个无盖长方体形盒子的长、宽、高分别为 8 cm,8 cm,12 cm,一只蚂蚁想从盒底的点 A 沿盒的表面爬到盒顶的点B,你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 借助圆柱体中的学习经验，对长方体进行展开，确定展开后平面图形A、B点的位置，借助勾股定理进行计算. 追问：你能尝试画出展开后的平面图形吗？有几种画法？ 教师示范 方法一：如图所示，展开正面和右面. 在Rt△ABC中，AC=16cm,BC=12cm， 由勾股定理得： 所以=400 AB=20cm 因此，蚂蚁爬行的最短距离是15cm. 方法一：如图所示，展开下面和右面. 在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=20cm， 由勾股定理得： 所以=464 因此，蚂蚁爬行的最短距离的平方是464. 对比两种不同展开方式的结果，可以得出方法一距离更短. 问题8：生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离？举几个实例，并思考解决问题的方案. 教师示范 例3：如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 24 dm，3 dm，3 dm，点M 和点N 是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程为 dm. 立体转平面 展开与折叠 教师示范 立体转平面 展开与折叠 解析：如图所示，因为它的每一级的长、宽、高、分别为 24 dm，3 dm， 3 dm，所以 = 24² +(3×6)² = 30² (dm).即蚂蚁沿着台阶面爬行到点 N 的最短路程是30dm. 例4. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 m的半圆,其边缘AB =CD =20 m，点E在CD上,CE =5m,一滑板爱好者从A点滑到E点，求他滑行的最短距离. 教师示范 教师示范 解：如图是其侧面展开图： AB =CD =20 (m)，DE =CD－CE =15 (m)， 在Rt△ADE 中，20² + 15² = AE²， 解得 AE = 25（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为 25 (m). A B C B E 转化 巩固拓展 例5：两个正数的和是12，求它们积的最大值. 代数问题 方法一：列举法找规律，得出最大值. 两个正数和 一个正数 另一个正数 它们的积 12 2 10 20 12 5 7 35 12 6 6 36 12 8 4 32 12 9 3 27 12 11 1 11 12 5.5 6.5 35.75 12 3.6 8.4 30.24 巩固拓展 题目反思一 当两个正数的和为定值时，研究两个正数之积的最大值，可以借助列举法，列举出一步分特殊取值的情况进行计算，比对不同组数据的计算结果，可以发现，当两个正数的数值越接近时，它的积就越大；当两个正数相等时，它们的积达到最大. 巩固拓展 例5：两个正数的和是12，求它们积的最大值. 代数问题 方法二：数形结合，寻找最大面积. 巩固拓展 题目反思二 当两个正数的和为定值时，研究两个正数之积的最大值，可以借助数形结合法，分别以两个正数的值作为长方形的长和宽，制作长方形，改变长和宽的不同组值，可以发现得到的长方形面积在不断变化，观察变化过程可得，当长方形的长和宽越接近时，长方形面积越大;当长方形变成正方形时，面积达到最大. 巩固拓展 巩固拓展 反思策略的结构化思考 反思策略 反思过程， 强化经验 变式训练， 一题多解 多题一解， 通性通法 比较方法， 形成对比 思考本质，促进应用 1.如图，一只蜗牛从圆柱的点 出发，绕圆柱侧面沿最短路 线爬行到了的中点处.若沿 将圆柱侧面剪开并展开， 则所得的侧面展开图是( ) C A. B. C. D. 当堂检测 当堂检测 2.如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面 盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，经过的中点 ），每根石柱 刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为____米. 20 将圆柱分解为两个圆柱是解决问题的常用方法. 当堂检测 3.两个正数的和是36，求它们积的最大值.你有哪些解 决问题的方法？ 解：方法一：面积法（借助赵爽弦图）. 设这两个正数分别为， ，如图，用8个全等的直角边 长分别为， 的直角三角形拼成“弦图”. 由图可知 ， . 由题意，得 ____. 当堂检测 8个直角三角形的面积为 ___________ _____ ， _____ . 求的最大值，即求 的最小值. 又 最小值为___， 的最大值为_____. 方法二：利用平方差公式求解. 设这两个正数分别为 ，________. 1296 324 0 324 当堂检测 则它们的乘积为 _______________ . 求它们积的最大值，即求 的最小值. 又 的最小值为___， 它们积的最大值为_____. 0 324 当堂检测 4.如图2,长方体的长为 ， 宽为高为点 在 棱上, ,一只蚂蚁要 沿长方体的表面从点爬到点 ， 需要爬行的最短路程是多少？ 解：将长方体按下列三种方案展开： ①如图5，一直角边长为，另外一直角边长为 ， 根据勾股定理,得 ; ②如图6，一直角边长为，另外一直角边长为 ， 根据勾股定理,得 ; 当堂检测 ③如图7， ， ， 根据勾股定理，得 . ， , 一只蚂蚁要沿长方体的表面从点 爬到 点，需要爬行的最短路程是 . 反思总结 1.借助反思策略解决实际问题的一般步骤什么？ 2.本节课使用了哪些数学思想方法？ 3.回顾本章学习过的知识，尝试制作思维导图？. 作业设计 一、基础巩固作业： P22-23 复习题11,12 二、素养类作业 总结本节课例5的四种方法，形成研究报告上交. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. Lavf58.20.100 $$