精品解析：河南省濮阳市油田第十八中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

濮阳市油田第十八中学 2024-2025学年第一学期期中学业水平测试九年级数学试卷 分值：120分时间：100分钟 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A． 2. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐一验证各选项即可． 【详解】A．，分母含，是分式函数而非整式，不符合二次函数定义； B．，若，则变为一次函数，不一定是二次函数； C．展开得，为一次函数； D．展开得，符合（），是二次函数． 故选：D． 3. 将抛物线向上平移3个单位后所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，确定平移前后抛物线的顶点坐标是解题的关键． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”直接求解． 【详解】将抛物线向上平移3个单位后所得的抛物线解析式是． 故选：A． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次方程，进而判断根的情况． 【详解】解：， ， ， ，． 原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握相关运算方法是解题的关键． 5. 二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0， ∵对称轴为直线＞0，∴b＞0, 一次函数的图象有四种情况： ①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限, ∴由函数y=ax+b的a＜0，，故它的图象经过第一、二、四象限,故选C. 6. 已知二次函数的图象过点，若点也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．由，和点，得出二次函数图象开口向上，对称轴为直线，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象过点， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴越远的点，函数值越大， 点在该二次函数图象上，且点离对称轴最远，点离对称轴最近， ， 故选：B． 7. 如图，四边形内接于，已知，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键． 根据圆内接四边形的性质求得，利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴ ∴． 故选：A． 8. 某品牌网上专卖店1月份的营业额为60万元，已知第一季度的总营业额共360万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. 60(1+x)2＝360 B. 60+60(1+x)+60(1+x)2＝360 C. 60(1+2x)＝360 D. 60+60(1+x)+60(1+2x)＝360 【答案】B 【解析】 【分析】先得到2月份和3月份的营业额，等量关系为：1月份的营业额+2月份的营业额+3月份的营业额=360万元，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵1月份的营业额为60万元，平均每月增长率为x， ∴2月份的营业额为60（1+x）， ∴3月份的营业额为， ∴可列方程为， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，为外一点，与相切于点，点是上的一个动点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连结OA交⊙O于点P，此时AP有最小值，由切线的性质可∠OBA=90°，然后根据勾股定理求得OA的长，然后运用线段的和差即可解答． 【详解】解：连结OA交⊙O于点P ∵点是上的一个动点 ∴OB⊥AB ∴OA= ∴AP=OA-OP=8. 故选：B． 【点睛】本题主要考查了切线的性质以及勾股定理，正确作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键． 10. 如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数． 【详解】解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合， ∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4， ∴△A′B′C是等边三角形， ∴B′C=4，∠B′A′C=60°， ∴BB′=6-4=2， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质． 二、填空题（每小题3分，共计15分） 11. 抛物线的顶点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，直接根据抛物线顶点式得到顶点坐标即可． 【详解】解：由顶点式特征可知：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 如图，在中，对角线、交于点，过点的直线分别交、于点、．若的面积为2，的面积为3，则的面积为________ 【答案】10 【解析】 【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，得出，现在可以求出，再根据O是DB中点就可以求出，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，对角线、交于点， 并且四边形ABCD是中心对称图形， ∴， ∴ ， 又∵OB=OD， ∴； 则有：, 【点睛】本题考查的是中心对称图形的性质和平行四边形的性质，能熟练应用相关性质是 解题的关键． 13. 半径为5的中，两平行弦的长度分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 【答案】7或1 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，分弦与在圆心O的异侧和同侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当弦与在圆心O的异侧时，如图1所示， 过O作， ∵， ∴， ∴E为中点，F为中点， ∴，， 在中，， 根据勾股定理得：， 在中，， 根据勾股定理得：， 此时两平行弦间的距离； 当弦与在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得， 综上，两平行弦间的距离等于7或1． 故答案为：7或1． 14. 已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=___________． 【答案】8 【解析】 【分析】由题意知，，，，将转化为代值计算即可得出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ， ， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系． 15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可． 【详解】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°， ∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补． 三、解答题（共8个大题，共计75分） 16. 用合适的方法计算． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法和因式分解法． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 配方得：， 开方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项，得：， 提取公因式，得：， 整理，得：， ∴或， 解得：，． 17. 关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式列出关于m的不等式，解不等式即可； （2）根据m为正整数，且，得出，然后再代入得出方程为，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵m为正整数，且， ∴， 此时，方程为， 解得 ，． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 18. 河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二．“以铜为鉴，可以正衣冠”．铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．如图是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”．文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦的长为，铜镜上的点到弦的最大距离为． （1）请你用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心（简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹）； （2）请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径． 【答案】（1） 如图所示，作弦的垂直平分线，交弧 于点 C，连接，作的垂直平分线，和的交点即是圆心O的位置； 如图所示，连接． （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理．关键是掌握弦的垂直平分线经过圆心． （1）利用垂径定理可知，圆心O是两条弦中垂线的交点； （2）连接．由题意可知，，则，设的半径为，在中利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 由题意可知，，则， 设的半径为，则． 在中， ， 解得 ， 所以的半径为 ． 19. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C、A的对应点分别为E、F，点E落在上，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题关键． （1）由三角形内角和定理，得到，再根据旋转的对应角相等求解即可； （2）由勾股定理得，由旋转的性质得，，，进而得到，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴在中，． 20. 2023 年亚运会在中国杭州举办，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”相关产品成为热销商品．某商家购进了一批吉祥物玩具，进价为每个 40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍，在销售过程中发现，吉祥物玩具每天的销售量y（个）与销售单价x （元） 满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当吉祥物玩具的销售单价定为多少元时，商家每天获得的利润最大？ 最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）这种吉祥物玩具的单价定为75元时，商人每天获得的利润最大，最大利润为2450元 【解析】 【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）用待定系数法可得答案； （2）设商家获得的利润为W元，列出W与x的函数关系式，用二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设一次函数关系式为，代入，得： ， 解得：， y与x之间的关系式为：； 【小问2详解】 解：设该商家每天获得的利润为W元，则 ， 当时，（元）， ∴这种吉祥物玩具的单价定为75元时，商人每天获得的利润最大，最大利润为2450元． 21. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点． （1）求此二次函数的解析式及点顶点B的坐标； （2）在抛物线上否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点P的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求法以及利用点的坐标求三角形的面积，同时注意数形结合思想的灵活运用． （1）由于二次函数经过原点和A点，将二点坐标代入，求解即可； （2）由，求得y的值，再将y的值代入解析式求解x，得出P点坐标． 【小问1详解】 解：将A、O两点坐标代入解析式，有 ，解得：； ∴此二次函数的解析式为， 变化形式得: ，故顶点坐标； 【小问2详解】 解：假设存在满足条件的点P， 则根据题意得：， 解得：或， 当时，，即， 解得，，即； 当时，， 则； ∴点P的坐标为或或． 22. 如图是的直径，是上异侧的两点，点在的延长线上，，是的切线，，连接． （1）求的度数； （2）求证：是的切线． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， 是的直径， ，即 ， 由（1）知， 在和中 ， ， 是的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据切线性质结合题意可以判定出为等边三角形，得到，进而得到结果； （2）通过证明，得到，进而得出结论． 【小问1详解】 解：是的切线 ， ， 为等边三角形 ， 【小问2详解】 略 23. 综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】 王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，则与有何数量关系？与有何数量关系？请你探究后直接写出结论． （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，，就可以求出的长，请写出求解过程． 【类比探究】 （3）如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系． 【答案】（1）， （2）， 证明：由（1）可知 ，， 在等边中，由可得 则， 在中， ， 由勾股定理可得： （3） 【解析】 【分析】（1）通过判定证明全等即可； （2）由（1）可知边长与角度的关系，然后利用勾股定理求解即可； （3）与（1）相同，证明全等后，利用勾股定理证明三边关系即可． 【小问1详解】 证明：与均为等边三角形 又 在与中 ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， ， 在与中 ， 【点睛】此题考查旋转模型以及勾股定理，解题关键是找准边与角的关系证明全等，然后利用勾股定理求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳市油田第十八中学 2024-2025学年第一学期期中学业水平测试九年级数学试卷 分值：120分时间：100分钟 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向上平移3个单位后所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是 A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象过点，若点也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，已知，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 某品牌网上专卖店1月份的营业额为60万元，已知第一季度的总营业额共360万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. 60(1+x)2＝360 B. 60+60(1+x)+60(1+x)2＝360 C. 60(1+2x)＝360 D. 60+60(1+x)+60(1+2x)＝360 9. 如图，为外一点，与相切于点，点是上的一个动点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 二、填空题（每小题3分，共计15分） 11. 抛物线的顶点坐标为__________． 12. 如图，在中，对角线、交于点，过点的直线分别交、于点、．若的面积为2，的面积为3，则的面积为________ 13. 半径为5的中，两平行弦的长度分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 14. 已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=___________． 15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________． 三、解答题（共8个大题，共计75分） 16. 用合适的方法计算． （1）； （2）． 17. 关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求此时方程的根． 18. 河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二．“以铜为鉴，可以正衣冠”．铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．如图是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”．文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦的长为，铜镜上的点到弦的最大距离为． （1）请你用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心（简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹）； （2）请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径． 19. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C、A的对应点分别为E、F，点E落在上，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，求的长． 20. 2023 年亚运会在中国杭州举办，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”相关产品成为热销商品．某商家购进了一批吉祥物玩具，进价为每个 40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍，在销售过程中发现，吉祥物玩具每天的销售量y（个）与销售单价x （元） 满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当吉祥物玩具的销售单价定为多少元时，商家每天获得的利润最大？ 最大利润是多少元？ 21. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点． （1）求此二次函数的解析式及点顶点B的坐标； （2）在抛物线上否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 22. 如图是的直径，是上异侧的两点，点在的延长线上，，是的切线，，连接． （1）求的度数； （2）求证：是的切线． 23. 综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】 王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，则与有何数量关系？与有何数量关系？请你探究后直接写出结论． （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，，就可以求出的长，请写出求解过程． 【类比探究】 （3）如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $