浙江省杭州市西湖区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）以下图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）已知反比例函数的图象经过点A（2，﹣3），则函数图象一定还经过（　　） A．（1，6） B．（3，2） C．（﹣6，1） D．（﹣3，﹣2） 3．（3分）下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3 5．（3分）给出一组数据：a，b，c，c，d（a＜b＜c＜d），将这组数据改变为a﹣2，b，c，c，d+2后，比较这两组数据，统计量一定发生变化的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 6．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，AM⊥y轴于点M，若△AOM 的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝CO，BO＝DO．（　　） A．若AC⊥BD，则AO＝BO B．若AC⊥BD，则∠BAC＝∠DAC C．若AC＝BD，则∠ABD＝∠CBD D．若AC＝BD，则AB＝BC 8．（3分）随着生产技术的进步，某款药品的生产成本逐年下降．两年前生产1吨药品的成本是5000元，现在生产1吨该款药品的成本是3000元，设药品成本的年平均下降率为x，则可列方程（　　） A．2×3000（1﹣x）＝5000 B．3000（1﹣x）2＝5000 C．2×5000（1﹣x）＝3000 D．5000（1﹣x）2＝3000 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将它向右平移得到Rt△A'B'C'，AC和A′B′交于点D，延长BA，C′A′交于点E，若BC′＝7，B'C＝3，则线段DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（3分）已知点M（x1，n），N（x2，n+2）都在反比例函数（a为实数）的图象上，（　　） A．若x1x2＜0，则﹣2＜n＜0 B．若x1x2＞0，则n＜﹣2 C．若n＜0，则x1﹣x2＜0 D．若n＞﹣2，则x1﹣x2＞0 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）要使二次根式有意义，则x的值可以是 　 　 ．（写出一个即可） 12．（3分）若一个八边形的每个外角都相等，则它的一个内角等于　 　 度． 13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，若AC＝4，AB＝5，则对角线BD的长为　 　 ． 14．（3分）某位射击运动员的10次射击训练成绩统计如下： 成绩/环 6 7 8 9 10 次数 1 1 3 4 1 则10次成绩的中位数为　 　 环． 15．（3分）在直角坐标系中，函数y＝kx与函数的函数图象交于点A（﹣3，m），B（n，5），则k2的值为　 　 ． 16．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，连接AE，AF，DE．若菱形面积为，AB＝14，四边形AECF的面积是△ABE面积的3.5倍，则线段ED的长为 　 　 ． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣12＝0． （1）当b＝4时，求方程的解． （2）若x＝3是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 19．（8分）李老师要从小聪、小亮两人中选拔一人参加知识竞赛，现对两人的5次测试成绩进行整理分析，两人的成绩如下： 小聪：76，80，79，85，80； 小亮：77，79，81，82，81． 李老师将两人的成绩分析如下：（单位：分）． 平均成绩 中位数 众数 小聪 a 80 c 小亮 80 b 81 （1）填空：a＝　 　 ；b＝　 　 ；c＝　 　 ． （2）李老师已经求得小聪5次测试成绩的方差S2＝8.4，请你帮助李老师计算小亮5次测试成绩的方差． （3）根据以上信息，请你运用所学的统计知识帮助李老师作出选择，并说明理由． 20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，连接AE，CF，AC． （1）求证：四边形AECF为平行四边形． （2）若CF＝AF＝5，AC＝8，求四边形AECF的面积． 21．（8分）在直角坐标系中，函数和函数y2＝﹣x+b（k≠0，k，b为常数）的图象交于点A（﹣1，4）和点B． （1）求函数y1，y2的表达式． （2）求点B的坐标，并直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围． （3）设坐标原点为O，求△ABO的面积． 22．（10分）综合与实践 【定义学习】 若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180°），则称这个四边形为“圆满四边形”． 【概念理解】 （1）在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是 　 　 ；（请填写序号） 【性质探究】 （2）如图1，已知四边形ABCD是“圆满四边形”，若AB＝AD＝3，CB＝CD，对角线AC＝5，求四边形ABCD的周长． 【判定探究】 （3）如图2，已知OD平分∠AOB，点C在射线OD上，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，点G在射线EA上，点H在线段OF上，EG＝FH，连接CG，CH．求证：四边形GOHC为“圆满四边形”． 23．（10分）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y关于x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？ （3）超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由． 24．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接BE，点C关于直线BE的对称点为点F，连接BF，EF． （1）如图1，若点F恰好落在对角线BD上，连接AF，求∠CAF的度数． （2）如图2，连接DF，CF，若DF∥BE，试判断线段DF与CF的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）如图3，连接DF，DE，记△DEF的面积为S1，△BEF的面积为S2，若DF⊥FE，求的值． 2024-2025学年浙江省杭州市西湖区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D C D B D A A 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）以下图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； C．图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．（3分）已知反比例函数的图象经过点A（2，﹣3），则函数图象一定还经过（　　） A．（1，6） B．（3，2） C．（﹣6，1） D．（﹣3，﹣2） 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（2，﹣3）， ∴k＝﹣6， ∴反比例函数图象分布在第二四象限， ∴函数图象一定还经过第二象限， 故选：C． 3．（3分）下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：不是同类项，不能进行合并计算，故A选项不符合题意； 2，故B选项不符合题意； ，故C选项符合题意； ，故D选项不符合题意， 故选：C． 4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3 【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝（﹣m）2﹣4×1×2＞0， 解得m2＞8， 所以符合的数是﹣3． 故选：D． 5．（3分）给出一组数据：a，b，c，c，d（a＜b＜c＜d），将这组数据改变为a﹣2，b，c，c，d+2后，比较这两组数据，统计量一定发生变化的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【解答】解：给出一组数据：a，b，c，c，d（a＜b＜c＜d），将这组数据改变为a﹣2，b，c，c，d+2后，比较这两组数据，统计量一定发生变化的是方差，平均数、众数和中位数不变． 故选：C． 6．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，AM⊥y轴于点M，若△AOM 的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 【解答】解：∵点A在反比例函数的图象上，AM⊥y轴于点M，若△AOM 的面积为4， ∴k＝2S△AOM＝2×4＝8． 故选：D． 7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝CO，BO＝DO．（　　） A．若AC⊥BD，则AO＝BO B．若AC⊥BD，则∠BAC＝∠DAC C．若AC＝BD，则∠ABD＝∠CBD D．若AC＝BD，则AB＝BC 【解答】解：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形． A．若AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形， 不能判定AO＝BO，故不符合题意； B．若AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠DAC，故符合题意； C．若AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形， 不能证明∠ABD＝∠CBD，故不符合题意； D．若AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形， 不能证明AB＝BC，故不符合题意． 故选：B． 8．（3分）随着生产技术的进步，某款药品的生产成本逐年下降．两年前生产1吨药品的成本是5000元，现在生产1吨该款药品的成本是3000元，设药品成本的年平均下降率为x，则可列方程（　　） A．2×3000（1﹣x）＝5000 B．3000（1﹣x）2＝5000 C．2×5000（1﹣x）＝3000 D．5000（1﹣x）2＝3000 【解答】解：根据题意，得：5000（1﹣x）2＝3000． 故选：D． 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将它向右平移得到Rt△A'B'C'，AC和A′B′交于点D，延长BA，C′A′交于点E，若BC′＝7，B'C＝3，则线段DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：如图，连接AA′． ∵∠BAC＝∠B′A′C′＝90°， ∴∠EAD＝∠EA′D＝90°， ∵AB∥A′B′， ∴∠ADA′＝∠BAC＝90°， ∴四边形ADA′E是矩形， ∴DE＝AA′， ∵BC′＝7，B'C＝3，BB′＝CC′， ∴BB′＝CC′＝2， ∴AA′＝BB′＝2， ∴DE＝AA′＝2． 故选：A． 10．（3分）已知点M（x1，n），N（x2，n+2）都在反比例函数（a为实数）的图象上，（　　） A．若x1x2＜0，则﹣2＜n＜0 B．若x1x2＞0，则n＜﹣2 C．若n＜0，则x1﹣x2＜0 D．若n＞﹣2，则x1﹣x2＞0 【解答】解：∵反比例函数常量a2+1＞0， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， A、若x1x2＜0，则点M（x1，n）在第三象限，N（x2，n+2）在第一象限，﹣2＜n＜0，原说法正确，符合题意； B、若x1x2＞0，点M（x1，n），N（x2，n+2）都在同一分支上，则n＜﹣2或n＞0，原说法错误，不符合题意； C、若n＜0，无法确定N（x2，n+2）所在象限，也无法判断x1﹣x2＜0是否成立，原说法错误，不符合题意； D、若n＞﹣2，无法确定点M（x1，n），所在象限，也无法判断x1﹣x2＞0是否成立，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）要使二次根式有意义，则x的值可以是 　2（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【解答】解：∵x﹣2≥0， ∴x≥2， ∴x的值可以是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 12．（3分）若一个八边形的每个外角都相等，则它的一个内角等于　135　 度． 【解答】解：∵八边形的外角和是360°，这个八边形的每个外角都相等， ∴这个八边形的每个外角是360°÷8＝45°， ∴它的一个内角等于180°﹣45°＝135°， 故答案为：135． 13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，若AC＝4，AB＝5，则对角线BD的长为　2　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝4，AB＝5， ∴OD＝OB，OC＝OAAC＝2， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴BC3， ∴OB， ∴BD＝2OB＝2， 故答案为：2． 14．（3分）某位射击运动员的10次射击训练成绩统计如下： 成绩/环 6 7 8 9 10 次数 1 1 3 4 1 则10次成绩的中位数为　8.5　 环． 【解答】解：把射击运动员的10次射击训练成绩从小到大排列为：6，7，8，8，8，9，9，9，9，10， ∴10次成绩的中位数为：8.5（环）， 故答案为：8.5． 15．（3分）在直角坐标系中，函数y＝kx与函数的函数图象交于点A（﹣3，m），B（n，5），则k2的值为　15　 ． 【解答】解：∵两个函数图象关于原点成中心对称图形，且点A（﹣3，m），B（n，5）， ∴n＝3，m＝﹣5， ∴点A（﹣3，﹣5），B（3，5）， ∴k2＝15， 故答案为：15． 16．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，连接AE，AF，DE．若菱形面积为，AB＝14，四边形AECF的面积是△ABE面积的3.5倍，则线段ED的长为 　　 ． 【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接AC，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，AB＝14， ∴BC＝AB＝CD＝14，AD∥BC， ∵菱形面积为， ∴BC•AM， ∴14×AM， ∴AM， 同理：AN＝AM， ∵BE＝CF， ∴△ABE和△ACF等底等高， ∴S△ABE＝S△ACF， ∵四边形AECF的面积是△ABE面积的3.5倍， ∴S△AEC+S△ACF＝3.5×S△ABE， ∴S△AEC＝3.5×S△ABE﹣S△ACF＝2.5×S△ABE， ∴1EC•AM＝2.5BE•AM， ∴EC＝2.5×BE， ∴BC＝BE+EC＝3.5×BE＝14， ∴BE＝4， ∴EC＝2.5×BE＝10， ∵AD∥BC，AM⊥BC，AN⊥CD， 根据平行线间的距离处处相等得：DH＝AM， 在Rt△DCH中，由勾股定理得：CH6， ∴EH＝EC+CH＝10+6＝16， 在Rt△EDH中，由勾股定理得：ED． 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝323 ； （2） ＝（）2﹣（）2 ＝5﹣3 ＝2． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣12＝0． （1）当b＝4时，求方程的解． （2）若x＝3是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 【解答】解：（1）当b＝4，原方程为x2+4x﹣12＝0， Δ＝42+4×12＝64， x， 解得x1＝﹣6，x2＝2； （2）设方程的另一个解为m，由根与系数的关系可知：3m＝﹣12， 解得m＝﹣4， 3+（﹣4）＝﹣b，解得b＝1， ∴方程的另一个根为﹣4，b＝1． 19．（8分）李老师要从小聪、小亮两人中选拔一人参加知识竞赛，现对两人的5次测试成绩进行整理分析，两人的成绩如下： 小聪：76，80，79，85，80； 小亮：77，79，81，82，81． 李老师将两人的成绩分析如下：（单位：分）． 平均成绩 中位数 众数 小聪 a 80 c 小亮 80 b 81 （1）填空：a＝　80　 ；b＝　81　 ；c＝　80　 ． （2）李老师已经求得小聪5次测试成绩的方差S2＝8.4，请你帮助李老师计算小亮5次测试成绩的方差． （3）根据以上信息，请你运用所学的统计知识帮助李老师作出选择，并说明理由． 【解答】解：（1）小聪的平均数a80， 把小亮的5次测试成绩从小到大排列，排在最中间的数是81，故中位数b＝81； 小聪的5次测试成绩中80出现的次数最多，故众数c＝80； 故答案为：80，81，80； （2）李老师计算小亮5次测试成绩的方差为：[（77﹣80）2+（79﹣80）2+2×（81﹣80）2+（82﹣80）2]＝3.2； （3）选小亮参加知识竞赛，理由如下： 因为两人的平均数相同，但小亮的方差比小聪小，成绩更稳定，所以选小亮参加知识竞赛．（答案不唯一）． 20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，连接AE，CF，AC． （1）求证：四边形AECF为平行四边形． （2）若CF＝AF＝5，AC＝8，求四边形AECF的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD平行四边形， ∴AD＝BC． 又∵BE＝DF， ∴AF＝EC． 又∵AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：∵四边形AECF是平行四边形，CF＝AF＝5， ∴四边形AECF是菱形， 如图，连接EF交AC于O， ∴AC⊥EF， ∴AO， ∴OF3， ∴EF＝6， ∴四边形AECF的面积8×6＝24． 21．（8分）在直角坐标系中，函数和函数y2＝﹣x+b（k≠0，k，b为常数）的图象交于点A（﹣1，4）和点B． （1）求函数y1，y2的表达式． （2）求点B的坐标，并直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围． （3）设坐标原点为O，求△ABO的面积． 【解答】解：（1）∵函数和函数y2＝﹣x+b（k≠0，k，b为常数）的图象交于点A（﹣1，4）和点B， ∴k＝﹣4，4＝1+b， ∴k＝﹣4，b＝3， ∴反比例函数解析式为y1，一次函数解析式为y2＝﹣x+3； （2）联立方程组得，解得，， ∴B（4，﹣1）； 当y1＜y2时，自变量x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜4． （3）直线AB与y轴的交点为点C，由条件可知C（0，3）， ∴S△ABO＝S△AOC+S△BOC． 22．（10分）综合与实践 【定义学习】 若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180°），则称这个四边形为“圆满四边形”． 【概念理解】 （1）在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是 　①　 ；（请填写序号） 【性质探究】 （2）如图1，已知四边形ABCD是“圆满四边形”，若AB＝AD＝3，CB＝CD，对角线AC＝5，求四边形ABCD的周长． 【判定探究】 （3）如图2，已知OD平分∠AOB，点C在射线OD上，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，点G在射线EA上，点H在线段OF上，EG＝FH，连接CG，CH．求证：四边形GOHC为“圆满四边形”． 【解答】（1）解：∵矩形的四个内角都是90°， ∴矩形的两组对角的和为180°， ∴矩形是“圆满四边形”， 故答案为：①； （2）解：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠B＝∠D， ∵四边形ABCD是“圆满四边形”， ∴∠B+∠D＝180°， ∴∠B＝∠D＝90°， ∵AB＝AD＝3，AC＝5， ∴CB＝CD4， ∴四边形ABCD的周长＝2AB+2BC＝6+8＝14； （3）证明：如图2， ∵OD平分∠AOB，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F， ∴CE＝CF，∠CEG＝∠CHF＝90°， ∵EG＝FH， ∴△CEG≌△CFH（SAS）， ∴∠CGE＝∠CHF， ∵∠CHF+OHC＝180°， ∴∠CGE+OHC＝180°， ∴四边形GOHC为“圆满四边形”． 23．（10分）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y关于x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？ （3）超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由． 【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）， 由题意等：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为y＝﹣2x+80； （2）由题意得：（x﹣10）（﹣2x+80）＝448， 整理得：x2﹣50x+624＝0， 解得：x1＝26，x2＝24， 答：糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元； （3）该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由如下： 由题意得：（x﹣10）（﹣2x+80）﹣2（﹣2x+80）＝400， 整理得：x2﹣52x+680＝0， ∵Δ＝（﹣52）2﹣4×680＝﹣16＜0， ∴原方程无解， ∴该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元． 24．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接BE，点C关于直线BE的对称点为点F，连接BF，EF． （1）如图1，若点F恰好落在对角线BD上，连接AF，求∠CAF的度数． （2）如图2，连接DF，CF，若DF∥BE，试判断线段DF与CF的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）如图3，连接DF，DE，记△DEF的面积为S1，△BEF的面积为S2，若DF⊥FE，求的值． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABD，∠BAC， ∵点C关于直线BE的对称点为点F， ∴BF ＝BC， ∴AB＝BF， ∴∠BAF＝∠AFA67.5°， ∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝22.5°； （2）如图1， DF⊥CF，CF＝2DF，理由如下， 延长BE，交CF于G， ∵点C关于直线BE的对称点为点F， ∴BG⊥CF，CF＝2CG， ∴∠BGC＝90°， ∵DF∥BE， ∴DF⊥CF， ∴∠CFD＝90°， ∴∠CFD＝∠BGC＝90°， ∴∠DCF+∠CDF＝90°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠BCG+∠DCF＝90°， ∴∠CDF＝∠BCG， ∵BC＝CD， ∴△BCG≌△CDF（AAS）， ∴CG＝DF， ∴CF＝2DF； （3）（方法一）如图2， 连接BD，作BH⊥DF，交DF的延长线于点H，作BG⊥FE，交FE的延长线于点G，连接BD，交AC于O， 不妨设正方形的边长是2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC，BDAB＝2，OB＝OD，∠ACB， ∵点C关于直线BE的对称点为点F， ∴S△BCE＝S△BEF，CE＝EF，∠BFE＝∠ACB＝45°，BF＝BC＝2， ∴， ∴BG＝OB， ∵DF⊥EF， ∴∠DFE＝90°， ∴∠BFE＝180°﹣∠DFE﹣∠BFE＝45°， ∴BH＝FHBF， ∴DH， ∴DF＝DH﹣FH， ∴， （方法二），如图3， 连接BD，作BG⊥DF，交DF的延长线于G，作EW⊥BC于W，作FH⊥AD于H， 不妨设正方形的边长是2， 由上知，DF， BG＝FG，BD＝2， ∵∠ACB＝45°， ∴EF＝CEEW， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$