精品解析：四川省资阳市2024-2025学年高一下学期7月期末质量监测数学试题

资阳市2024-2025学年度高中一年级第二学期期末质量监测 数学 本该卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在各答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知平面向量，.若与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知复数，，复数，则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的分位数为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 4. 函数的最小正周期为（ ） A B. C. D. 5. 如图，在中，点满足，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面ABC⊥平面ABD B. 平面ABD⊥平面BDC C. 平面ABC⊥平面BDE D. 平面ABC⊥平面ADC 7 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地区举行了足球联赛，联赛结束后的数据显示：甲队每场比赛平均失球数是1.6，各场比赛失球个数的标准差为1.2；乙队每场比赛平均失球数是2.3，各场比赛失球个数的标准差是0.5，下列说法中正确的是（ ） A. 平均说来甲队比乙队防守技术好 B. 甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 C. 甲队比乙队技术水平更稳定 D. 乙队很少不失球 10. 若向量，满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上投影向量为 11. 函数（，）的部分图象加图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若将的图象向右平移个单位，则所得函数是奇函数 C. 若，，则的范围为 D. 若函数的三个相邻零点分别为，，（），且，则的值是或2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数（i为虚数单位），则________. 13. 将一个总体分为，，三层，其个体数之比为.若，，三层的样本的平均数分别为20，30，40，则总体的平均数为__________. 14. 已知点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中.若，则与的面积之比为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当取什么值时，函数取得最大值？并求出该最大值； （2）若为锐角，且，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，，侧面，是等边三角形，，，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积. 17. 为增强职工身体素质，某企业鼓励职工积极参加徒步活动.为了解运动情况，企业工会从该企业职工中随机抽取了100名，统计他们日均运动步数，并得到如下频率分布直方图： （1）求图中的值； （2）估计该企业职工日均运动步数的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （3）若该企业恰好有的职工的日均运动步数达到了企业制定的“优秀运动者”达标线，试估计该企业制定的“优秀运动者”达标线. 18. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围. 19. 如图①，已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上，，，是上半圆上的动点（不包含，两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题： （1）当平面时，求的值； （2）若，，求与平面所成角的正弦值； （3）若，平面平面，设与平面所成的角为，二面角的平面角为，求取得最大值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 资阳市2024-2025学年度高中一年级第二学期期末质量监测 数学 本该卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在各答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知平面向量，.若与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标运算即可得解． 【详解】因为与共线，所以， 故选：B． 2. 已知复数，，复数，则的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的加法运算及共轭运算，再利用复数的几何意义即可得选项. 【详解】由， 则对应的点为位于第一象限，所以A正确， 故选：A. 3. 一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的分位数为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数计算方法求解即可. 【详解】， 所以第分位数为从小到大排列的第9个数，即第分位数为5. 故选：. 4. 函数最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式和辅助角公式即可化简并求解函数的周期. 【详解】由， 所以函数的周期为， 故选：B． 5. 如图，在中，点满足，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】. 故选：. 6. 如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面ABC⊥平面ABD B. 平面ABD⊥平面BDC C. 平面ABC⊥平面BDE D. 平面ABC⊥平面ADC 【答案】C 【解析】 【分析】利用面面垂直的判断，再结合面面关系的判断方法逐项分析作答. 【详解】因AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则，而，平面， 则有平面，又平面，所以平面ABC⊥平面BDE，C正确； 在平面内取点P，作，垂足分别为M，N，如图， 因平面ABC⊥平面BDE，平面ABC平面，则平面BDE，则有， 若平面ABC⊥平面ABD，同理可得，而，平面， 于是得平面，显然BD与平面不一定垂直，A不正确； 过A作边上的高，连，由得，是边上的高， 则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面ABD与平面BDC不一定垂直，B不正确； 因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角， 平面ABC与平面ADC不一定垂直，D不正确. 故选：C 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式，以及切化弦可求得，的值，进而利用两角和的余弦公式可求值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. 故选：A. 8. 如图，在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理求出的外接圆的圆心，确定球心的位置，利用勾股定理列式求出球的半径，再根据球的体积公式即可求解. 【详解】如图，设三棱锥外接球的球心为点，的外接圆的圆心为点， 连接，则，设的外接圆的半径为， ，可得，即， 因为平面，， 所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积为. 故选：. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地区举行了足球联赛，联赛结束后的数据显示：甲队每场比赛平均失球数是1.6，各场比赛失球个数的标准差为1.2；乙队每场比赛平均失球数是2.3，各场比赛失球个数的标准差是0.5，下列说法中正确的是（ ） A. 平均说来甲队比乙队防守技术好 B. 甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 C. 甲队比乙队技术水平更稳定 D. 乙队很少不失球 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平均数估计数据的平均水平，方差估计数据的稳定性，用来解释实际情况. 【详解】因为甲队每场比赛平均失球数是1.6小于乙队每场比赛平均失球数是2.3， 所以平均说来甲队比乙队防守技术好，故A正确； 甲队各场比赛失球个数的标准差为1.2大于乙队各场比赛失球个数的标准差是0.5， 所以乙队比甲队技术水平更稳定，故C错误； 甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，故B正确； 虽然乙队每场比赛平均失球数是2.3，算是较大的数，而各场比赛失球个数的标准差是0.5，由于标准差很小，方差是更小，说明每场失球数都集中在2.3附近，所以认为乙队很少不失球是正确的，故D正确； 故选：ABD. 10. 若向量，满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知可得可判断B；利用向量的夹角公式求解可判断A；求得可判断C；利用投影向量的定义求解可判断D. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，故B正确； 所以，又，所以，故A错误； ，所以与不垂直，故C错误； 因为， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 11. 函数（，）的部分图象加图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若将的图象向右平移个单位，则所得函数是奇函数 C. 若，，则的范围为 D. 若函数的三个相邻零点分别为，，（），且，则的值是或2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数图象求解析式可判断；根据三角函数图象平移及正弦函数的奇偶性可判断；利用分离参数法及正弦型函数的值域可判断；根据正弦函数的图象性质可判断； 【详解】对于：， 所以，可得， 又， 因为，所以， 所以，故正确； 对于：将的图象向右平移个单位后的解析式为，该函数不是奇函数，故错误； 对于：，可得， ， ， ，所以， 所以，所以，， 所以，所以，故正确； 对于：函数零点，即的解， 即，所以， 若，则，此时， 若，则，此时，所以或，故正确. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数（i为虚数单位），则________. 【答案】 【解析】 【分析】 由复数的运算法则得，由复数模的概念即可得解. 【详解】由题意，所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查了复数的运算和复数模的概念，属于基础题. 13. 将一个总体分为，，三层，其个体数之比为.若，，三层样本的平均数分别为20，30，40，则总体的平均数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合分层抽样的概念即可求解. 【详解】由题意可知样本的平均数为. 所以总体的平均数为. 故答案为：. 14. 已知点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中.若，则与的面积之比为__________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】利用重心向量公式，结合线性运算和平面向量基本定理，可得系数关系，即可求解参数，从而把面积之比转化为底边之比乘上高之比即可求解.. 【详解】因为点是的重心，所以， 因为，所以，即， 设，则， 又因为，所以， 又因为，所以，即， 则， 所以与的面积之比， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当取什么值时，函数取得最大值？并求出该最大值； （2）若为锐角，且，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式及正弦函数的性质即可求解； （2）根据诱导公式，同角关系式及二倍角公式即可求解. 【小问1详解】 ， ， ， 所以， 即时，取得最大值，且. 【小问2详解】 ， 所以， 因为为锐角，所以， 所以， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，，侧面，是等边三角形，，，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及判定定理即可证明； （2）利用面面垂直的判定定理及性质定理确定四棱锥的高，再根据锥体的体积公式求解即可. 【小问1详解】 因为面，面， 所以， 因为是等边三角形，是线段的中点， 所以， 又因为，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为面，平面， 所以平面平面， 又平面平面， 取中点为， 因为是等边三角形，所以， 平面， 所以平面，即为四棱锥的高， 因为是等边三角形，， 所以， 所以四棱锥的体积为. 17. 为增强职工身体素质，某企业鼓励职工积极参加徒步活动.为了解运动情况，企业工会从该企业职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图： （1）求图中的值； （2）估计该企业职工日均运动步数的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （3）若该企业恰好有的职工的日均运动步数达到了企业制定的“优秀运动者”达标线，试估计该企业制定的“优秀运动者”达标线. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率和为1列式求解； （2）（3）由频率分布直方图数据求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，解得． 【小问2详解】 设平均数为，则． 所以该企业职工日均运动步数的平均数约为9.08千步． 【小问3详解】 日均运动步数在的频率为， 日均运动步数在的频率为， 日均运动步数在的频率为， 所以达标线位于内，则达标线为为，解得， 该企业制定的优秀强国运动者达标线是千步. 18. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）由条件利用两角和差的三角公式化简求出，即可求解； （2）利用余弦定理列方程可求出，再利用三角形面积公式即可求解； （3）利用正弦定理把边化为角，再利用两角和差公式以及辅助角公式化简得，利用三角函数的值域求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， ， ，因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 在锐角中，由余弦定理可得， 又，，，所以，整理得， 解得或（舍去），所以， 所以. 【小问3详解】 设锐角外接圆半径为，由正弦定理可得：， 所以 ， 其中，为锐角， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以， 又， ， 所以，即， 所以，从而的取值范围为. 19. 如图①，已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上，，，是上半圆上的动点（不包含，两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题： （1）当平面时，求的值； （2）若，，求与平面所成角的正弦值； （3）若，平面平面，设与平面所成的角为，二面角的平面角为，求取得最大值时的值. 【答案】（1） （2）与平面所成角的正弦值 （3）取得最大值时 【解析】 【分析】（1）连接交于点M，连接，则有，可得，即可得答案； （2）由题意可得平面，可得平面平面，过作于，连接，可得为与平面所成的角，求解即可； （3）作于，连接，所以即为与平面所成的角为，过作，垂足为，连结，为二面角的平面角，进而计算可得的最大值即此时的的值. 【小问1详解】 连接交于点M，连接， 因为，，所以， 则平面平面， 依题意，平面，平面，所以， 所以，等腰梯形中，， 所以； 【小问2详解】 因为等腰梯形的外接圆圆心在底边上，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过作于，连接，所以平面， 则为与平面所成的角， 由（1）可得， ，， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以， 所以与平面所成角的正弦值； 【小问3详解】 作于，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以是在平面内的射影， 因为，所以， 所以即为与平面所成的角为，则， 过作，垂足为，连结， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 所以，所以，， 所以， 当且仅当时，取得最大值，即取的最大值， 所以取得最大值时. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$