第54讲 圆锥曲线热点问题（第2课时 定点、定值、探索性问题）专项训练-2026届高三数学一轮复习

第2课时　定点、定值、探索性问题 基础热身 1.已知点P(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上. (1)求抛物线C的方程; (2)A,B是抛物线C上的两个动点,如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2,证明:直线AB过定点. 2.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,四个顶点构成的四边形面积为2. (1)求椭圆的方程; (2)若直线y=kx+m交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,且S△AOB=,求证:+为定值. 综合提升 3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,A,B分别是C的左、右顶点,点(4,)在双曲线C上,D(1,t),直线AD,BD与双曲线C的另一个交点分别为P,Q. (1)求双曲线C的标准方程; (2)证明:直线PQ经过定点. 4.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-2,0),B(2,0),动点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为-,记动点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程. (2)已知点F(1,0),直线l:x=4与x轴交于点D,直线AM与直线l交于点N,是否存在实数λ,使得∠MFD=λ∠NFD恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 能力拓展 5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,点P的坐标为(3,1),且·=6. (1)求双曲线C的方程; (2)过点P的动直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,若点M在线段AB上,且满足=,证明:M在定直线上. 6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交C于A,B两点,过F与l垂直的直线交C于D,E两点,其中B,D在x轴上方,M,N分别为AB,DE的中点. (1)证明:直线MN过定点; (2)设G为直线AE与直线BD的交点,求△GMN面积的最小值 参考答案 1.解:(1)将点P的坐标代入抛物线C的方程,得4=2p,解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x. (2)证明:设直线AB的方程为x=my+t,由得y2-4my-4t=0,由Δ=16m2+16t>0,得m2+t>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4t. 直线PA的斜率k1===,同理可得直线PB的斜率k2=,由题意得+=2,则4(y1+y2+4)=2(y1y2+2y1+2y2+4),整理得y1y2=4,即-4t=4,解得t=-1,故直线AB过定点(-1,0). 2.解:(1)由椭圆的离心率为,可设a=t,c=t(t>0),则b=t.椭圆的四个顶点构成的四边形为菱形,其面积S=×2a×2b=×2t×2t=2t2=2, 可得t=1,则椭圆的方程为+y2=1. (2)证明:联立直线y=kx+m与椭圆+y2=1的方程,消去y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)=16k2-8m2+8>0,则x1+x2=,x1x2=.因为点O到直线y=kx+m的距离d=,|AB|=|x1-x2|,所以 S△AOB=|m|·|x1-x2|=|m|·=|m|·=|m|·=,整理得2m2=2k2+1,则+=(x1+x2)2-2x1x2=-2·=2,所以+为定值. 3.解:(1)由题意得e==,∴5a2=4c2=4(a2+b2),∴a2=4b2.∵点(4,)在双曲线C上,∴-=1,∴-=1,解得b2=1,∴a2=4,∴双曲线C的标准方程为-y2=1. (2)证明:由(1)知A(-2,0),B(2,0),直线AD的方程为y=(x+2),直线BD的方程为y=-t(x-2),设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线AD的方程与双曲线C的方程联立,消去y,得(9-4t2)x2-16t2x-16t2-36=0, ∴解得t≠±,∴-2x1=,即x1=,则y1=,即P,同理可得x2=-,则y2=,即Q.当直线PQ的斜率存在时,kPQ===-, ∴直线PQ的方程为y-=-,即y=-(x-4),此时直线PQ过定点(4,0). 当直线PQ的斜率不存在时,t2=,此时x1=x2=4,则直线PQ的方程为x=4,直线PQ过点(4,0). 综上,直线PQ经过定点(4,0). 4.解:(1)设M(x,y),则kAM·kBM=·=-且x≠±2,整理得曲线C的方程为+=1且x≠±2. (2)由对称性不妨设N(4,n)(n>0),则直线AM的方程为y=(x+2),由得(n2+27)x2+4n2x+4n2-108=0,设M(x0,y0),则-2+x0=-,所以x0=,所以y0=×=. 当x0≠1,即n≠3时,tan∠MFD==,tan∠NFD=,因为===tan∠MFD,所以∠MFD=2∠NFD;当x0=1,即n=3时,易知∠MFD=90°,∠NFD=45°,所以∠MFD=2∠NFD. 综上,存在实数λ=2,使得∠MFD=λ∠NFD恒成立. 5.解:(1)设|F1F2|=2c(c>0),则双曲线C的离心率e===,设a=t,c=2t,t>0,所以F1(-2t,0),F2(2t,0),=(-2t-3,-1),=(2t-3,-1),所以·=(-2t-3)(2t-3)+1=6,解得t=1或t=-1(舍去),所以双曲线C的方程为-y2=1. (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程为y-1=k(x-3),-<k<, 由得(1-3k2)x2-6k(1-3k)x-3(2-6k+9k2)=0, 所以x1+x2=,x1x2=. 设M(x0,y0),根据题意得x1<x0<x2<3,由=,可得=,整理得6x0+2x1x2=(x0+3)(x1+x2),则6x0-=(x0+3),化简得x0-2=kx0-3k,又y0-1=k(x0-3),所以x0-y0-1=0,所以点M在定直线x-y-1=0上. 6.解:(1)证明:设直线AB的方程为x=my+1,m≠0,A,B,M(x0,y0),N(x'0,y'0),由得y2-4my-4=0,∴y0==2m,∴x0=2m2+1,∴M(2m2+1,2m).∵DE⊥AB,∴kDE·kAB=-1, ∴N.当m≠±1时,kMN===,此时直线MN的方程为y= (x-2m2-1)+2m=x-=(x-3),则直线MN恒过定点(3,0);当m=±1时,显然直线MN:x=3也过定点(3,0). 综上,直线MN恒过定点(3,0). (2)设D,E,则kBD==, 则直线BD的方程为y=+y2=x+,同理直线AE的方程为y=x+,又∴xG== ==-1,不妨设m>0,∴yG== =, 点G到直线MN的距离d==, |MN|=·, ∴S△GMN=·2··====2≥8, 当且仅当m=1时可取“=”,故△GMN面积的最小值为8 学科网（北京）股份有限公司 $$