第10讲 一元一次方程及其解法 （知识清单+7大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第10讲 一元一次方程及其解法 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 判断是否是一元一次方程 题型二 判断是否是一元一次方程解 题型三 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型四 解一元一次方程（二）——去括号 题型五 解一元一次方程（三）——去分母 题型六 已知一元一次方程的解，求参数 题型七 一元一次方程解的关系 知识清单 知识点1．一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 知识点2．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 知识点3．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 知识点4．含绝对值符号的一元一次方程 解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． 例如：解方程|x|＝2 解：去掉绝对值符号 x＝2或﹣x＝2 方程的解为x1＝2或x2＝﹣2． 知识点5．同解方程 定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程． （或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．） 题型练习 【题型一】判断是否是一元一次方程 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若是关于的一元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值． (2)若上述方程的解比方程的解大2，求k的值． 【题型二】判断是否是一元一次方程解 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列方程的解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）是方程的解吗？ 【题型三】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【例3】（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知，满足，若，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列方程的变形中，正确的是（    ） ① ，变形为；②， 变形为；③，变形为；④，变形为． A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k的后移方程”． 例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“2的后移方程”． （1）判断：方程 方程的“1的后移方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的方程是关于x的方程的“3的后移方程”，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： 解方程：． 【题型四】解一元一次方程（二）——去括号 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程，去括号的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若a，b，c为互不相等的有理数，且，则下列结论正确的是(    ) A． B． C．7 D． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若有理数m满足，则m的值是 ． 3．（23-24七年级上·安徽马鞍山·期末）解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型五】解一元一次方程（三）——去分母 【例5】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列哪个数是方程的解？（    ） A． B．0 C．1 D．2 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）在解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为 ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． 【题型六】已知一元一次方程的解，求参数 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若是关于x的方程的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的一元一次方程的解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“永久友好方程”．例如：一元一次方程的解是，一元一次方程的解是，，所以为一元一次方程的“永久友好方程”．若关于的一元一次方程是关于的一元一次方程的“永久友好方程”，则 ； 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 【题型七】一元一次方程解的关系 【例7】（24-25七年级上·安徽六安·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（   ） 0 1 2 3 14 10 6 2 A．14 B．10 C．2 D．6 2．（24-25七年级上·安徽·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 3．（24-25七年级上·全国·期末）定义一种有理数的新运算“”其运算方式如下∶ ∶ ； ； … 观察上面的运算方式，请解决下列问题 (1)对于任意有理数，， （用含，的式子表示）∶ (2)解方程∶； (3)若关于的方程的解为整数，求整数的值． 好题必刷 一、单选题 1．如果的值与互为相反数，则x的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．6 2．在解方程时，去分母后正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列方程与方程的解相同的是方程（    ） A． B． C． D． 4．下列解方程变形： ①由3x＋4＝4x－5，得3x＋4x＝4－5； ②由，去分母得2x－3x＋3＝6； ③由，去括号得4x－2－3x＋9＝1； ④由，得x＝3．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．已知关于的方程的解为正整数，则所能取得正整数的值为（　　） A．2 B．1或3 C．3 D．2或3 6．已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（    ） A． B． C． D． 7．解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为的形式，下面是解方程的主要过程，方程变形对应的依据错误的是（    ） 解：原方程可化为（  ①  ） 去分母，得（  ②  ） 去括号，得（  ③  ） 移项，得（  ④  ） 合并同类项，得（合并同类项法则） 系数化为1，得（等式的基本性质2） A．①分数的基本性质 B．②等式的基本性质2 C．③乘法对加法的分配律 D．④加法交换律 8．下列解方程去分母正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 9．已知方程的解满足，则a的值为（    ） A． B． C． D．4 10．若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 二、填空题 11．已知是关于x的方程的解，则 ． 12．阅读下面解方程的步骤，完成填空： 解：去括号，得． 移项，得．依据 ； 合并同类项，得． 系数化为1，得 ． 13．若关于x的方程的解满足方程，则m的值是 ． 14．下列做法正确的是 ． ①由移项，得 ②由去分母，得 ③由去括号，得 ④由去括号、移项、合并同类项，得 三、解答题 15．根据条件列方程： (1)正方形的边长为2x，周长为50厘米； (2)x的相反数减去3的差是x的2倍． 16．解方程： (1)； (2). 17．解方程： (1) (2) 18．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．解方程： (1) (2) 20．解关于x的方程：． 21．解下列方程： （1） （2） 22．解方程： (1) (2) 23．在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程时，把看作一个整体． 令，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 一元一次方程及其解法 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 判断是否是一元一次方程 题型二 判断是否是一元一次方程解 题型三 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型四 解一元一次方程（二）——去括号 题型五 解一元一次方程（三）——去分母 题型六 已知一元一次方程的解，求参数 题型七 一元一次方程解的关系 知识清单 知识点1．一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 知识点2．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 知识点3．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 知识点4．含绝对值符号的一元一次方程 解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． 例如：解方程|x|＝2 解：去掉绝对值符号 x＝2或﹣x＝2 方程的解为x1＝2或x2＝﹣2． 知识点5．同解方程 定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程． （或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．） 题型练习 【题型一】判断是否是一元一次方程 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐项判定即可求出答案，熟练掌握一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式是解决此题的关键． 【详解】解：A、，不含未知数，不是一元一次方程，不符合题意； B、，含两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、，是一元一次方程，符合题意； D、，未知数最高次数为2 ，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若是关于的一元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程、绝对值方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，可得求出的值即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， 解得； 故答案为：B． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的概念． 先利用未知数的次数为1得出的值，再根据一次项的系数进行取舍． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴， 解得，或， 当时，一次项系数，不符合题意，故舍去， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值． (2)若上述方程的解比方程的解大2，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】判断是否是一元一次方程、求一个数的绝对值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，一元一次方程的解，掌握一元一次方程的定义，代入求值的方法是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义“含有一个未知数，未知数的次数为1的整式方程”，可得，，由此即可求解； （2）由（1）得，方程的解为，由此可得的解为，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：由（1）可得，当时，方程为， 解得， ∵方程的解比方程的解大2， ∴的解为， 把代入方程得：， 解得：． 【题型二】判断是否是一元一次方程解 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列方程的解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的适合方程． 将分别代入四个选项中求解判断即可． 【详解】解：A、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意； B、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意； C、将代入， 得， 故选项正确，符合题意； D、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程解、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得出，代入代数式计算即可． 【详解】解：是一元一次方程 的解 ， ， 故选：A ． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，先把是代入方程得，再将代数式变形得，然后代入计算即可，掌握方程的解，代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴，即， ∴ ， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）是方程的解吗？ 【答案】不是方程的解；是方程的解 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查方程解的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 分别将代入方程，看是否符合方程解的定义即可解答． 【详解】解：当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值不相等，所以不是方程的解； 当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值相等，所以是方程的解． 【题型三】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【例3】（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知，满足，若，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的方法．首先根据题意，可得；然后移项、合并同类项、系数化为1，求出x的值即可． 【详解】解：若，则． 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列方程的变形中，正确的是（    ） ① ，变形为；②， 变形为；③，变形为；④，变形为． A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行变形判断即可． 【详解】解：，变形为，故①错误； ， 变形为；故②正确； ，变形为；故③错误； ，变形为，故④正确． 故选C． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k的后移方程”． 例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“2的后移方程”． （1）判断：方程 方程的“1的后移方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的方程是关于x的方程的“3的后移方程”，则的值为 ． 【答案】 是 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查解一元一次方程，正确理解“k的后移方程”是解题关键． （1）求出两个方程的解，利用‘后移方程’的定义判断即可； （2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关系式即可． 【详解】解：（1）解方程， 得， 解方程， 得， ， 方程是方程的“1的后移方程”； （2）解方程得， 解方程得， 方程是方程的“3的后移方程”， ， ， ． 3．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： 解方程：． 【答案】或 【知识点】绝对值的几何意义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法．先去绝对值，化成一元一次方程求解即可． 【详解】解：由绝对值的意义得或， 解得或． 【题型四】解一元一次方程（二）——去括号 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程，去括号的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查去括号法则的应用，去括号法则：当括号前是正号时，去掉括号后，括号内的各项符号不变，当括号前为负号时，去掉括号后，括号内的各项符号要变号．掌握去括号法则是解题的关键．根据去括号法则去括号即可． 【详解】解：去括号，， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若a，b，c为互不相等的有理数，且，则下列结论正确的是(    ) A． B． C．7 D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是正确的变形． 把选项中的等式变形为形式即可判断． 【详解】解：由可得，与已知不一致，故选项A错误， 由 可得，与已知不一致，故选项B错误， 由7 可得，与已知一致，故选项C正确， 由可得，与已知不一致，故选项D错误， 故选C． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若有理数m满足，则m的值是 ． 【答案】20 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程，去括号，移项，合并同类项，系数化1，求出m的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：20． 3．（23-24七年级上·安徽马鞍山·期末）解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握．解一元一次方程的基本思路是：通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程“转化”为（a为常数）的形式． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （4）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 方程可变形为， 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：． 【题型五】解一元一次方程（三）——去分母 【例5】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列哪个数是方程的解？（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、判断是否是方程的解 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键．先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，再系数化1求解． 【详解】解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）在解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的去分母，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解题的关键； 将方程两边同乘各分母的最小公倍数，即可去分母，据此即可解答． 【详解】解：， 方程两边同乘6，去分母，得， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入去分母时漏乘的方程，即可求出a的值，再解正确的方程即可． 【详解】解：方程右边的漏乘了6，方程化为， ， 把代入，得 ， 解得， 所以原方程为 ， ， ， ， 故答案为： ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 【题型六】已知一元一次方程的解，求参数 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若是关于x的方程的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入已知方程，列出关于k的新方程求解即可． 【详解】解：把代入关于x的方程得： ， ， ， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出k的值是解此题的关键．把代入方程求出k的值，确定出正确的方程，求出解即可． 【详解】解：根据题意，是方程的解， ∴， 解得：， 则原方程为：， 解得：， 故选：A 2．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的一元一次方程的解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“永久友好方程”．例如：一元一次方程的解是，一元一次方程的解是，，所以为一元一次方程的“永久友好方程”．若关于的一元一次方程是关于的一元一次方程的“永久友好方程”，则 ； 【答案】1 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题是新定义题，考查了解一元一次方程等知识，首先求出，然后根据题意得到，求出，然后代入解方程即可． 【详解】解得， 根据题意得， ∴ 将代入得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 故答案为：1． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数、判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解代入方程即可解答． 【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解相同， ， 解得：． 【题型七】一元一次方程解的关系 【例7】（24-25七年级上·安徽六安·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设， 则方程，可化为， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：B． 【举一反三】 1．当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（   ） 0 1 2 3 14 10 6 2 A．14 B．10 C．2 D．6 【答案】C 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了解一元一次方程．方程可化为，观察表即可求得方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 由表知，当时，的值为， 所以方程的解为， 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的关系、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据两个方程的关系，第二个方程中的相当于第一个方程中的，据此即可求解，理解两个方程之间的关系是关键． 【详解】解：关于y的一元一次方程，则， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·期末）定义一种有理数的新运算“”其运算方式如下∶ ∶ ； ； … 观察上面的运算方式，请解决下列问题 (1)对于任意有理数，， （用含，的式子表示）∶ (2)解方程∶； (3)若关于的方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为，，， 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、有理数四则混合运算、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查有理数的新运算，解一元一次方程，解题的关键是观察有理数的新运算，得到规律，根据规律，进行计算，解一元一次方程，即可． （1）观察有理数的新运算，得到规律，根据规律，进行计算； （2）由（1）得，有理数新运算规律，再根据解一元一次方程，即可； （3）由（1）得，有理数新运算规律，再根据解一元一次方程，进行计算，即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：． （3）解：∵， ， ， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴为整数， ∵为整数， ∴的值为：，，，． 好题必刷 一、单选题 1．如果的值与互为相反数，则x的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．6 【答案】A 【分析】由的值与互为相反数可知两数的和为0，列一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵的值与互为相反数， ∴， 解得， 故选A． 【点睛】本题考查相反数的定义、解一元一次方程，掌握“互为相反数的两个数的和为0”是解题的关键． 2．在解方程时，去分母后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两边同乘以15去分母即可得出答案． 【详解】解：方程两边同乘以15得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程—去分母，即利用等式的性质2，在方程的两边同时乘各分母的最小公倍数，将分母去掉，把系数为分数的方程转化为系数为整数的方程． 3．下列方程与方程的解相同的是方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查解一元一次方程及化简，根据分子分母同乘以一个不为0的数，分数的值不变进行求解即可 【详解】解： 左边分子和分母都乘以10得： 整理得：，即， 故选：D 4．下列解方程变形： ①由3x＋4＝4x－5，得3x＋4x＝4－5； ②由，去分母得2x－3x＋3＝6； ③由，去括号得4x－2－3x＋9＝1； ④由，得x＝3．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据解一元一次方程的步骤进行逐一求解判断即可． 【详解】解：①由3x+4=4x-5，得3x-4x=-5-4；方程变形错误，不符合题意； ②由，去分母得2x-3x-3=6；方程变形错误，不符合题意； ③由，去括号得4x-2-3x+9=1；正确，符合题意； ④由，得x=．方程变形错误，不符合题意； 综上，正确的是③，只1个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． 5．已知关于的方程的解为正整数，则所能取得正整数的值为（　　） A．2 B．1或3 C．3 D．2或3 【答案】B 【分析】解方程2x+k=5，得到含有k的x的值，根据“方程的解为正整数”，得到几个关于k的一元一次方程，解之，取正整数k即可． 【详解】2x+k=5， 移项得：2x=5-k， 系数化为1得：x= ， ∵方程2x+k=5的解为正整数， ∴5-k为2的正整数倍， 5-k=2，5-k=4，5-k=6，5-k=8…， 解得：k=3，k=1，k=-1，k=-3…， 故选B． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 6．已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解方程可得x（a），根据方程的解是负整数可得是负整数，进而可求解满足条件的所有非负整数a的值，即可求解． 【详解】解：解关于x的方程 得x（a）， ∵关于x的方程的解是负整数， ∴是负整数， ∴ 或或或 即满足条件的所有整数a为-2、-4、-5、-19， ∴满足条件的所有整数a的值的和为-2+（-4）+（-5）+（-19）＝-30， 故答案为：D． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，正确求解一元一次方程是解题的关键． 7．解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为的形式，下面是解方程的主要过程，方程变形对应的依据错误的是（    ） 解：原方程可化为（  ①  ） 去分母，得（  ②  ） 去括号，得（  ③  ） 移项，得（  ④  ） 合并同类项，得（合并同类项法则） 系数化为1，得（等式的基本性质2） A．①分数的基本性质 B．②等式的基本性质2 C．③乘法对加法的分配律 D．④加法交换律 【答案】D 【分析】方程利用分数的基本性质化简，再利用等式的基本性质2两边乘以15去分母，去括号后利用等式的基本性质1移项，合并后将x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：原方程可化为（  ①  ） 去分母，得（  ②  ） 去括号，得（  ③  ） 移项，得（等式的基本性质1  ） 合并同类项，得（合并同类项法则） 系数化为1，得（等式的基本性质2）． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．下列解方程去分母正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程——去分母．正确的去分母是解题的关键．根据解一元一次方程——去分母，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A. 由，得，原计算错误； B. 由，得，原计算错误； C. 由，得，原计算错误； D. 由，得，计算正确； 故选：D． 9．已知方程的解满足，则a的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由可得，再代入中求解即可． 【详解】∵， ∴， 把代入得：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程的解的应用，能得出关于a的方程是解此题的关键． 10．若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【答案】D 【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况． 【详解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x 可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n ∵有至少两个不同的解， ∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0， 即m＝﹣2，n＝6， 把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m， ∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值． 二、填空题 11．已知是关于x的方程的解，则 ． 【答案】 【分析】题目主要考查方程的解及解方程，理解题意，代入值求解即可． 根据题意将代入方程确定，然后代入求解即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：． ∴． 故答案为：． 12．阅读下面解方程的步骤，完成填空： 解：去括号，得． 移项，得．依据 ； 合并同类项，得． 系数化为1，得 ． 【答案】 等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的基本性质1和等式的基本性质2即可求解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：去括号，得． 移项，得．依据：等式的基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故答案为：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；． 13．若关于x的方程的解满足方程，则m的值是 ． 【答案】或 【分析】根据解出x的值，代入，即可求解 【详解】解，得 ， ， 或， 代入，得 ， 或， 故答案为或． 【点睛】本题考查解绝对值方程与根据解的情况求解参数，属于基础题． 14．下列做法正确的是 ． ①由移项，得 ②由去分母，得 ③由去括号，得 ④由去括号、移项、合并同类项，得 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤依次计算并判断即可． 【详解】解：①由移项，得，故①正确， ②由去分母，得，故②错误， ③由去括号，得，故③错误， ④由去括号得、移项、合并同类项得，故④正确， 故答案为：①④ 三、解答题 15．根据条件列方程： (1)正方形的边长为2x，周长为50厘米； (2)x的相反数减去3的差是x的2倍． 【答案】(1)4×2x＝50； (2)﹣x﹣3＝2x． 【分析】（1）由正方形的周长公式列出方程； （2）找到等量关系：x的相反数减去3的差＝x的2倍． 【详解】（1）根据题意得到：4×2x＝50； （2）根据题意得到：﹣x﹣3＝2x． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找到等量关系． 16．解方程： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】方程移项合并，把系数化为，即可求解； 方程移项合并，把系数化为，即可求解． 【详解】（1）移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （2）移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤“去括号，移项、合并同类项，系数化为1”解答即可． 【详解】（1） 解：去分母，得： 去括号，得： 移项、合并同类项，得： 系数化为1，得： （2） 解：去括号，得 移项、合并同类项得： 系数化为1，得： 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． 18．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程去括号，移项，合并同类项即可求出解； （2）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，移项即可求出解； （4）方程去分母，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1） 去括号得， 移项，合并同类项得，； （2） 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （3） 去分母得， 移项得，； （4） 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 19．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：移项得：6x﹣2x＝6+2， 合并得：4x＝8， 解得：x＝2； （2）解：去分母得：3（3x﹣1）﹣2（x﹣1）＝6， 去括号得：9x﹣3﹣2x+2＝6， 移项得：9x﹣2x＝6+3﹣2， 合并得：7x＝7， 解得：x＝1． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解． 20．解关于x的方程：． 【答案】当时，原方程无解；当时， 【分析】根据题意，分两种情况：①时，②时，根据解一元一次方程的方法，求出方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ①当时，， 故方程无解． ②当时， ∴系数化为1得：； ∴关于x的方程的解为：当时，原方程无解；当时，． 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，掌握解一元一次方程是解题的关键． 21．解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】略 22．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】(1)移项，合并同类项，系数化为1即可求解； (2)先两边同时乘以6去分母，然后再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：移项得到：， 合并同类项得到：， 系数化为1得到：， ∴方程的解为：． （2）解：方程两边同时乘以6得到：， 去括号得到：， 移项得到：， 合并同类项得到：， 系数化为1得到：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，其求解步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，熟练掌握求解步骤是解题的关键． 23．在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程时，把看作一个整体． 令，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程： 【答案】x= 【分析】把x+2看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：令a=x+2，则2a=2x+4， 原方程得：， 去括号，得：4a-20=1， 移项，得：4a=21， 系数化为1，得：a=． 故x+2=， 解得x=． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$