精品解析：四川省资阳市2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试题

资阳市2024—2025学年度高中二年级第二学期期末质量监测 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度大小为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，若，，则公差（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 某学生准备将两颗不同口味的山楂、两颗不同口味的葡萄、一颗圣女果和一颗草莓串起来制作一串冰糖葫芦，因口味的需求，山楂不相邻，则不同的串法共有（ ） A. 240种 B. 360种 C. 480种 D. 512种 5. 已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，所有球除颜色外完全相同.某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球.则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的前n项和为.若，则公比（ ） A. B. 2 C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列满足，，则（ ） A. B. 为递增数列 C. 为周期数列 D. 10. 已知袋装食盐标准质量为.设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量，且，，则（ ） A. B. C. D. 11. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为，则（ ） A. 存在拐点 B. 若，则 C. 当，且有极值时， D. 当，，且函数有三个零点时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为________. 13. 3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是________. 14. 如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则________，数列的前50项和为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某射手每次射击击中目标的概率为，共进行8次射击.求： （1）恰有3次击中目标的概率； （2）至少有6次击中目标的概率. 16. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 17. 已知函数. （1）判断的单调性； （2）若，恒成立，求正数的取值范围. 18. 欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响. 约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道； 约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试. （1）按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率； （2）按照约定2， （i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率； （ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望. 19. 已知函数，且的最小值为1. （1）求的值； （2）证明： （i）； （ii）对于任意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 资阳市2024—2025学年度高中二年级第二学期期末质量监测 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出的值，即可得出答案. 【详解】因为，则，故. 当时，该质点的瞬时速度大小为. 故选：B. 2. 在等差数列中，若，，则公差（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得出，即可得出的值. 【详解】由等差数列的性质可得，则，故. 故选：C. 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用二项展开式的通项进行计算即可. 【详解】的展开式的通项是，（） 由题意，， 因此，的系数是. 故选：B. 4. 某学生准备将两颗不同口味的山楂、两颗不同口味的葡萄、一颗圣女果和一颗草莓串起来制作一串冰糖葫芦，因口味的需求，山楂不相邻，则不同的串法共有（ ） A. 240种 B. 360种 C. 480种 D. 512种 【答案】C 【解析】 【分析】根据插空法计算即可. 【详解】由题可知：. 故选：C 5. 已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，所有球除颜色外完全相同.某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球.则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记事件从甲箱取出的球为红球，则事件从甲箱取出的球为黑球，记事件从乙箱中取出的球是黑球，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件从甲箱取出的球为红球，则事件从甲箱取出的球为黑球， 记事件从乙箱中取出的球是黑球，则，，，， 由全概率公式可得. 故选：D. 6. 已知函数为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导，根据题意有在上恒成立，即，令，即求. 【详解】根据题意有的定义域为，所以， 即在上恒成立，所以，令， 即，又，所以， 故选：A. 7. 已知等比数列的前n项和为.若，则公比（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的前n项和公式直接计算即可. 【详解】由题可知：，所以. 故选：A 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对给定等式两边同乘以并求导，再利用赋值法求解即得. 【详解】由， 得， 两边求导得， 令，得. 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列满足，，则（ ） A. B. 为递增数列 C. 为周期数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用列举法，直接可以判断. 【详解】由题可知：，，，， 所以可知：AC正确，B错误，数列的最小正周期为3，所以，故D错误. 故选：AC 10. 已知袋装食盐标准质量为.设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正态曲线的性质，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A：作出随机变量的正态分布密度曲线草图，根据对称性，所以，故A正确； 对于B：由，故B错误； 对于C：由，故C正确； 对于D：对于正态分布，给定，是一个只与有关的定值，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为，则（ ） A. 存在拐点 B. 若，则 C. 当，且有极值时， D. 当，，且函数有三个零点时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A令，验证即可判断，对于B由得，当，即可求，对于C令得，由即可判断，对于D当时，，利用导数研究单调区间进而得零点情况即可判断. 【详解】由题意有，，所以， 令，所以，，所以不存在拐点，故A错误； 当时，由，解得，，故B正确； 由，令有：，由， 当时，，所以，故C正确； 当时，，所以， 当时，由有或，有，所以的单调减区间为，单调增区间为， 因为 要使函数有三个零点， 只需，又，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 13. 3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是________. 【答案】64 【解析】 【分析】根据乘法计数原理计算即可. 【详解】由题可知：3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是. 故答案为：64 14. 如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则________，数列的前50项和为________. 【答案】 ①. 15 ②. ## 【解析】 【分析】根据题意列出数列的递推关系，再利用累加法求出通项公式，最后用裂项相消法求出数列的前20项和. 【详解】依题意，，当时，， 于是， 而满足上式，因此，； 由，得数列的前项和， 则，所以. 故答案为：15； 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某射手每次射击击中目标的概率为，共进行8次射击.求： （1）恰有3次击中目标的概率； （2）至少有6次击中目标的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据独立事件概率公式计算即可. 【小问1详解】 恰有3次击中目标的概率 【小问2详解】 至少有6次击中目标的概率 16. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 由， 得. 又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知：，，故； ， ， 两式相减，得 ， ， ， ； 故. 17. 已知函数. （1）判断的单调性； （2）若，恒成立，求正数的取值范围. 【答案】（1）函数在单调递减，在单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）直接求导判断即可； （2）利用（1）的条件可得，然后两边取对数并作出转化得到，最后构建函数求出最大值判断即可. 【小问1详解】 由题可知：函数的定义域为 ，令，令， 所以函数在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 因为，所以，由（1）可知函数在单调递增， 所以在恒成立，因为，所以， 令， 若；若， 所以函数在单调递增，在单调递减， 所以有的最大值为，所以. 18. 欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响. 约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道； 约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试. （1）按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率； （2）按照约定2， （i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率； （ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）按照贝叶斯公式直接计算即可； （2）（i）按照播放次数分情况求解；（ii）写出的所有可能取值并计算所对应的概率，然后列出分布列，计算即可. 【小问1详解】 设“任选一个频道播放，该频道是A频道”为事件，“任选一个频道播放，该频道是B频道”为事件， “任选一个频道播放一次，该频道播放成功”为事件， 所以，， 在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率为. 【小问2详解】 （i）播放1次A频道成为优选频道的概率为， 播放3次A频道成为优选频道的概率为， 所以按照约定2，两个频道共播放不超过4次时，A频道成为优选频道的概率为. （ii）的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. 19. 已知函数，且的最小值为1. （1）求的值； （2）证明： （i）； （ii）对于任意. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对进行讨论，然后对函数求导可得结果； （2）化简式子，讨论范围，转化为，成立，将其变形为，构建函数，利用左右两边最值进行比较可得； （3）可证得不等式，化简得，利用不等式得到，然后求和利用等差、等比数列求和可证得结论. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，函数在单调递增，不符合题意； 当时，函数在单调递增，不符合题意； 当时，，若，；若，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为 【小问2详解】 （i）由（1）可知；，要证明，只需证明 因，显然恒成立；故只需证明，成立，即证：在上恒成立. 令，，令，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则 令，因在上单调递增，则 ， 故有，即， 故得证. （ii）令，在恒成立， 在单调递增，则. 要证， 只需证，即， 由， 又，则，故得， 所以， 又，所以， 所以， 即得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $