精品解析：安徽省六安第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

六安一中2025年春学期高二年级期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式及分式不等式，化简集合， 并集运算得解. 【详解】集合，集合， 所以， 故选：B 2. 随机变量，若，则（ ） A. 0.1 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.3 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 故选：C 3. 已知函数是奇函数，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，利用定义求解. 【详解】由或， 即函数定义域为， 由 ， 可知，即， 故选：A 4. 函数y=的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择. 详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B; 因为时，，所以排除选项C，选D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 5. 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由，通过二项式定理展开即可求解. 【详解】， 而，故最后一位数为7， 故选：D. 6. 设函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性及单调性，利用对数的运算性质及指数幂的性质比较的大小即可求解. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为偶函数， 又当时，，可知在上单调递增， 由偶函数性质可知，，， 又，， 所以由函数单调性可知， 故选：D 7. 已知函数，若关于x的方程有三个不同的实数解，实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】换元法令，将方程的根问题转化为方程有2个不等实根，数形结合，根据一元二次方程根的分布列出不等式求解即可. 【详解】令，其函数图象如图： 方程可化为， 即，即， 则该方程有2个不等的实根， 设，则， 令， 则，或， 解得或无解， 所以实数k的取值范围是. 故选：. 8. 定义在上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造和，由可得，，即递增，递减. 利用单调性比较、在不同点的值，进而得到在不同点的取值范围，判断各选项. 【详解】设，对求导，得. 已知，所以，这表明在上单调递增. 设，对求导，得. 已知，所以，这表明在上单调递减.  因为在上单调递增，且，所以. ，则，即，无法确定，所以选项A错误.  因为在上单调递增，且，所以. ，则，即，无法确定，所以选项B错误.  因为在上单调递增，且，所以. ，则，即. 又因为在上单调递减，且，所以. ，则，即. 同时，移项可得，所以选项C正确.  因为在上单调递增，且，所以. ，则，即. 又因为在上单调递减，且，所以. ，则，即，无法确定，所以选项D错误.  故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 对于两个分类随机变量X，Y，利用进行独立性检验时，的值越小，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于0 D. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的意义判断A，利用回归分析的相关定义和性质判断BCD即可得到结果. 【详解】选项A，在独立性检验中，的值越小说明两个变量独立性越强的把握越大，故选项A正确； 选项B，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄， 表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B正确； 选项C， 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C错误. 选项D，因为决定系数越大，表示残差平方和越小，数据就越集中，即模型的拟合效果越好，故选项D正确 故选：ABD 10. 已知函数则（ ） A. 若存在两个零点，则 B. 若仅有一解，则 C. 用表示不大于的最大整数，若，则 D. 若方程无解，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，，即有两个解，根据交点，不妨取，然后根据对数运算可得即可判断；对于B，即，然后分析分段函数的单调性即可得；对于C，根据高斯函数即可证明；对于D，当，即，分段求导分析函数单调性确定值域，即可确定有解时的取值范围，从而判断选项D. 【详解】对于A，，即有两个解，如图 由图知，不妨取， ，故A正确； 对于B，，即， 又在单调递减， 时，，， 所以在单调递减， 即在单调递减， ， 即仅有一解，则； 对于C，，， ，故C正确； 对于D，，即， 当时，在单调递增，值域为， 当时，，（舍）， 所以在单调递减，在单调递增， ，， 即时，的值域为， 故有解，， 所以方程无解，则的取值范围是，故D错误； 故选：AC. 11. 已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列成立的有（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导函数利用奇函数的定义判断A，推导导函数的周期，利用赋值求值判断B，赋值法结合的周期求值判断C，由及的奇偶性与周期性求和判断D. 【详解】由是偶函数，则，两边求导得， 所以是奇函数，故A正确； 由，得， 所以，代入， 得， 即，又因为是奇函数， 所以，，即， 所以是周期函数，且周期为4，由是奇函数，所以，所以，故B错误； 对选项C，在中，令得，， 在中，令得，，故，故C正确； 对于D：由得， ， 由B选项知，令得，故， 因为是周期函数与奇函数，且周期为，所以，即，因为，所以 所以，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题，，则该命题的否定是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定得解. 【详解】由存在量词的否定可知， ， 故答案为： 13. 已知实数满足则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数对数的运算性质化简后，构造函数，结合函数单调性及得解. 【详解】因为 所以，且，，即， 令，则， 当时，， 所以在上单调递增， 又， 所以，即. 故答案为：1 14. 一个箱子里有五个球，分别以1-5编号，若有放回的取四次，每次取一个，记至少取出一次的球的个数为X，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意共有种，符合题意为4次取球中仅有2种编号的球， 【详解】根据题意至少取出一次的球的个数为2，即4次取球中仅有2种编号的球， 首先取4次球，总共有种， 在1-5编号中选2个编号共有种， 2个编号排到4个位置共有，只出现一个编号的有2种， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解消费者对新能源汽车续航里程和充电设施的满意率，随机调查了200名新能源汽车车主，得到如下数据： 对续航里程满意 对续航里程不满意 对充电设施满意 80 30 对充电设施不满意 40 50 （1）任意调查一名新能源汽车车主，设事件“该车主对续航里程满意”为A，事件“该车主对充电设施满意”为B，求和； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关？ 附： α 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1），； （2）可以 【解析】 【分析】(1)利用频率估计概率，利用频数借助古典概型求条件概率即可； (2)利用独立性检验规则进行求解判断即可. 【小问1详解】 依题意，，; 【小问2详解】 消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率相互独立 由已知数据得， 而，则依据小概率值的独立性检验，可以认为不成立， 即认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关，且此推断犯错误的概率不会超过0.01. 16. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）为单调递减区间，为单调递增区间，极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率即可得解； （2）利用导数得到函数的单调性，即可分析求解函数的极值. 【小问1详解】 因为．所以． 由题意．所以； 所以， 所以切线方程为 【小问2详解】 因为．所以． 由；由． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以当时，函数取得极小值，且，无极大值． 17. 2025年春晚舞台上，机器人扭秧歌表演成为一大亮点．现统计出机器人Unitree 在某地区2024年2月至6月的销售量，数据如下表： 月份 2 3 4 5 6 销售量 45 55 70 110 用最小二乘法得到Unitree的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销售量的方差． （1）求的值（结果精确到0.1）； （2）（i）求的值； （ii）现从这5个月份中随机抽取3个月份，设抽取到销售量大于60的月份个数为，求的分布列和方差． 附：回归系数，相关系数， 【答案】（1） （2）（i）；（ii）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据参考公式代入数据求解即可； （2）（i）根据线性回归方程过样本中心点求出，即可得解 （ii）求出分布列，根据期望、方差定义计算得解. 【小问1详解】 由表得，． 由，得． ， ， ． 【小问2详解】 （i）回归直线过样本中心点，且， ． 即，解得． （ii） 所以 . 18. 已知函数的定义域为，对任意，都有，并满足对任意，当时，都有． （1）求的值，判断的奇偶性并给出证明； （2）解不等式：； （3）记表示中较大的值，若对，都有.求实数的取值范围． 【答案】（1）；为偶函数，证明如下: 因为的定义域是，关于原点对称， 令，则恒成立， 又函数不恒为0，所以， 令，则， 所以为偶函数． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）赋值后求出，令，再由偶函数的定义得证； （2）根据函数的单调性及偶函数的性质列出不等式组求解； （3）由题意转化为求，换元后分离参数，利用基本不等式求最值得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，由，得， 则在上单调递增，又是定义在上的偶函数． 所以在上单调递减． 则可变形为， 则，解得． 故所求不等式解集为． 【小问3详解】 由（1）（2）知， ，令， 当时，；当时，恒成立，故． 因为，当且仅当时等号成立，故． 综上，实数的取值范围是． 19. 甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有个红球和4个白球，乙口袋有个红球和2个白球．现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球． （1）当时． （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个红球的概率; （ii）设小明4次摸球中，摸出红球的个数为X，求X的分布列和数学期望； （2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？ 【答案】（1）（i）；（ii）分布列： 0 1 2 3 4 ． （2）时，P最大． 【解析】 【分析】（1）（i）设出事件，利用对立事件求概率公式进行求解； （ii）求出可能的取值和对应的概率，得到分布列和数学期望； （2）表达出，令，求导得到其单调性，从而求出当，即时，P最大，最大值为． 【小问1详解】 （i）设事件：小明4次摸球中，至少摸出1个红球， ，故从甲口袋中摸出白球的概率为， 从乙口袋中摸出白球的概率为， 则． （ii）由题可知，可能的取值为， 甲口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为， 乙口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为， ， ， ， ， ， 分布列如下， 0 1 2 3 4 所以． 【小问2详解】 小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率 ， 因为， 所以， 令， 则， 所以当时，；当时，； 所以函数在单调递增，单调递减， 所以当，即时，P最大，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2025年春学期高二年级期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 随机变量，若，则（ ） A. 0.1 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.3 3. 已知函数是奇函数，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0.5 4. 函数y=的图象可能是 A. B. C. D. 5. 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 6. 设函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若关于x的方程有三个不同的实数解，实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 对于两个分类随机变量X，Y，利用进行独立性检验时，的值越小，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于0 D. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 10. 已知函数则（ ） A. 若存在两个零点，则 B. 若仅有一解，则 C. 用表示不大于的最大整数，若，则 D. 若方程无解，则的取值范围是 11. 已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列成立的有（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题，，则该命题的否定是______． 13. 已知实数满足则______． 14. 一个箱子里有五个球，分别以1-5编号，若有放回的取四次，每次取一个，记至少取出一次的球的个数为X，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解消费者对新能源汽车续航里程和充电设施的满意率，随机调查了200名新能源汽车车主，得到如下数据： 对续航里程满意 对续航里程不满意 对充电设施满意 80 30 对充电设施不满意 40 50 （1）任意调查一名新能源汽车车主，设事件“该车主对续航里程满意”为A，事件“该车主对充电设施满意”为B，求和； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关？ 附： α 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 17. 2025年春晚舞台上，机器人扭秧歌表演成为一大亮点．现统计出机器人Unitree 在某地区2024年2月至6月的销售量，数据如下表： 月份 2 3 4 5 6 销售量 45 55 70 110 用最小二乘法得到Unitree的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销售量的方差． （1）求的值（结果精确到0.1）； （2）（i）求的值； （ii）现从这5个月份中随机抽取3个月份，设抽取到销售量大于60的月份个数为，求的分布列和方差． 附：回归系数，相关系数， 18. 已知函数的定义域为，对任意，都有，并满足对任意，当时，都有． （1）求的值，判断的奇偶性并给出证明； （2）解不等式：； （3）记表示中较大的值，若对，都有.求实数的取值范围． 19. 甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有个红球和4个白球，乙口袋有个红球和2个白球．现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球． （1）当时． （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个红球的概率; （ii）设小明4次摸球中，摸出红球的个数为X，求X的分布列和数学期望； （2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $