精品解析：江苏省灌云县杨集高级中学2025届高三考前模拟（二）数学试题

2025届高三考前模拟试卷（二） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，根据题意列出关系式求解即可. 【详解】根据集合中元素的互异性可得：，且. 当集合时，集合的最大元素为；当集合时，集合的最大元素为； 根据题意可得：集合的所有元素之和为. 且或， 解得：. 故选：B. 2. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则得出、，进而得出、，再利用复数的除法运算化简即可. 【详解】由题意可得，， ， 则， 则. 故选：C 3. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 4. 已知为的高，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，根据垂直计算即可. 【详解】 因为为的高，所以 , 故选：A. 5. 已知等比数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 6. 已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】假设边长，然后利用抛物线定义计算即可. 【详解】由题可知：焦点，准线方程为，假设等边三角形的边长为， 所以或， 则. 故选：D 7. 设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出，解出这个方程组可得出的值. 【详解】由于函数是奇函数，函数为偶函数， 所以，，即，解得. 故选：A. 8. 若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可通过将函数在区间上有三个零点转化为与在上有三个交点，再分区间讨论并结合导数研究函数单调性来求解a的取值范围. 【详解】函数在区间上有三个零点等价于函数与在上有三个交点， 当时，在上单调递减，是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需； 当时，，令，得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值， 又，. 要使函数与在上有三个交点，则与在上需有一个交点、在上需有两个交点， 则需满足，所以. 综上，实数a的取值范围为. 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在处的切线方程为 B. 在区间上是减函数 C. 的最大值是 D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出导函数，研究其单调性，再通过特殊值，即可逐一判断. 【详解】由题意得，则， 因，故在处的切线方程为，故A正确； 令得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减，故B正确； 因，则时，故C错误； 因，故当时，故D正确. 故选：ABD 10. 在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（ ） A. 表面积为 B. 体积为 C. 外接球的半径为 D. 内切球的半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用四面体有两个面是等边三角形，有另两个面是等腰三形，即可求解表面积，利用取中点作直截面即可求体积，利用等体积法可求内切球半径，利用过截圆面的圆心作垂线必过球心，可作出外接球球心，再结合等腰三角形进行求解即可. 【详解】由题意得：两个等边三角形的面积为， 两个等腰三角形的面积为， 所以四面体的表面积为，故A错误； 取的中点，由等边三角形的性质可得：， 由于平面，所以平面， 由此可得等腰三角形面积为， 所以四面体的体积为，故B正确； 设内切球半径为，根据等体积公式可得：，故D正确； 由两个等边三角形的外心分别为，可得， 过分别作两个平面平面的垂线，相交于点， 根据球心的性质可知，点为四面体的外接球球心， 由于三角形是等腰三角形，可知点在等腰三角形的底边角平分线上， 则有，即， 又因为，所以， 所以外接球半径为，故C正确； 故选：BCD. 11. 已知函数满足，且在上是单调函数，则的所有可能取值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】AC 【解析】 【分析】分析出关于中心对称，关于轴对称，根据单调性得到，设对称中心和对称轴的距离为，则，设的最小正周期为，分，，，和五种情况，结合函数的性质判断出答案. 【详解】，故关于中心对称， ，故关于轴对称， ，则， 在上是单调函数，所以，故， 设对称中心和对称轴的距离为，则， 设的最小正周期为， 若，则，故，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 此时在上单调递增，满足要求； 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 故在上不单调，不合要求， 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 此时在上单调递增，满足要求； 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 故在上不单调，不合要求， 当时，，不合要求， 综上，所有可能取值为1或5. 故选：AC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. _______ . 【答案】1 【解析】 【详解】 . 故答案为：1． 13. 已知函数满足：，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由得到，，根据此等式即可求出所求． 【详解】解：因为函数满足：， 所以，2， 所以 故答案为：16 14. 如图，在正方体中，点分别在棱，，上，为的中点，，，记平面与平面的交线为．则直线与平面所成角的正切值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先作出平面截正方体的截面为六边形，并得到平面与平面的交线为，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为6，写出点的坐标，平面的一个法向量为，利用公式先求出线面角的正弦值，进而求出余弦和正切值. 【详解】设直线与直线分别相交于点， 连接并延长，交于点，交的延长线与点， 连接，交于点，交于点，连接， 其中与相交于点， 故六边形即为平面截正方体的截面， 设与相交于点，连接，则平面与平面的交线为， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为6， 因为为的中点，，， 所以，， 因为，所以，故， 故，所以，解得， 故，同理可得， 故， 显然平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角大小为， 则， 故，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）证明：平面平面； （2）若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取中点，连接， 可得四边形是边长为1的正方形， 则，，又，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得到结果. （2）利用面面夹角的向量求法即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，由得，， 在平面中，，，设平面的法向量为， 则有，令，解得，，， 故平面的一个法向量为， 同理,,设平面的一个法向量为, 则有,令，则，故， 设平面与平面的夹角为，则， 综上，平面与平面的夹角的余弦值为 16. 在中，点在边上，，，． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理求得，从而得，进而在中，可解； （2）设，，（），借助直角三角形可，则利用正弦定理求得，再用余弦定理求出，即可得解. 【小问1详解】 在中，， 由余弦定理， ， 得， 所以． 所以在中，． 【小问2详解】 设，，（），在中， 由正弦定理得，又因为， 代入上式有：，得． 由余弦定理得， 综上，． 17. 在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为． （1）判断是否成等比数列？并说明理由； （2）证明：，，成等比数列； （3）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）成等比数列，理由见解析 当时，成公差为1的等差数列， 则，； 当时，成公差为2的等差数列，则，； 当时，成公差为3的等差数列，则． 所以，，从而，故成等比数列. （2） 由，，成公差为的等差数列，得， 可得：，，，，， 累加得 因为，，成公差为的等差数列，所以， ，又因为，，成公差为的等差数列， 所以， 所以，得，，成等比数列． （3） 由，由（2）知： 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 故，且对一切正整数，有， 时， ， 综上，． 【解析】 【分析】（1）根据题意，令，和，依次求出，利用等比数列定义判断即可； （2）由，，成公差为的等差数列，得，即可利用累加法求出，从而可得，，，再利用等比数列定义判断即可； （3）当为奇数时，，，当为偶数时，，，利用放缩法求出数列的前项和为，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 人工智能程序通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来升级人工智能程序，三个阶段的程序依次简记为甲、乙、丙． （1）测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个程序各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．记该棋手连胜两局的概率为，试判断该棋手在第二局与哪个程序比赛最大，并写出判断过程． （2）工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． ①若比赛最多进行6局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； ②若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：． 【答案】（1）该棋手在第二局与甲比赛最大，过程见解析 （2）①分布列： 2 4 6 数学期望为； ②证明：设事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”. 可知甲最后赢得比赛的局数必为偶数， 根据比赛规则，前两局比赛结果可能是， 其中事件表示“甲赢得比赛”，事件表示“乙赢得比赛”，事件表示“甲、乙各得1分”，因不限制局数，所以当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 ，整理得， 又，平方后整理可得． 所以 【解析】 【分析】（1）分类讨论连胜两局的所有情况，依次计算出所有的概率，比较大小，判断结果； （2）①根据比赛情况，写出随机变量可能取值，根据独立事件乘法公式，分别求出所有概率，再根据期望的定义，写出数学期望的代数式，根据基本不等式，求出数学期望的最大值； ②根据甲赢得比赛时，比赛得分的情况，计算出甲获胜的概率即可； 【小问1详解】 该棋手在第二局与甲比赛最大，该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，记，，，该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，则． 同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率， 该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率， 因为，所以该棋手在第二局与甲比赛最大． 【小问2详解】 ①因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，且， 由题意得的所有可能取值为：2，4，6， ，， ． 的分布列为： 2 4 6 所以的数学期望为： ． 由，得，当且仅当取等号，则， 因此当时，的最大值为． ②略 19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于两点． （1）求椭圆的方程； （2）若， ①证明：； ②若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围． 【答案】（1） （2）①证明：设，，由，得， ，（*）① 由于，所以． 将（*）带入得，化简得． ② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆性质和将带入椭圆方程可得关于的方程，求解即可； （2）①设，，联立方程组，根据根于系数的关系和数量积的坐标运算可证； ②设的中点为，因为，所以，不妨设，，又，并由点在椭圆上进一步求范围. 【小问1详解】 ，得， 将带入椭圆方程有，解得，． 所以椭圆方程为． 【小问2详解】 ①略 ②设的中点为，因为，所以， 不妨设，， 到直的距离为，， ． 由，得点坐标为， 则， 由点为椭圆上点，， 得，即， 所以， 所以． 综上，四边形面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三考前模拟试卷（二） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为的高，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知等比数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ） A. B. C. D. 7. 设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在处的切线方程为 B. 在区间上是减函数 C. 的最大值是 D. 的解集为 10. 在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（ ） A. 表面积为 B. 体积为 C. 外接球的半径为 D. 内切球的半径为 11. 已知函数满足，且在上是单调函数，则的所有可能取值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. _______ . 13. 已知函数满足：，则_____． 14. 如图，在正方体中，点分别在棱，，上，为的中点，，，记平面与平面的交线为．则直线与平面所成角的正切值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）证明：平面平面； （2）若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 16. 在中，点在边上，，，． （1）若，求； （2）若，求． 17. 在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为． （1）判断是否成等比数列？并说明理由； （2）证明：，，成等比数列； （3）设，数列的前项和为，证明：． 18. 人工智能程序通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来升级人工智能程序，三个阶段的程序依次简记为甲、乙、丙． （1）测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个程序各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．记该棋手连胜两局的概率为，试判断该棋手在第二局与哪个程序比赛最大，并写出判断过程． （2）工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． ①若比赛最多进行6局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； ②若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：． 19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于两点． （1）求椭圆的方程； （2）若， ①证明：； ②若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $