第23讲 三角恒等变换（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第23讲 三角恒等变换 【人教A版2019】 模块一 两角和与差的三角函数公式 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”， 两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”， 两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 6．辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【题型1 两角和与差的三角函数公式的应用】 【例1】（24-25高一上·河南郑州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据诱导公式、同角三角函数关系及两角和余弦公式求解即可. 【解答过程】由诱导公式得，因为，， 所以， 所以. 故选：A. 【变式1.1】（2025·全国·模拟预测）已知（），则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】通过及两角和的正弦公式即可求解. 【解答过程】由可得， 又，则， 故 . 故选：B. 【变式1.2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则（    ） A． B．3 C． D． 【解题思路】利用两角和的正切公式代入计算即可. 【解答过程】由两角和得正切公式得. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出、，再由两角差的余弦公式计算可得. 【解答过程】因为， ，解得， 所以. 故选：A. 【题型2 利用和（差）角公式化简、求值】 【例2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用同角三角函数的平方关系及题中角度范围，求出和的值，再利用整体思想，将转化为，用余弦的和角公式展开求值即可. 【解答过程】，，， 又，， ，， ，， ，， 则 ， 故选：C． 【变式2.1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对给定式子平方，再进行相加得到，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【解答过程】若，则 若，则， 将两式子相加可得， 化简得， 由两角和的正弦公式得，故C正确. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，利用同角三角函数的关系求出，倍角公式得，由，利用两角差的正切公式求出，再由两角和正切公式求出. 【解答过程】，，则， 有，， ，得， . 故选：A. 【变式2.3】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，即可由和差角公式求解. 【解答过程】故， 因此 故选：C. 【题型3 两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两角和的余弦公式的逆运算，即可求解. 【解答过程】 ． 故选：C. 【变式3.1】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两角差的余弦公式，即可化简求值. 【解答过程】 ． 故选：C. 【变式3.2】（24-25高一上·吉林长春·期末）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式及差角的正弦公式计算得解. 【解答过程】. 故选：A. 【变式3.3】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据诱导公式可得，结合两角差的正弦公式可得结果. 【解答过程】原式 ． . 故选：C. 【题型4 辅助角公式的应用】 【例4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由辅助角公式求得的值，再由二倍角公式求得的值，由诱导公式求得的值. 【解答过程】由，得， 则， 故． 故选：C. 【变式4.1】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用辅助角公式化简即可. 【解答过程】． 故选：B. 【变式4.2】（2025·湖北·二模）函数，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由辅助角公式、诱导公式直接运算即可求解. 【解答过程】， 其中， 而， 等号成立当且仅当，此时. 故选：B. 【变式4.3】（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【解题思路】利用辅助角公式化简，结合特殊角的三角函数值求出即可得解. 【解答过程】由，得，即， 由，得，则，即， 所以. 故选：B. 模块二 二倍角公式 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【题型5 利用二倍角公式化简】 【例5】（24-25高一下·山西大同·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二倍角公式及正余弦齐次式法求值即得. 【解答过程】由，得. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 利用正余弦的二倍角公式化简即可. 【解答过程】 原式化简为 . 故选：D. 【变式5.2】（2025·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，准确化简、运算，即可求解. 【解答过程】由 . 故选：A． 【变式5.3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可. 【解答过程】. 故选：B. 【题型6 利用二倍角公式求值】 【例6】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由二倍角余弦公式得的值，再利用诱导公式求的值. 【解答过程】根据题意，， . 故选：D. 【变式6.1】（24-25高一上·云南曲靖·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由诱导公式及余弦二倍角公式即可求解； 【解答过程】由； 故选：A. 【变式6.2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件可得，利用正切的倍角公式可得结果. 【解答过程】∵，∴， ∴. 故选：A. 【变式6.3】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（  ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角函数的定义求出，再由二倍角公式的余弦公式计算可得. 【解答过程】因为角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点， 所以，所以. 故选：A. 【题型7 三角恒等式的证明】 【例7】（24-25高一下·甘肃天水·期中）求证：． 【解题思路】由右往左证明，运用正切的半角公式即可得证. 【解答过程】，证毕. 【变式7.1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2) 【解题思路】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可； （2）先将正切化弦，通分得到原式，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明. 【解答过程】（1）. （2）左边 , 原式得证. 【变式7.2】（24-25高一上·广东湛江·期末）证明下列等式： (1) (2). 【解题思路】（1）（2）利用三角函数恒等变换的应用化简等式左边等于右边即可得证. 【解答过程】（1）左边右边，得证； （2）左边 右边，得证. 【变式7.3】（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【解题思路】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【解答过程】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 【题型8 利用三角恒等变换判断三角形的形状】 【例8】（24-25高一·全国·课后作业）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解题思路】根据已知，诱导公式与和、差角的余弦公式化简得到，从而得到，进而即可得出结论． 【解答过程】在△ABC中，由，得 ， 则， 所以，即，则， 又，，则，所以，即， 所以△ABC为等腰三角形，但无法判断C是不是直角． 故选：A． 【变式8.1】（24-25高二上·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【解题思路】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状. 【解答过程】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 故选：A. 【变式8.2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【解题思路】利用三角公式得到，求出，即可判断. 【解答过程】在中，因为， 所以， 即, 展开，整理化简得：. 因为为三角形内角，所以，所以. 因为为三角形内角，所以， 所以为直角三角形. 故选：B. 【变式8.3】（24-25高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【解题思路】根据两角和与差的余弦公式可得，再结合诱导公式化简计算得出结果． 【解答过程】因为 所以， 因为 则 又， 所以, 所以 所以. 又为△ABC的内角，所以. 所以，故△ABC为等腰三角形. 故选：C. 一、单选题 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解. 【解答过程】 ， 故选：B. 2．（24-25高一上·河南洛阳·期末）（   ） A． B． C． D．1 【解题思路】先应用诱导公式，再逆用两角和的正弦公式即可求值. 【解答过程】. 故选：C. 3．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将已知等式平方后可直接构造方程求得结果. 【解答过程】，. 故选：C. 4．（2025·全国·模拟预测）则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由角的正弦值求得余弦值，利用余弦与正切的和角公式，可得答案. 【解答过程】由，则， 由 ，则， 当时，,不合题意； 当时，， 则， ， . 故选：D. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）以表示的结果为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将转化为，根据万能公式和计算. 【解答过程】 ． 故选：D. 6．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知α为钝角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用平方关系求出，再根据，利用和角的余弦公式计算求解. 【解答过程】，则， ， . 故选：D. 7．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【解答过程】由，可得， 又，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以. 故选：C. 8．（24-25高一上·山东济南·期末）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】应用三角恒等变换化简函数式，结合余弦型函数的周期性及已知区间和零点个数有，即可求参数范围. 【解答过程】由 ， 又，则， 函数在上恰有2个零点，即在上有2个解， 所以，解得． 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏扬州·期中）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别由两角差的正弦公式，两角和的正切公式和倍角公式即可依次判断． 【解答过程】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：AB． 10．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由两角差的余弦公式可判断A，由余弦的二倍角公式可判断B，由两角和的正切公式可判断C，由诱导公式及正弦二倍角公式可判断D. 【解答过程】对A,，A错误； 对B,，B正确； 对C,，C正确； 对D,，D错误． 故选：BC. 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先化解函数的解析式，再代入条件，即可求解和，再利用同角三角函数基本关系式，以及两角和的正余弦公式，即可求解. 【解答过程】由题得， 则，则， 又，则， 故，A正确； ，B错误； 由可知，故，C正确； ，D正确． 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课后作业） ． 【解题思路】利用降幂公式以及辅助角公式运算求解即可. 【解答过程】由题意可得： ． 故答案为：. 13．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）已知，，则的值为 . 【解题思路】先根据同角三角函数的基本关系求出，再根据两角差的余弦公式即可求解. 【解答过程】因为，，所以. 所以. 故答案为：. 14．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，＝，＝，则＝ . 【解题思路】由已知利用同角的三角函数关系求出以及，再利用两角差的余弦公式即可求得答案. 【解答过程】∵，∴，故由， 得. 又∵，∴，＝， ∴， 则 ， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）若，是第二象限角，，是第三象限角，求的值. 【解题思路】先利用诱导公式和同角三角函数关系求出的值，再根据两角差的余弦公式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 又是第二象限角，所以， 因为，且是第三象限角，所以， 所以 . 16．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知，，且． (1)求的值； (2)求的值． 【解题思路】（1）根据角的范围和题设条件，求出和的值，利用和角公式求出的值，即可求得的值； （2）利用二倍角公式求出，的值，根据和角的余弦公式即可求得. 【解答过程】（1）因为，所以， 则，， 又因为，， 所以，， 所以 ， 因为，所以； （2）由（1）知，，， 故， ， 所以． 17．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【解题思路】（1）求出的值，利用两角和的正弦公式可求得的值； （2）利用二倍角公式可求得、的值，再利用两角差的余弦公式可求得的值. 【解答过程】（1）因为，，则， 所以，. （2）由二倍角公式可得， ， 因此，. 18．（24-25高一上·全国·课后作业）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【解题思路】（1）利用两角差的正切公式和二倍角的正切公式进行求解即可； （2）利用两角和的正切公式和二倍角的正切公式进行求解即可 【解答过程】（1）， 故． （2）， 则有， 解得或． 19．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间． (2)求在区间上的最大值和最小值． 【解题思路】（1）利用三角恒等变换可得，再根据周期公式可求得最小正周期，利用正弦函数的性质即得； （2）根据正弦函数的图象及性质即得． 【解答过程】（1）∵ 最小正周期， 由，， 得，， ∴单调递增区间为； （2）∵，∴， ∴，∴， ∴在上最大值为(当时取到)，最小值为(当时取到). 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23讲 三角恒等变换 【人教A版2019】 模块一 两角和与差的三角函数公式 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 . 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”， 两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”， 两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 6．辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【题型1 两角和与差的三角函数公式的应用】 【例1】（24-25高一上·河南郑州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2025·全国·模拟预测）已知（），则（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式1.3】（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用和（差）角公式化简、求值】 【例2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·吉林长春·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【题型4 辅助角公式的应用】 【例4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2025·湖北·二模）函数，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 模块二 二倍角公式 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【题型5 利用二倍角公式化简】 【例5】（24-25高一下·山西大同·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（2025·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型6 利用二倍角公式求值】 【例6】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一上·云南曲靖·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（  ） A． B． C． D． 【题型7 三角恒等式的证明】 【例7】（24-25高一下·甘肃天水·期中）求证：． 【变式7.1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2) 【变式7.2】（24-25高一上·广东湛江·期末）证明下列等式： (1) (2). 【变式7.3】（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【题型8 利用三角恒等变换判断三角形的形状】 【例8】（24-25高一·全国·课后作业）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式8.1】（24-25高二上·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式8.2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式8.3】（24-25高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 一、单选题 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南洛阳·期末）（   ） A． B． C． D．1 3．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）以表示的结果为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知α为钝角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山东济南·期末）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏扬州·期中）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课后作业） ． 13．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）已知，，则的值为 . 14．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，＝，＝，则＝ . 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）若，是第二象限角，，是第三象限角，求的值. 16．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知，，且． (1)求的值； (2)求的值． 17．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 18．（24-25高一上·全国·课后作业）已知． (1)求的值； (2)求的值． 19．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间． (2)求在区间上的最大值和最小值． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$