精品解析：福建省漳州市漳浦县中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

漳浦县中学2024-2025学年第二学期期中检测卷 七年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填涂到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握同底数幂除法的运算法则． 根据同底数幂除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减“来计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2. 下列四个图形中，和互为余角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义以及对顶角、邻补角、平行线相关角的性质，解题的关键是理解余角概念（若两角和为，则这两个角互余），并据此分析各选项． 分别分析每个选项中与的数量关系，判断是否和为． 【详解】A、和是对顶角，对顶角相等，不是互为余角，该项错误； B、和是邻补角，邻补角的和为，不是互为余角，该项错误； C、和的和为，根据余角的定义可知它们互为余角，该项正确； D、和没有直接的数量关系，不是互为余角，该项错误． 故选：C． 3. 2025年是乙巳年，以“巳巳如意，生生不息”为主题的春节联欢晚会在除夕夜如约而至，春晚机器人、Deepseek、大量无人机等AI技术，向全球观众展现了中国人工智能与机器人技术的前沿突破，打造了一场科技与艺术的视觉盛宴．其中，春晚机器人使用的谐波减速器，采用了局部共轭啮合齿形设计，精度达到30弧秒，相当于0.0083度，将数据0.0083用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较小数，解题的关键是掌握科学记数法的形式为负整数，的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定）． 根据科学记数法表示较小数的规则，确定和的值来表示0.0083． 【详解】解：0.0083用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 如图，在下列条件中，可以判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 由平行线判定方法，即可判断． 【详解】A、C中的两个角不是同位角，也不是内错角，不能判定，故A、C不符合题意； B、由同旁内角互补，两直线平行判定，故B符合题意； D、由同位角相等，两直线平行判定，不能判，故D不符合题意． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法、平方差公式、完全平方公式以及积的乘方，解题的关键是熟练掌握相应运算法则． 分别根据同底数幂乘法、平方差公式、完全平方公式、积的乘方的运算法则，对各选项逐一计算判断． 【详解】解：A、．选项A错误； B、．选项B错误； C、，选项C漏掉中间项，错误； D、，选项D正确． 故选：D． 6. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺、木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角尺角度的运用，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的关系． 先根据三角尺的角度得出相关角的度数，再利用平行线的性质求出的度数． 【详解】如图： ， ， ， ， ． 故选：C． 7. 国家倡导绿色出行，小明的爸爸给他买了一辆单车．图①是该品牌单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，． A. 15 B. 65 C. 70 D. 115 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行公理得出，再根据平行线的性质得出，要使与平行，可得出,根据平角的定义即可得出；本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 详解】解：依题意，，， ， ， ， ∵要使与平行，则有 ， ， ． 故选：B． 8. 下列能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平方差公式，正确应用平方差公式是解题关键．直接利用平方差公式计算得出答案． 【详解】解：A、，能运用平方差公式计算，符合题意； B、，不能运用平方差公式计算，故不合题意； C、，不能运用平方差公式计算，故不合题意； D、，不能运用平方差公式计算，故不符合题意； 故选：A． 9. 不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（如下表），则下列说法错误的是（ ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 301 480 601 摸到红球的频率 0.62 0.59 0.602 0.60 0601 A. B. C. 摸到红球的概率约为0.60 D. 若袋中有9个红球，则总球数有14个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解频率与概率的关系，以及掌握频率的计算方法． 根据频率的计算公式“频率=频数÷总数”，分别计算各选项中的值，再结合大量重复试验中频率稳定值可估计概率，对各选项进行判断． 【详解】A、计算100次摸球时的频率，，正确； B、300次摸球时，红球次数，正确； C、随着试验次数增加，频率稳定在0.60附近，可估计概率约为0.60，正确； D、设总球数为，由概率，解得．选项中总球数为14，错误． 故选：D． 10. 如图，大正方形的边长为，小正方形边长为，若，则图中阴影部分的面积和为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是根据面积公式和整体代入法来解答． 根据阴影部分的面积等于小正方形的面积加上3个三角形的面积，列出代数式并进行化简，最后将整体代入求出结果． 【详解】 ， ， 原式． 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置． 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数次幂的计算，运用计算解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 从数学的角度出发，诗句“清明时节雨纷纷”中的事件是_____事件． 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：诗句“清明时节雨纷纷”中的事件可能发生也可能不发生，故是随机事件， 故答案为：随机． 13. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，若，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得，再利用补角的性质即可得到答案． 【详解】解：由题可得图如下： ∵ ∴ ∵，， ∴， 故答案为：． 14. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键． 根据题意画出树状图，列出所有等可能结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种， 和是偶数的概率为， 故答案为：． 15. 若关于的代数式是一个完全平方式，则______． 【答案】11或-5 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵x2+（m-3）x+16 是一个完全平方式， ∴m-3=±8， 解得：m=11或-5， 故答案为：11或-5． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 16. 如图，，点、在直线上，点在上，，平分，．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有_____．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，余角的性质，角平分线定义，垂线定义理解，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．根据平行线的性质，角平分线定义和余角性质证明，再根据，得出，即可证明，得出①正确；根据平行线的性质得出，即可判定②正确；根据现有条件无法证明，即可判断③错误；根据平行线的性质证明，说明平分，判定④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵，， ∴， ∴，故②正确； ③根据已知条件无法证明，故③错误； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共9题，共86分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题卡的相应位置解答． 17. 计算题： （1） （2）（用乘法公式计算） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查的是积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，平方差公式的应用； （1）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 18. （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，已知线段和，按照下列要求完成作图． 求作：①在上截取； ②以点为顶点，为一边，在内作，使得； （2）判断与的位置关系，并说明你判断的依据． 【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析 ②图见解析 （2）平行；同位角相等，两直线平行 【解析】 【点睛】本题考查尺规作角，平行线的判定，解题的关键是掌握尺规作角的方法，平行线的判定． ①用圆规量取线段a的长度，以A为圆心，以线段a的长度为半径画弧，与相交于点P，则． ②以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，用圆规量一下 的距离，保持圆规不动，以点为圆心，画弧，交点即为点，作射线，即可； （2）根据平行线判定，同位角相等，两直线平行，即可解答． 【详解】（1）①如图所示：线段即为所求； ②如图，即为所求；    （2），说明如下： 由作图可知：， ∵和是同位角， 根据平行线的判定定理，当同位角相等时，两直线平行， ∴（同位角相等，两直线平行），． 19. 化简求值：，其中． 【答案】；4 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式乘法的运算法则是解题的关键，先根据整式的乘法法则和合并同类项化简，再利用整体代入的思想即可求值． 【详解】解：原式， ， ， ， 原式． 20. 口袋里有除颜色外其它都相同的5个红球和3个白球． （1）先从袋子里取出m（）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． 如果事件A是必然事件，则　　；如果事件A是随机事件，则　　； （2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求m的值． 【答案】（1）3，1或2 （2）1 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，利用概率求数量． （1）根据必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件进行求解即可； （2）根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：如果事件A是必然事件，则袋子里全是红球， ∴； 如果事件A是随机事件，则袋子里还剩余白球， ∴或2； 故答案为：3，1或2； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：． 21. [阅读・领会]在几何图形学习过程中，为了帮助解题可在原图的基础上添加直线或线段，我们称添加的直线或线段为“辅助线”． [实践·感悟]将一副三角板按如图方式摆放在平行线间，，点在同一条直线上，求的度数． 小颖同学想到通过添加平行线，请你帮她完成下列证明过程： 证明：由三角板的制作原理，可知：，_____ 过点作， 又（已知） （_____）， _____（_____）， _____， __________（_____） 【答案】45；平行于同一直线的两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；；75；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角板中角的计算，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出． 【详解】证明：由三角板的制作原理，可知：， 过点作， 又∵（已知） ∴， ∴，（平行于同一直线的两直线平行） （两直线平行，同位角相等） ， ∵， （两直线平行，内错角相等）． 22. 某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道、可以求的值．如果知道、可以求的值吗？他们为此进行了研究． 规定：若，那么．例如，那么． （1）填空：_____； （2）若，，探索、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）4 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法． （1）先判断2的多少次方是16，然后根据定义求出答案即可； （2）先根据已知条件中的规定，把，写成底数是2的幂，然后进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴． 23. 每年的3月14日是国际数学节，又称圆周率日．中国邮政于今年3月14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感． 已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同．凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票． （1）小颖从盲盒中随机抽取一个，求恰好抽到“圆周率”的概率； （2）此活动推出的一个月里，共抽了540次盲盒，求商场这一个月里需支付此活动的费用． 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查概率公式，有理数的混合运算，掌握概率公式是解答本题的关键． （1）利用概率公式可得答案． （2）求出邮票的费用，然后根据抽到的概率和奖励计算解答即可． 【小问1详解】 解：总共有8种等可能性的结果，其中，恰好抽到“圆周率”的结果有2种， ； 【小问2详解】 解：商场这一个月里需支付邮票的费用为：（元）， 抽到“圆周率”的总次数约为：（次）， 抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”的总次数约为：（次）， 抽到“莫比乌斯带”的总次数约为：（次）， 商场这一个月里需支付此活动的费用为：（元）． 24. [推理主题]探究“能表示为两个正整数的平方差的整数”： [举例、观察]， （1）（i）按上述规律填空：； （ii）一般性结论：_____；（为正整数） [猜想、论证]兴趣小组对此问题进一步进行探究： （2）猜想：（i）若正整数是4的倍数，则能表示为两个连续偶数或两个连续奇数的平方差． （ii）整数是正整数、之积，且、同为偶数或奇数，则可以表示为两个正整数的平方差． 请你论证以上两个猜想的正确性，写出证明过程． 【答案】（1）（i），（ii）；（2）（i）见解析；（ii）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律探究，整式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则． （1）（i）按照数字规律进行解答即可； （ii）根据给出的等式，结合完全平方公式，进行解答即可； （2）（i）根据正整数是4的倍数，设，分两种情况：当为偶数时，当为奇数时， （ii）根据，得出，根据正整数同为偶数或奇数，得出都是偶数，进行求解即可． 【详解】解：（1）（i）； （ii）； （2）（i）证明：正整数是4的倍数， 设， 当为偶数时，和为连续奇数； 当为奇数时，和为连续偶数； 能表示为两个连续偶数或两个连续奇数的平方差． （ii）， ， 正整数同为偶数或奇数， 都是偶数， 都是整数， 都是正整数， 可以表示为两个正整数的平方差． 25. [项目学习]自行车尾灯工作原理的研究． [预备知识]三角形三个内角的和等于．可直接运用此结论进行解题． [探究发现]（1）如图1，已知为平面镜，为入射光线，为反射光线，从入射点引出一条垂直于镜面的射线．经过探究发现：，可得与的数量关系为_____； [数学思考]（2）如图2，已知为两个平面镜，为入射光线，为反射光线．若，则光线与一定平行吗？为什么？ [知识应用]（3）自行车尾灯是由红色塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意车距．如图3，数学小组模拟了当后面汽车的灯光照射在前面自行车尾灯上的光线图，由于驾驶员的视点会高于反射点，所以反射光线会与水平视线成一定角度，若，请探索与满足的数量关系． 【答案】（1）；（2）平行，理由见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等角的余角相等进行解答即可； （2）过点E作，过点F作，根据解析（1）得出，，，，求出，，得出，即可证明结论； （3）延长交于点M，根据解析（1）可知：，，根据平行线的性质得出，最后根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 过点E作，过点F作，如图所示： 根据解析（1）可知：，， ，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； （3）延长交于点M，如图所示： 根据解析（1）可知：， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 即． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，余角的性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 漳浦县中学2024-2025学年第二学期期中检测卷 七年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填涂到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形中，和互为余角的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年是乙巳年，以“巳巳如意，生生不息”为主题的春节联欢晚会在除夕夜如约而至，春晚机器人、Deepseek、大量无人机等AI技术，向全球观众展现了中国人工智能与机器人技术的前沿突破，打造了一场科技与艺术的视觉盛宴．其中，春晚机器人使用的谐波减速器，采用了局部共轭啮合齿形设计，精度达到30弧秒，相当于0.0083度，将数据0.0083用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在下列条件中，可以判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺、木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 国家倡导绿色出行，小明的爸爸给他买了一辆单车．图①是该品牌单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，． A. 15 B. 65 C. 70 D. 115 8. 下列能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 9. 不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（如下表），则下列说法错误的是（ ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 301 480 601 摸到红球的频率 0.62 0.59 0602 0.60 0.601 A B. C. 摸到红球的概率约为0.60 D. 若袋中有9个红球，则总球数有14个 10. 如图，大正方形的边长为，小正方形边长为，若，则图中阴影部分的面积和为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置． 11. 计算：_____． 12. 从数学的角度出发，诗句“清明时节雨纷纷”中的事件是_____事件． 13. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，若，则_____度． 14. 哥德巴赫提出“每个大于2偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是______． 15. 若关于的代数式是一个完全平方式，则______． 16. 如图，，点、在直线上，点在上，，平分，．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有_____．（填序号） 三、解答题：本题共9题，共86分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题卡的相应位置解答． 17. 计算题： （1） （2）（用乘法公式计算） 18 （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，已知线段和，按照下列要求完成作图． 求作：①在上截取； ②以点为顶点，为一边，在内作，使得； （2）判断与的位置关系，并说明你判断的依据． 19. 化简求值：，其中． 20. 口袋里有除颜色外其它都相同的5个红球和3个白球． （1）先从袋子里取出m（）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． 如果事件A是必然事件，则　　；如果事件A是随机事件，则　　； （2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求m的值． 21. [阅读・领会]在几何图形学习过程中，为了帮助解题可在原图的基础上添加直线或线段，我们称添加的直线或线段为“辅助线”． [实践·感悟]将一副三角板按如图方式摆放在平行线间，，点在同一条直线上，求的度数． 小颖同学想到通过添加平行线，请你帮她完成下列证明过程： 证明：由三角板的制作原理，可知：，_____ 过点作， 又（已知） （_____）， _____（_____）， _____， __________（_____） 22. 某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道、可以求的值．如果知道、可以求的值吗？他们为此进行了研究． 规定：若，那么．例如，那么． （1）填空：_____； （2）若，，探索、满足的数量关系，并说明理由． 23. 每年的3月14日是国际数学节，又称圆周率日．中国邮政于今年3月14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感． 已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同．凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票． （1）小颖从盲盒中随机抽取一个，求恰好抽到“圆周率”的概率； （2）此活动推出一个月里，共抽了540次盲盒，求商场这一个月里需支付此活动的费用． 24. [推理主题]探究“能表示为两个正整数的平方差的整数”： [举例、观察]， （1）（i）按上述规律填空：； （ii）一般性结论：_____；（为正整数） [猜想、论证]兴趣小组对此问题进一步进行探究： （2）猜想：（i）若正整数是4的倍数，则能表示为两个连续偶数或两个连续奇数的平方差． （ii）整数是正整数、之积，且、同为偶数或奇数，则可以表示为两个正整数的平方差． 请你论证以上两个猜想的正确性，写出证明过程． 25. [项目学习]自行车尾灯工作原理的研究． [预备知识]三角形三个内角的和等于．可直接运用此结论进行解题． [探究发现]（1）如图1，已知为平面镜，为入射光线，为反射光线，从入射点引出一条垂直于镜面的射线．经过探究发现：，可得与的数量关系为_____； [数学思考]（2）如图2，已知为两个平面镜，为入射光线，为反射光线．若，则光线与一定平行吗？为什么？ [知识应用]（3）自行车尾灯是由红色塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意车距．如图3，数学小组模拟了当后面汽车的灯光照射在前面自行车尾灯上的光线图，由于驾驶员的视点会高于反射点，所以反射光线会与水平视线成一定角度，若，请探索与满足的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$