第14讲 直线与抛物线的位置关系（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第14讲 直线与抛物线的位置关系 【苏教版2019】 模块一 直线与抛物线的位置关系 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式1.1】（24-25高二·全国·课后作业）直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【变式1.3】（2025高二·全国·专题练习）抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数】 【例2】（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2.2】（2025·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.3】（24-25高二上·全国·课后作业）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 模块二 抛物线的弦长与焦点弦问题 1．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则 |AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线y2=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【题型3 抛物线的弦长问题】 【例3】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【变式3.2】（2025·四川·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二上·河南安阳·期中）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设为的中点，为坐标原点.若，则（  ） A． B． C． D． 【题型4 抛物线的焦点弦问题】 【例4】（24-25高二上·陕西榆林·期中）过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（    ） A． B． C． D．2 【变式4.1】（24-25高三上·河北·阶段练习）已知过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若，AB的中点到轴的距离为，则p的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4.2】（24-25高三上·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）过抛物线焦点的直线交于两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（    ） A． B． C． D．2 模块三 抛物线的切线 1．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【题型5 抛物线中的切线问题】 【例5】（24-25高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【变式5.1】（2025·福建福州·模拟预测）过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式5.2】（2025·浙江绍兴·二模）已知抛物线：，直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的两条切线交于点，若为正三角形，则的值为 （      ） A． B． C． D． 【变式5.3】（2025·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 【例6】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（      ） A．1 B． C．2 D． 【变式6.1】（2025·江西·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（2025·甘肃白银·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线与相交于，两点，则面积的最小值为（   ） A．24 B．18 C．16 D．12 【变式6.3】（24-25高二下·全国·期中）已知点在抛物线上，过焦点且斜率为的直线与相交于，两点，过，两点作准线的垂线，垂足点分别为，两点，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 抛物线中的最值与范围问题】 【例7】（2025·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7.1】（2025·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【变式7.2】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高二上·河南焦作·期末）已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．6 【题型8 抛物线中的定点、定值、定直线问题】 【例8】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二上·上海·期末）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于,，且直线OA,OB的斜率分别为,，则,,中有（    ）个值为定值 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8.2】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知点是抛物线：上的一点，点，是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 【变式8.3】（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 2．（24-25高二上·广东广州·期末）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西·阶段练习）直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东肇庆·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点上方），若，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南永州·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·甘肃白银·期末）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，已知直线与抛物线交于、两点，且，交于点，点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为（   ） A．4 B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 10．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知点O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．线段AB的中点到x轴的距离为3 C． D． 11．（24-25高二上·河北沧州·期末）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（   ） A．的值为4 B． C． D．的面积与的面积之比为4 三、填空题 12．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 ． 13．（2025高三·全国·专题练习）过点作抛物线的切线，切点分别记为，则直线的方程为 ． 14．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点（在第一象限），若，则直线的倾斜角为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 16．（2025·河南新乡·三模）如图，已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，于点. (1)求直线l的方程； (2)求p. 17．（24-25高二上·青海海南·期末）已知抛物线的焦点F在直线上，A，B，C是E上的三个点． (1)求E的方程； (2)已知，且直线经过点F，，求直线的方程． 18．（24-25高二上·北京石景山·期末）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 19．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 直线与抛物线的位置关系 【苏教版2019】 模块一 直线与抛物线的位置关系 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【解题思路】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【解答过程】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二·全国·课后作业）直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【解题思路】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论． 【解答过程】直线过定点， ∵， ∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A． 【变式1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【解题思路】因为直线与抛物线的对称轴平行，即可得出答案. 【解答过程】因为直线与抛物线的对称轴平行， 故直线与抛物线只有一个公共点． 故选：B. 【变式1.3】（2025高二·全国·专题练习）抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【解题思路】求出直线AF的中垂线方程，代入，可得，即可得出结论． 【解答过程】设，，则的中点坐标为，，所以中垂线的斜率为，所以直线的中垂线方程为，代入，可得 ∴，∵线段FA的中垂线与抛物线相切. 故选：B. 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数】 【例2】（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【解答过程】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 【变式2.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围. 【解答过程】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故选：A. 【变式2.2】（2025·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】求出“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充要条件，进而判断. 【解答过程】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条， 则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，消去整理得， 即有两个不同的解， 所以即，解得或， 所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件. 故选：A. 【变式2.3】（24-25高二上·全国·课后作业）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 【解题思路】联立方程组消元，分二次系数是否为0讨论，结合判别式即可求解. 【解答过程】由，得. 当时，方程化为一次方程， 该方程只有一解，原方程组只有一组解， ∴直线与抛物线只有一个公共点； 当时，二次方程的判别式， 当时，得，， ∴当或时，直线与抛物线有两个公共点； 由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点； 由得或，此时直线与抛物线无公共点． 综上，当或时，直线与抛物线仅有一个公共点； 当或时，直线与抛物线有两个公共点； 当或时，直线与抛物线无公共点． 模块二 抛物线的弦长与焦点弦问题 1．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则 |AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线y2=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【题型3 抛物线的弦长问题】 【例3】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用抛物线焦半径公式求出点、的横坐标，进而求出弦长. 【解答过程】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，   设、，则，， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高二上·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【解题思路】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解. 【解答过程】由题得直线，设，联立得， 令，则，所以， 由， 则，解得．故D正确. 故选：D. 【变式3.2】（2025·四川·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出直线l的方程，联立其与抛物线方程可得韦达定理，再由可得，即可求得、，结合抛物线定义可得求解即可. 【解答过程】如图所示，    设，，不妨设，设直线l的方程：， 消去x得，， 所以，， 由可得， 所以由上边三式可解得，，， 所以由抛物线定义可知. 故选：D． 【变式3.3】（24-25高二上·河南安阳·期中）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设为的中点，为坐标原点.若，则（  ） A． B． C． D． 【解题思路】设直线的方程为并于抛物线联立，利用中点坐标公式以及可得，再由弦长公式可得答案. 【解答过程】易知抛物线的焦点， 由题意可知直线斜率显然不为0，可设直线的方程为，， 联立，整理可得， 所以显然成立， 又为的中点，可得，即; 所以，整理可得， 解得或（舍）； 因此. 故选：B. 【题型4 抛物线的焦点弦问题】 【例4】（24-25高二上·陕西榆林·期中）过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】先由是正三角形得到直线的倾斜角是，即可得到直线的方程，联立抛物线和直线方程，得到，根据抛物线定义可得结果. 【解答过程】由题意可知直线的斜率一定存在， 设直线的倾斜角为，由图，根据是正三角形， 有，又，所以， 联立，得， 设，则， 由抛物线的定义，. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高三上·河北·阶段练习）已知过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若，AB的中点到轴的距离为，则p的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据给定条件，利用焦点弦的几何性质推理计算得解. 【解答过程】抛物线的焦点，准线，准线交轴于点， 由对称性，不妨令点在第一象限，过分别作，垂足分别为， 过作于，交于，令，， ，由，得，即，则， 线段中点，过作于，则， 由AB的中点到轴的距离为，得，因此，所以. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高三上·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用抛物线焦半径公式求出点的横坐标，进而求出弦长. 【解答过程】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，    设，则， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以. 故选：C. 【变式4.3】（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）过抛物线焦点的直线交于两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】由是正三角形得到直线的倾斜角是，即可得到直线的方程，联立抛物线和直线方程，得到，根据抛物线定义可得结果. 【解答过程】 设直线的倾斜角为，根据是正三角形得，故直线斜率为. 因为，所以， 由得， 设，则， 所以. 故选：B. 模块三 抛物线的切线 1．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【题型5 抛物线中的切线问题】 【例5】（24-25高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【解题思路】设切线方程为，联立方程组，，可解. 【解答过程】根据题意，抛物线在点处的切线的斜率存在， 设切线方程为， 联立方程组，得， 则，解得. 故选：C. 【变式5.1】（2025·福建福州·模拟预测）过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】先设切点，根据导数的几何意义求切线方程，再代入点M，得到A，均满足得到一元二次方程，即得到直线的方程和斜率，结合斜率为2解得参数即可. 【解答过程】抛物线，即，则由切线斜率， 设切点，则，又， 所以切线方程为，即 ， 同理切线方程为， 两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为， 故. 故选：C. 【变式5.2】（2025·浙江绍兴·二模）已知抛物线：，直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的两条切线交于点，若为正三角形，则的值为 （      ） A． B． C． D． 【解题思路】可得关于轴对称，且轴，则两条切线的交点在轴上，设，，可设，联立抛物线得，从而将代入直线与抛物线，即可得的值. 【解答过程】 由题意可得关于轴对称，且轴，则两条切线的交点在轴上， 设， 因为为正三角形，不妨取，则， 联立，可得， 则，可得， 所以，代入，可得， 又，联立解得. 故选：C. 【变式5.3】（2025·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 【解题思路】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点. 【解答过程】设，则，， 由于，故过点的切线方程为， 即，即， 同理可得过点的切线方程为， 设，过点的两切线交于点， 故，整理得， 同理，整理得， 故直线的方程为， 斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确. 故选：D. 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 【例6】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（      ） A．1 B． C．2 D． 【解题思路】由抛物线的定义得出的坐标，即可求出面积. 【解答过程】根据题意，可知， 因为，所以由抛物线的定义可得点的横坐标为，故 ， 所以的面积为， 故选：B. 【变式6.1】（2025·江西·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意作图，设出直线方程，联立写出韦达定理，由向量的数乘，可求得交点坐标，结合面积公式可得答案. 【解答过程】 由抛物线，则，其焦点， 由题意易知直线的斜率存在，可设为， 设，，，， 联立可得，消去可得，， 由韦达定律可得，， 由，，且，则， 由，则，解得，， 所以. 故选：A. 【变式6.2】（2025·甘肃白银·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线与相交于，两点，则面积的最小值为（   ） A．24 B．18 C．16 D．12 【解题思路】由题设得，设点，，直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理、三角形面积公式求面积最小值. 【解答过程】由题知，，解得，所以抛物线，， 设点，，直线的方程为，代入， 消去并整理得，所以，， 所以 ， 当且仅当时取等号，即面积的最小值为18. 故选：B. 【变式6.3】（24-25高二下·全国·期中）已知点在抛物线上，过焦点且斜率为的直线与相交于，两点，过，两点作准线的垂线，垂足点分别为，两点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用点坐标求得抛物线方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得，两点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【解答过程】将点坐标代入抛物线方程得，，故抛物线方程为， 故焦点坐标为，准线方程为.过焦点且斜率为的直线方程为， 代入抛物线方程并化简得，解得或. 故 . 故选：C. 【题型7 抛物线中的最值与范围问题】 【例7】（2025·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】点到直线的距离为，到准线的距离为，利用抛物线的定义得，当，和共线时，点到直线和准线的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案. 【解答过程】由抛物线知，焦点，准线方程为，根据题意作图如下；    点到直线的距离为，到准线的距离为， 由抛物线的定义知：， 所以点到直线和准线的距离之和为， 且点到直线的距离为， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式7.1】（2025·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【解题思路】设，且，联立方程组，根据，求得，得到，同理可得，结合和，两种情况求得原点到直线距离，即可求解. 【解答过程】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设， 由题意可知且的斜率存在且不为0，不妨设， 联立方程，整理得， 由直线与抛物线相切可得，解得，所以， 又因为在直线上，所以有，同理可得， 若，则，即的直线方程为，则到的距离为1； 若，则，两式联立消，可得，所以， 所以，整理得， 所以到直线距离， 综上可得，即原点到直线距离的最大值为. 故选：D. 【变式7.2】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将代入抛物线方程，得到，得到，设，由求出，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而得到，得到直线恒过定点，求出距离最大值. 【解答过程】将代入中得，，解得，故， 设，由题意得， 其中，， 故，即， 故，即， 设直线的方程为，联立抛物线方程得， ，则， 故，解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 故点A到直线BC的距离最大值. 为取等号，，因为，以，满足, 故选：C. 【变式7.3】（24-25高二上·河南焦作·期末）已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．6 【解题思路】先判断直线与抛物线的位置关系，过点作于点，于点，连接，根据抛物线的定义，得到，推出，结合图形，可得，，共线时，最小，进而可得出结果. 【解答过程】由消去得， 因为，所以方程无解， 即直线与抛物线无交点； 过点作于点，于点，记抛物线的焦点为，连接， 因为点到直线的距离为,为抛物线的准线，根据抛物的定义可得，， 则到直线和的距离之和为， 若，，三点不共线，则有， 当，，三点共线，且位于之间时，， 则， 又， 所以，即所求距离和的最小值为. 故选：. 【题型8 抛物线中的定点、定值、定直线问题】 【例8】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两个已知点在直线上，代入直线方程得出，然后简化直线PT的直线方程为，从而得解. 【解答过程】由题意，斜率都存在， 设，，， 直线l的斜率， 直线l方程：，化简得 同理直线QT方程：，直线PT的方程：， 点，分别代入直线QP，QT方程， 即，消除，得， 代入直线PT方程：，得， 直线PT过定点. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高二上·上海·期末）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于,，且直线OA,OB的斜率分别为,，则,,中有（    ）个值为定值 A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当存在斜率时，将直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系进行验证即可，当不存在斜率时，直接求出坐标，，再进行验证. 【解答过程】设直线的方程为，即． 代入，得，则． 又． 若直线与x轴垂直，由，得． 可求得，则． 故均为定值． 故选：D. 【变式8.2】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知点是抛物线：上的一点，点，是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 【解题思路】（1）点代入抛物线方程求出即可； （2）设出直线，的方程，与抛物线方程联立，求出，，结合抛物线方程，利用斜率公式求出直线的斜率即可． 【解答过程】（1）因为点是抛物线：上的一点， 所以，解得， 所以的标准方程为； （2）显然直线、的斜率存在且， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由，得，， 所以，解得， 同理可得， 所以， 即直线的斜率为定值，该定值为． 【变式8.3】（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【解题思路】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【解答过程】（1）抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. （2）直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【解题思路】因为直线与抛物线的对称轴平行，即可得出答案. 【解答过程】因为直线与抛物线的对称轴平行， 故直线与抛物线只有一个公共点． 故选：B. 2．（24-25高二上·广东广州·期末）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用直线过抛物线焦点以及斜率为，表示出直线方程，然后联立抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦性质，即可求出线段长度. 【解答过程】由题知，抛物线方程为， 所以抛物线焦点为， 所以该直线方程为， 即， 联立，得， 设，则， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·江西·阶段练习）直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立直线与抛物线方程，消元，由求出，即可得到抛物线方程，从而得到准线方程. 【解答过程】由，消去整理得， 由，解得或（舍去）， 所以抛物线：，则的准线方程为. 故选：A. 4．（24-25高二上·广东肇庆·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点上方），若，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】直线和抛物线联立，设，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程即可得到答案. 【解答过程】由题意，抛物线的焦点， 直线和抛物线联立，可得. 设，可得， 由抛物线的定义可得， 因为，可得与， 得到，所以方程为. 故选：C. 5．（24-25高二上·湖南永州·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意设直线的方程为，与抛物线方程联立并应用韦达定理，求解即可. 【解答过程】由题意得，直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为， 设， 联立，得，， 由韦达定理得， 又，所以，所以， 解得或，所以， 所以. 故选：A. 6．（24-25高二上·甘肃白银·期末）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设点、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、韦达定理以及二次函数的基本性质可求得的最小值. 【解答过程】直线与轴的交点为，所以，， 所以， 联立，整理得． ， 设、，则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立． 因此，的最小值为. 故选：C. 7．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，已知直线与抛物线交于、两点，且，交于点，点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理， 【解答过程】因为点在直线上，且，所以， 直线的方程为，整理得， 设、，联立得， 恒成立， 所以，，， 又因为，所以，解得． 故选：B． 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为（   ） A．4 B． C． D． 【解题思路】根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【解答过程】当直线的斜率不存在时，直线方程为， 由可得两个交点的坐标分别为， 所以， 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 联立，消去可得， 则，， 综上可得，， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【解题思路】直接代入点的坐标到直线方程验证后判断A；利用特例判断C；由直线方程与抛物线方程组成方程组，由方程组的解的情况判断BD． 【解答过程】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确． 故选：BD． 10．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知点O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．线段AB的中点到x轴的距离为3 C． D． 【解题思路】联立方程组求得，且，结合选项，结合抛物线的定义和焦点弦，逐项判定，即可求解. 【解答过程】由抛物线，可得焦点， 则过点F且斜率为1的直线方程为， 联立方程组，整理得，， 设，则， 对于A，由抛物线的定义，得，故A正确； 对于B，线段的中点的到轴的距离为，故B正确； 对于C，因为 ， 所以与不垂直，故错误； 对于D，由，可得， 由抛物线定义，得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高二上·河北沧州·期末）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（   ） A．的值为4 B． C． D．的面积与的面积之比为4 【解题思路】把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得，，，再结合抛物线的定义，可求的值，可判断A的真假；进而可得点的坐标，求值斜率，判断B的真假；利用两点间的距离公式可求，判断C的真假；根据可判断D的真假. 【解答过程】如图：    设，， 联立可得， 所以，， 故． 对A：因为，， 所以 ，则，解得或． 因为，所以，故A正确； 对B：因为，． 又，所以，，则，故B成立； 对C：因为 ，故C错误； 对D：因为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 ． 【解题思路】首先求出直线与轴的交点坐标，即可得到抛物线方程，再设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再由焦点弦公式计算可得. 【解答过程】直线过点，又抛物线的焦点坐标为， 所以，解得，所以抛物线，设，， 由，消去可得，显然， 所以，则. 故答案为：. 13．（2025高三·全国·专题练习）过点作抛物线的切线，切点分别记为，则直线的方程为 ． 【解题思路】设切点，，利用导数求出点处的切线斜率结合点斜式得切线方程，再结合切线所过的点和切点在抛物线化简得，同理点B得解. 【解答过程】设切点，，由得，求导得， 则上切点处的切线斜率， 所以在点处的切线方程为， 因为切线过点，所以， 结合，化简得， 同理可得， 故点，均在直线上， 所以直线的方程为. 故答案为：. 14．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点（在第一象限），若，则直线的倾斜角为 . 【解题思路】设直线，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，由得到，即可求出参数的值，从而求出直线的倾斜角. 【解答过程】抛物线焦点为， 显然直线的斜率存在，设直线，， 联立，消去整理得， 由， 所以，， 由，即， 即，，所以， 所以，，由，所以， 所以，解得（负值已舍去）， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 【解题思路】设直线的方程为，联立方程组求得，结合，和，三种情况，求得实数的值（范围），即可求解. 【解答过程】由题意，可设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 则， 当时，即，解得或，此时方程只有一个实数解， 即直线与抛物线只有一个公共点； 当时，即，解得或，此时方程两个不等的实数解， 即直线与抛物线两个公共点； 当时，即，解得，此时方程没有实数解， 即直线与抛物线没有公共点， 综上可得：当或，直线与抛物线只有一个公共点； 当或，直线与抛物线两个公共点； 当，直线与抛物线没有公共点. 16．（2025·河南新乡·三模）如图，已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，于点. (1)求直线l的方程； (2)求p. 【解题思路】（1）由D的坐标求出OD所在直线的斜率，进一步得到AB所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案； （2）设出A，B的坐标，由得到A，B横纵坐标的关系，联立直线和抛物线方程，消元后利用根与系数的关系求解． 【解答过程】（1）由题意，得直线的斜率， 因为，所以直线的斜率. 又点的坐标为， 所以直线的方程为， 即. （2）由得， 设，则.① 因为，所以，即. 又因为，所以.② 将①代入②，得. 又，所以. 17．（24-25高二上·青海海南·期末）已知抛物线的焦点F在直线上，A，B，C是E上的三个点． (1)求E的方程； (2)已知，且直线经过点F，，求直线的方程． 【解题思路】（1）由抛物线写出焦点坐标，代入直线方程求得的值，得到抛物线解析式； （2）设点坐标和直线方程，联立直线方程和抛物线方程，整理得到一元二次方程，由根与系数的关系得到两点横坐标的关系式，列出直线的斜率，由垂直建立方程，代入两点横坐标的关系式得到关于参数的方程，求出参数即可求得直线方程. 【解答过程】（1）由题可知， 所以，解得，所以E的方程为． （2）设，，由题可知，， 依题意知直线的斜率必存在，设直线的方程为． 由整理得， 则，． ，， 因为，所以，     所以，， 解得，所以直线的方程为． 18．（24-25高二上·北京石景山·期末）拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点． (1)当时，求； (2)若的面积为，求的值． 【解题思路】（1）首先得到焦点坐标，则直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式表示出，再代入即可得解； （2）求出点到直线的距离，再由面积公式得到方程，解得即可. 【解答过程】（1）拋物线的焦点， 则直线的方程为． 设， 由，得， 则，所以， 所以， 当时，． （2）因为， 点到直线 的距离， 所以， 化简得，解得，即． 19．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【解题思路】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【解答过程】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． （2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$