第12讲 幂函数（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第12讲 幂函数 【人教A版2019】 模块一 幂函数的概念 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. 【题型1 对幂函数的概念的理解】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数定义判断即可. 【解答过程】由幂函数的定义可知，是幂函数． 故选：C. 【变式1.1】（25-26高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】利用幂函数定义直接判断作答. 【解答过程】函数是幂函数， 函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数， 所以所给函数中幂函数的个数是1. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 【解题思路】利用幂函数的简单性质判断即可． 【解答过程】解：幂函数图象不一定过原点，例如，函数的图象不经过原点，故A不正确； 当时，幂函数，，在定义域内均为增函数，故B正确； 由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确； 函数是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如，故D不正确. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的定义即可得解. 【解答过程】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 【题型2 求幂函数的函数值、解析式】 【例2】（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数是幂函数.则（   ） A． B．2 C． D．1 【解题思路】根据函数是幂函数求参数，再求函数值即可. 【解答过程】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以，所以. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由幂函数定义可设，由条件列方程求，可得结论. 【解答过程】因为函数为幂函数，故可设， 因为函数的图象过点， 所以， 所以， 所以，即. 故选：A. 【变式2.2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用待定系数法求解即可. 【解答过程】设， 由的图象过点， 则，解得， 所以， 故选：A. 【变式2.3】（24-25高一上·山西阳泉·期中）已知幂函数满足，求的值（   ） A．3 B． C．4 D． 【解题思路】设幂函数的一般式，代入题干即可求解. 【解答过程】设幂函数的解析式为，， 所以. 故选：D. 【题型3 根据函数是幂函数求参数值】 【例3】（24-25高一上·吉林延边·期末）已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【解题思路】根据幂函数的定义以及性质可得出关于实数的等式和不等式，解之即可. 【解答过程】因为幂函数的图象不过原点，则，解得. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高一上·吉林延边·期末）已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【解题思路】根据幂函数的定义以及性质可得出关于实数的等式和不等式，解之即可. 【解答过程】因为幂函数的图象不过原点， 则， 解得. 故选：B. 【变式3.2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据幂函数的概念求解． 【解答过程】由题意得且，解得， 则， 故选：C． 【变式3.3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过点，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】运用幂函数经过的定点，代入计算即可. 【解答过程】的图象过点，则，即， 解得或． 故选：D. 模块二 幂函数的图象与性质 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 4．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在 (-1,0)，(0,1)上单调递减. 【题型4 求幂函数的定义域、值域】 【例4】（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【解答过程】函数的定义域为. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高三上·福建·阶段练习）已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用幂函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可. 【解答过程】当是正偶数时，显然，即其值域为． 当时，的值域为，但不是正偶数． 故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件． 故选：A. 【变式4.2】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案. 【解答过程】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 故选：C. 【变式4.3】（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【解答过程】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 【题型5 幂函数的图象】 【例5】（24-25高一上·四川·期末）下列图象可能为幂函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用幂函数必过的点来判断即可. 【解答过程】幂函数（为常数）的性质有： 若自变量有意义，则必过原点，根据这条性质，排除A、B、C， 故D正确； 故选：D. 【变式5.1】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（   ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【解题思路】结合图象及幂函数的性质判断即可. 【解答过程】由图可知，：在第一象限内单调递减，则指数的值满足； ：在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足； ：在第一象限内单调递增，且图象呈现下凸趋势，则指数的值满足. 故选：D. 【变式5.2】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的奇偶性以及单调性和增长速度判断图象可得结论. 【解答过程】易知满足，即函数为偶函数； 图象关于轴对称，可排除D， 易知当时，函数单调递增，可排除C， 且当时，函数的增长速度越来越慢，其图象在图象下方，排除A； 故选：B. 【变式5.3】（24-25高一上·北京·阶段练习）如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知a分别取，2四个值，则与曲线相应的a依次为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由幂函数的图象性质，观察得答案. 【解答过程】根据幂函数的性质可知，当时，在上递增，且在上越大，增长速度越快， 当时，在上递减，从而可知，曲线对应的， 曲线对应的依次为. 故选：A. 【题型6 由幂函数的图象与性质求参数】 【例6】（24-25高一上·浙江衢州·阶段练习）已知幂函数为奇函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．1 B．2 C．1或3 D．3 【解题思路】根据幂函数为奇函数，且在区间上单调递增可得答案. 【解答过程】因为在区间上单调递增，所以，解得， 又因为，所以，且为奇函数，所以， 故选：C. 【变式6.1】（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 【解题思路】由幂函数及单调性列出满足的条件求解即可. 【解答过程】函数为幂函数，且在区间上单调递增， 所以，解得， 故选：A. 【变式6.2】（24-25高一上·四川成都·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】首先根据幂函数的单调性，确定得到取值，再回代函数确定函数的奇偶性，即可求解. 【解答过程】因为幂函数，在区间上是减函数， 所以，解得：， 因为，得， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 当时，函数是偶函数，关于轴对称，符合题意， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 所以. 故选：A. 【变式6.3】（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题思路】根据幂函数定义确定，确定或，再根据条件：函数在上是增函数，确定，确定或，再根据函数为奇函数验证的值即可求解. 【解答过程】因为函数幂函数， 所以，解得或， 因为函数在上是增函数， 所以，解得，所以（舍去）， 因为函数是奇函数，当时，幂指数，不合题意； 当时，幂指数，为奇函数，符合题意； 所以满足条件的为. 故选：A. 【题型7 比较幂值的大小】 【例7】（24-25高一上·天津·期中）已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用幂函数的单调性比较大小即可. 【解答过程】, 幂函数在上单调递增， 因为, 所以, 即, 所以, 故选：D. 【变式7.1】（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将，，换算成幂函数的形式，然后根据函数的单调性求解. 【解答过程】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以． 故选：C. 【变式7.2】（24-25高一上·山东·期中）下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数单调性分别判断各选项. 【解答过程】A选项：由函数在上单调递增，所以，A选项错误； B选项：由函数在上单调递减，则，B选项错误； C选项：，， 又函数在上单调递增，所以，即，C选项正确； D选项：，函数在上单调递增， 则，即，D选项错误； 故选：C. 【变式7.3】（24-25高一上·全国·课后作业）若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用幂函数知识，结合偶函数和单调性性质，转化比较大小即可. 【解答过程】为偶函数，所以，又因为幂函数在上单调递减， 所以，即． 故选：B. 【题型8 利用幂函数的性质解不等式】 【例8】（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的定义求出的值，再代入解析式中检验，即可得到，从而得到函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【解答过程】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以不等式， 即或或， 解得或无解或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【解答过程】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 【变式8.2】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据条件，由幂函数的性质，可得，即可求解； （2）由（1）知，结合条件，利用函数的奇偶性和单调性得，即可求解. 【解答过程】（1）由幂函数在上单调递增知，，解得， 又，则或或， 当或时，，此时，不符合的图象关于轴对称，故舍去. 当时，，定义域为，且，所以图像关于轴对称，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）得，易知为偶函数，且在上单调递增， 因为，所以， 两边平方，得， 化简得，解得或， 故实数的取值范围为. 【变式8.3】（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【解答过程】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B．8 C． D．16 【解题思路】由点求得函数解析式即可求解； 【解答过程】设， 则，解得：， 所以， 故选：A. 2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）幂函数，在上单调递减， 则（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】利用幂函数的定义及单调性列式求解即得. 【解答过程】由幂函数，在上单调递减，得，所以. 故选：C. 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 【解题思路】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解. 【解答过程】由题意得，所以，所以， 解得或， 当时，，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 4．（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的图象一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限和原点 D．第二、四象限和原点 【解题思路】根据幂函数的解析式确定图象特征即可判断得解. 【解答过程】幂函数是定义在R上的奇函数，其图象经过第一、三象限和原点. 故选：C. 5．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）“幂函数在单调递减”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 【解题思路】根据幂函数的定义求出m的值，再根据充分、必要条件的定义判断即可． 【解答过程】若为幂函数，则，解得或， 因为当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立， 即“幂函数在单调递减”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：A. 6．（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数单调性分析判断即可. 【解答过程】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 7．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．的图象恒在轴上方 C．的图象经过原点 D．是上的减函数 【解题思路】化简的解析式，结合函数的定义域、单调性、奇偶性及图象性质逐项判断可得结果. 【解答过程】由题意得，，定义域为. 由函数定义域不关于原点对称可得为非奇非偶函数，选项A错误. 由得，故的图象恒在轴上方，选项B正确. 由函数定义域为可知的图象不经过原点，选项C错误. 因为，所以根据幂函数的单调性可知在上为减函数，选项D错误. 故选：B. 8．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由幂函数的单调性、奇偶性即可求解； 【解答过程】设，则，得， 则为增函数，且为奇函数， 则由，得，解得或. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列函数中是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的定义直接得出结果. 【解答过程】根据幂函数的定义，知道，，都是幂函数.不是幂函数，是正比例函数. 故选：ABD. 10．（24-25高一上·吉林长春·期末）幂函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数的值域为 【解题思路】根据幂函数的定义求出判断A，根据单调性比较大小判断B，根据偶函数定义判断C，根据幂函数的性质求出值域判断D. 【解答过程】对于A，因为是幂函数， 所以，可得或（舍去），则，正确； 对于B，，，所以，错误； 对于C，定义域为，且，所以函数是偶函数，正确； 对于D，由，得函数的值域为，正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的值域为R B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 【解题思路】根据幂指数的取值，结合幂函数的性质一一判断各选项，即可得答案. 【解答过程】当时，，此时的值域为，故A错误； 当时，在R上单调递增，所以，故B正确； 当时，，，定义域为，关于原点对称， ，所以是偶函数，故C正确； 当时，，则，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误． 故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数图象经过点，则= . 【解题思路】代入求解幂函数的解析式，即可代入求解. 【解答过程】将代入中可得，故，故 因此， 故答案为：. 13．（24-25高一上·安徽宣城·阶段练习）已知幂函数在上是减函数，则的值为 ． 【解题思路】根据已知条件，结合幂函数的定义与性质，即可求解. 【解答过程】幂函数在上是减函数， 则， 解得. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为 . 【解题思路】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【解答过程】当时，突函数在上单调递减， 当时，幂函数在上单调递增， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大 故与曲线相应的依次为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可. （2）根据单调性求不等式. 【解答过程】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得， 所以． （2）由函数图象关于轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得， 所以的取值范围是． 16．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)，和. 【解题思路】根据幂函数的单调性比较大小. 【解答过程】（1）∵函数在上单调递减，又，∴. （2），函数在上单调递增， 又，∴，∴，即. （3），. 函数在上单调递减，又， ∴，即. （4）∵，，，∴. 17．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点. (1)求的解析式； (2)若，用定义法证明：函数在上单调递增. 【解题思路】（1）根据幂函数定义和单调性可得结果. （2）由（1）得，利用函数单调性定义可证明结论. 【解答过程】（1）由题意得，，解得， ∴的解析式为. （2）由函数图象经过点得，，解得， ∴. 对，且， ， ∵，∴， ∴，即， ∴函数在上单调递增. 18．（24-25高一上·上海金山·期中）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)已知点，点在此幂函数的图象上，且满足，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）依题意可得，求出的值，即可求出函数解析式及定义域； （2）首先判断函数的单调性，即可得到，解得即可. 【解答过程】（1）幂函数经过点， ，即，解得， ； 因为，所以的定义域为. （2）由于函数在其定义域上单调递减， 又因为点，点在此幂函数的图象上，且满足， 可得，解得， 所以. 19．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知幂函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)设函数． ①判断的奇偶性并证明； ②判断在区间上的单调性，并用定义加以证明． 【解题思路】（1）设幂函数，将点代入求解； （2）先得到，再利用奇偶性和单调性的定义判断. 【解答过程】（1）解：依题意，设幂函数， 则，解得， 所以． （2）①为奇函数，证明如下： 由（1）得，， 则其定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数． ②在区间上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 幂函数 【人教A版2019】 模块一 幂函数的概念 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. 【题型1 对幂函数的概念的理解】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1.2】（24-25高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 【变式1.3】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 求幂函数的函数值、解析式】 【例2】（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数是幂函数.则（   ） A． B．2 C． D．1 【变式2.1】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一上·山西阳泉·期中）已知幂函数满足，求的值（   ） A．3 B． C．4 D． 【题型3 根据函数是幂函数求参数值】 【例3】（24-25高一上·吉林延边·期末）已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【变式3.1】（24-25高一上·吉林延边·期末）已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【变式3.2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3.3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过点，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 模块二 幂函数的图象与性质 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 4．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在 (-1,0)，(0,1)上单调递减. 【题型4 求幂函数的定义域、值域】 【例4】（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高三上·福建·阶段练习）已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4.2】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4.3】（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型5 幂函数的图象】 【例5】（24-25高一上·四川·期末）下列图象可能为幂函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（   ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【变式5.2】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高一上·北京·阶段练习）如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知a分别取，2四个值，则与曲线相应的a依次为（   ） A． B． C． D． 【题型6 由幂函数的图象与性质求参数】 【例6】（24-25高一上·浙江衢州·阶段练习）已知幂函数为奇函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．1 B．2 C．1或3 D．3 【变式6.1】（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 【变式6.2】（24-25高一上·四川成都·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6.3】（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7 比较幂值的大小】 【例7】（24-25高一上·天津·期中）已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一上·山东·期中）下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高一上·全国·课后作业）若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型8 利用幂函数的性质解不等式】 【例8】（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【变式8.3】（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B．8 C． D．16 2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）幂函数，在上单调递减， 则（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 4．（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的图象一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限和原点 D．第二、四象限和原点 5．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）“幂函数在单调递减”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 6．（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．的图象恒在轴上方 C．的图象经过原点 D．是上的减函数 8．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列函数中是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·吉林长春·期末）幂函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数的值域为 11．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的值域为R B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数图象经过点，则= . 13．（24-25高一上·安徽宣城·阶段练习）已知幂函数在上是减函数，则的值为 ． 14．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为 . 四、解答题 15．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 16．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)，和. 17．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点. (1)求的解析式； (2)若，用定义法证明：函数在上单调递增. 18．（24-25高一上·上海金山·期中）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)已知点，点在此幂函数的图象上，且满足，求实数的取值范围. 19．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知幂函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)设函数． ①判断的奇偶性并证明； ②判断在区间上的单调性，并用定义加以证明． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$