第54讲 圆锥曲线热点问题（第1课时 求值、最值与范围、证明问题）专项训练-2026届高三数学一轮复习

第54讲　圆锥曲线热点问题 第1课时　求值、最值与范围、证明问题 基础热身 1.已知点F到直线l1:3x+4y-11=0的距离为,其中0<p<10.设平面内与点F和直线l2:x=-距离相等的点的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)设直线l1与曲线C在第一象限的交点为A,直线l2与x轴的交点为B,求△ABF的面积. 2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点P(,1). (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,直线OA的斜率为k1,直线OB的斜率为k2,且k1k2=-,求·的取值范围. 综合提升 3.已知点E(,0),F,动点A满足|AE|=|AF|,记动点A的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)若直线l:y=kx+m与双曲线-=1交于M,N两点,且∠MON=(O为坐标原点),求点A到直线l距离的取值范围. 4.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0),点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2. (1)求双曲线C的方程. (2)过点F的直线交双曲线C于A,B两点(其中A在第一象限),交直线x=于点M. (i)求的值; (ii)设O为坐标原点,若过点M且平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于点P,Q,证明:|MP|=|PQ|. 能力拓展 5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,直线l1:y=2x+4与双曲线C仅有一个公共点. (1)求双曲线C的方程; (2)设双曲线C的左顶点为A,直线l2平行于l1,且交双曲线C于M,N两点(异于点A),求证:△AMN的垂心在双曲线C上. 6.已知点F(1,0),P为平面内一动点,以PF为直径的圆与y轴相切,记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)设过点F的直线l与曲线C交于A,B两点,过点A且垂直于l的直线交x轴于点M,过点B且垂直于l的直线交x轴于点N,当四边形MANB的面积最小时,求l的方程 参考答案 第1课时　求值、最值与范围、证明问题 1.解:(1)因为点F到直线l1:3x+4y-11=0的距离为,所以=,又0<p<10,所以p=2,又平面内到直线l2:x=-1与点F(1,0)的距离相等的点的轨迹为曲线C,所以曲线C为抛物线,其方程为y2=4x. (2)由得3y2+16y-44=0,又点A在第一象限,所以可得点A的纵坐标yA=2, 因为直线l2:x=-1交x轴于点B(-1,0),所以|BF|=2, 所以△ABF的面积S=|BF|·|yA|=2. 2.解:(1)由题意得可得 故椭圆C的方程为+=1. (2)若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+t,由得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-9=0,则Δ=12(3+9k2-t2)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.因为k1k2==-,所以y1y2=-x1x2且x1x2≠0,所以3t2-9≠0,即t2≠3, 因为y1=kx1+t,y2=kx2+t, 所以==k2+=k2+==-, 整理得2t2=9k2+3≥3,则t2≥且Δ>0恒成立. 因为·=x1x2+y1y2=x1x2-x1x2=x1x2=·=3·=3,t2≥且t2≠3,所以3∈[-3,0)∪(0,3).当直线l的斜率不存在时,x2=x1,y2=-y1,则k1k2==-=-,又+=1,所以=,=,则·=-=3. 综上,·的取值范围为[-3,0)∪(0,3]. 3.解:(1)设A(x,y),因为|AE|=|AF|, 所以=×, 整理得x2+y2=1,故曲线C的方程为x2+y2=1. (2)由得(4k2-9)x2+8kmx+4m2+36=0, 则有可得m2+9>4k2且k≠±.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,因为∠MON=, 所以⊥,即x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,整理得(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,把x1+x2=-,x1x2=代入,得(k2+1)·+km·+m2=0,化简得m2=,又因为m2+9>4k2且k≠±, 所以+9>4k2且k≠±,解得k≠±. 圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1, 圆心(0,0)到直线l:y=kx+m的距离d===>1,所以点A到直线l距离的最大值为+1,最小值为-1, 故点A到直线l距离的取值范围为. 4.解:(1)因为双曲线C的右焦点F(3,0)到双曲线C的一条渐近线的距离为2,双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0, 所以==2,又c=3,所以b=2,又a2+b2=c2,所以a2=5,故双曲线C的方程为-=1. (2)设直线AB的方程为x=my+3,则点M的纵坐标yM=-,由得(4m2-5)y2+24my+16=0,则4m2-5≠0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=. (i)==. 因为(y1y2-y1yM)-(y2yM-y2y1)=2y1y2-yM(y1+y2)=-·=0,所以y1y2-y1yM=y2yM-y2y1,则|y1y2-y1yM|=|y2yM-y2y1|, 所以=1. (ii)证明:过点M且平行于OA的直线的方程为y+=,直线OB的方程为y=x, 由 得y+=,即y2(my1+3)y+(my1+3)y2=y1(my2+3)y-y1y2,则3(y2-y1)y=-3y1y2-y2,所以点P的纵坐标yP=. 由y1+y2=,y1y2=,得=,则y1y2=-(y1+y2),所以yP====- , 又因为点Q的纵坐标yQ=0,所以yP=, 所以P为线段MQ的中点,所以|MP|=|PQ|. 5.解:(1)因为双曲线C的离心率为,所以=2,即a2=b2,所以双曲线C的方程可化为x2-y2=a2, 由得x2-(2x+4)2=a2,即3x2+16x+a2+48=0.因为直线l1与双曲线C仅有一个公共点,所以Δ=(16)2-4×3(a2+48)=0,可得a2=16, 故双曲线C的方程为-=1. (2)证明:设直线l2的方程为y=2x+m(m≠4,m≠8), 由得3x2+4mx+m2+16=0,由Δ>0,得m2>48,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-m,x1x2=.过点A引MN的垂线交C于另一点H, 由(1)知A(-4,0),则直线AH的方程为y=-(x+4),即y=-x-2.由得3x2-8x-80=0,解得x=-4或x=,所以H,所以kANkMH=== = = =-1,所以MH⊥AN,所以H为△AMN的垂心,又点H在双曲线C上,所以△AMN的垂心在双曲线C上. 6.解:(1)设P(x,y),则以PF为直径的圆的圆心为,根据圆与y轴相切,可得=|PF|=,化简得y2=4x,故曲线C的方程为y2=4x. (2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x-1),由得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,设直线l的倾斜角为θ,则|AM|=|AF||tan θ|,|BN|=|BF||tan θ|,所以|AM|+|BN|=|AF||tan θ|+|BF||tan θ|=|AB||tan θ|=|AB||k|,且|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=+2=.由题意可知四边形MANB为梯形,所以梯形MANB的面积S=S△AMB+S△ANB=|AB|(|AM|+|BN|)=== .设t=|k|>0,设S(t)==8,则S'(t)=8=8×=, 则当t>时,S'(t)>0,S(t)单调递增,当0<t<时,S'(t)<0,S(t)单调递减,所以当t=,即|k|=时,梯形MANB的面积最小,此时k=±, 故直线l的方程为y=±(x-1) , 即x-y-=0 或x+y-= 学科网（北京）股份有限公司 $$