江苏省南京市南京航空航天大学附属高级中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

南航附中2024—2025学年度第二学期期末考试 高二数学 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知集合，，则集合中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若关于的不等式的解集为或，则（ ） A. 70 B. 90 C. 180 D. 495 3. 下表是某企业在2023年1月—5月的5个月内购买某品牌碳酸锂价格（单位：千元）与月份代码的统计数据．由表中数据计算得到经验回归方程为，则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为（ ） 月份代码 1 2 3 4 5 碳酸锂价格 0.5 0.7 1 1.2 1.6 A. 2.41千元 B. 2.38千元 C. 2.35千元 D. 2.32千元 4. 随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分且不必要条件 C. 必要且不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 5．函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③ 7．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 若实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选 的得0分． 9. 若正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 10．甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是（    ） A．，是对立事件 B．，是独立事件 C． D． 11. 已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 若直线与平面所成角为，则点的轨迹是椭圆 C. 存在点，使得 D. 正方体的外接球被平面所截得的截面面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12.“，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值_______． 13.有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是________. 14. 将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说 明，证明过程或演算步骤． 15．某地为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 （1）完成列联表.根据小概率值的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？ （2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为.用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中合格的人数的分布列及期望. （对应值见下表.，） 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16．已知函数且. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，当时，求的值域. 17. 2025年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． （1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； （2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点． （1）求证：； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值； （3）记点，到平面BCFE的距离分别为，，求的最小值． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1． （1）求椭圆E的方程； （2）设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q． ①求证：点Q在定直线上： ②设，，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$