山东省菏泽第一中学2025年高一数学暑假作业

高一数学暑假作业说明书 一、作业目标 1. 巩固高一数学核心知识（如函数、解三角形、平面向量、立体几何等）。 2. 提升解题能力，熟练掌握基础题型和常见考点。 3. 预习高二数学内容（如空间向量、直线方程等），为新学期学习做准备。 4. 培养自主学习和时间管理能力。 二、作业内容 1. 必做题 模块复习：完成《数学暑假作业》中高一数学各章节习题复习。 错题整理：将上学期试卷、作业中的错题重做并归类分析。 预习任务：预习高二数学空间向量和直线方程，完成教材例题和基础习题。 2. 实践任务 -撰写1篇数学小论文（主题如“函数在生活中的应用”“立体几何图形的美学价值”等，500字以上）。 -制作1个数学知识思维导图（整理关键公式、思维导图或解题技巧）。 三、完成要求 1. 书写规范：解答题需标明解题步骤，不得直接写答案；书写工整，标注题号。 2. 独立完成：禁止抄袭，可参考教材或笔记，但需独立思考。 3. 标注疑难：对未解决的题目用“？”标记，开学后集中答疑。 4. 提交形式： - 纸质版作业按顺序装订，开学第一周上交。 - 小论文和思维导图写到作业本上。 四、时间安排建议 | 7月16日-8月15日 | 完成必做题暑假作业+错题整理 | | 8月16日-8月20日 | 预习高二内容+课后习题 | | 8月21日-8月25日 | 实践任务（小论文、思维导图）+查漏补缺 | | 8月26日-8月30日 | 二次复习整理暑假作业错题，整理成册 | 五、学习建议 1. 每日规划：每天至少投入1小时数学学习，避免集中突击。 2. 错题利用：将错题按知识点分类（如平行、垂直、向量运算等），总结解题通法。 3. 预习方法： - 先通读教材，标记疑问，尝试自学例题，记录难点； - 结合网课（如B站、国家中小学智慧平台）辅助理解。 4. 求助途径： - 加入学校班级学习群，与同学讨论； - 利用App（如“小猿搜题”“洋葱学园”）解决疑难。 六、奖励机制 1. 作业完成质量高者可获得“数学之星”称号，计入学期评比。 2. 优秀小论文将展示在班级数学角，作者可参与校数学兴趣小组。 祝大家暑假充实愉快，开学数学成绩更上一层楼！ 高一数学组 2025年7月8日 高一数学暑假作业1 一、单选题 1．若＝(3，5)，＝(－1，2)，则等于（    ） A．(4，3) B．(－4，－3) C．(－4，3) D．(4，－3) 2．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量,且,则的值分别为(　　) A．－2，1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1，2 4．某学校为了解高一1200名新入学学生的数学成绩，从中抽取了100名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的100名学生的数学成绩是（    ） A．总体 B．样本 C．个体 D．样本量 5．从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（    ） A．所取的3个球中至少有一个白球 B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球 C．所取的3个球都是黑球 D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球 二、单选题 6．（多选）关于频率和概率，下列说法正确的是（    ） A．某同学投篮3次，命中2次，则该同学每次投篮命中的概率为 B．费勒抛掷10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.4979；皮尔逊抛掷24000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.5005．如果某同学抛掷36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.5005 C．某类种子发芽的概率为0.903，若抽取2000粒种子试种，则一定会有1806粒种子发芽 D．将一颗质地均匀的骰子抛掷6000次，则掷出的点数大于2的次数大约为4000次 7．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．平面截球 用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的 ；若平面不经过球心，所得的截面称为球的 ． 9．以下现象不是随机现象的是 ．(填序号) ①在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现； ②明天下雨； ③同种电荷相互排斥； ④平面四边形的内角和是360°． 四、解答题 10．掷两颗均匀的骰子得两个数，大数减小数的差为d；完成下表，并说明是否有一个差数比其他差数更可能出现？ d 基本事件（i，j） 事件个数 0 （1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6） 6 1 2 3 4 5 高中数学暑假作业2 1、 单选题 1．总体由编号为00，01，…，28，29的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列开始由左到右依次选取两个数字．则选出来的第5个个体的编号为（    ） 0842    2689    5319    6450    9303    2320    9025    6015 9901    9025    2909    0937    6707    1528    3113    1165 0280    7999    7080    1573    6147    6403    2366    5398 A．19 B．02 C．11 D．16 2．利用斜二测画法作边长为2的正方形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，则满足此条件的三角形的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 4．有一个装有水且底面直径为12cm的圆柱形容器，水面与容器口的距离为cm．现往容器中放入一个半径为r（单位：cm）的小球，该小球放入水中后直接沉入容器底部，若使该容器内的水不溢出，则小球半径r的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面 2、 单选题 6．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形 B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形 C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题 D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 7．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（    ） A． B．平面 C．与平面所成角是 D．与所成的角等于与所成的角 三、填空题 8．在中，为边上的中线，E为的中点，则 ．（用和表示） 9．向量数量积的定义： . 四、解答题 10．已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 高中数学暑假作业3 一、单选题 1．已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为 A． B． C． D． 2．在复平面内，复数z所对应的点在射线上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．下列命题是真命题的是（    ） A．四边相等的四边形一定是平面图形 B．空间一个点与一条直线可以确定一个平面 C．一个平面的面积可以为 D．相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面 5．下列调查方案中，抽样方法合适､样本具有代表性的是（    ） A．用一本书第1页的字数估计全书的字数 B．为调查某校学生对航天科技知识的了解程度，上学期间，在该校门口，每隔2分钟随机调查一位学生 C．在省内选取一所城市中学，一所农村中学，向每个学生发一张卡片，上面印有一些名人的名字，要求每个学生只能在一个名字下面画“√”，以了解全省中学生最崇拜的人物是谁 D．为了调查我国小学生的健康状况，共抽取了100名小学生进行调查 二、多选题 6．已知四面体ABCD中，M，N分别是棱CD，BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．下列各式不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 三、填空题 8．从2021个学生中选取202人志愿者，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样法从2021人中剔除1人，剩下的2020人按系统抽样取出202人，则每人入选的概率 . 9．已知（i为虚数单位），则 . 四、解答题 10．已知正三角形边长为2cm，请选择不同的坐标系作出直观图．（保留作图痕迹） 高中数学暑假作业4 一、单选题 1．已知圆心为O的⊙O上三点A、B、C，则向量、、是(　　) A．有相同起点的相等向量 B．长度为1的向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2022次，那么第2021次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 3．已知数据x1，x2，x3，x4的平均数为4，则数据3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，3x4＋2的平均数为（   ） A．4 B．8 C．12 D．14 4．i是虚数单位，若，则乘积的值是 A．－15 B．－3 C．3 D．15 5．在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中为假命题的是（      ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 7．由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长作出直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，这是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所作的预测，那么下列说法中正确的有（    ） A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 8．数轴上一点P(x)，它到A(-8)的距离是它到B(-4)距离的3倍，则x= . 9．某工厂的质检人员对生产的100件产品,采用随机数表法抽取10件进行检查,对100件产品采用下面的编号方法:①;②;③.其中最恰当的序号是 . 10．如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC//AB，求证：平面PAB//平面EFG. 高中数学暑假作业5 1．四棱台的两底面分别是边长为和的正方形，各侧棱长都相等，高为，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则AB与平面β所成的角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 3．设、、是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则     ②若，，则 ③若，，则      ④若，，则 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列说法一定正确的是(　　) A．直角三角形绕其一边旋转形成圆锥 B．等边三角形绕其一边旋转形成圆锥 C．平面截圆锥所得的图形是圆 D．过圆锥顶点的截面图形是等腰三角形 5．已知正四棱锥的体积为2，底面积为6，为侧棱的中点，则直线与平面所成的角为（     ） A． B． C． D． 6．下列各式中，结果为零向量的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）下列抽样中，不是简单随机抽样的为（    ） A．从无数个个体中抽取50个个体作为样本 B．仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查 C．一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签 D．箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里 8．在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值 ,正弦值较大的角对应的边 ,即在中, . 9．在一个古典概率模型中，随机事件A发生的概率为： ．其中，表示 ，而表示 ． 10．某校高三（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图所示，据此解答如下问题： (1)求高三（1）班全体女生的人数； (2)求分数在之间的女生人数，并计算频率分布直方图中对应的矩形的高． 高中数学暑假作业6 1．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知此山的高，小车的速度是，则（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两名党员报名参加进社区服务活动，他们分别从“帮扶困难家庭”、“关怀老人”、“参加社区义务劳动”、“宣传科学文化法律知识”这四个项目中随机选一项目报名，则这两名党员所报项目不同的概率为（    ）． A． B． C． D． 3．为了调查某工厂生产的一批口罩的质量情况，随机抽取了一批口罩，所得数据如下图所示，为了进一步了解情况，研究人员在被抽取的口罩中按照质量的指标值再次进行分层抽样，共抽取个，若质量的指标值在中的抽取个，则下列说法正确的是（    ） A．质量的指标值在中的抽取个 B．质量的指标值在中的抽取个 C．质量的指标值在中的抽取个 D． 4．已知是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面与平面平行的是 A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有一条直线与平面内的一条直线平行 D．平面与平面不相交 5．在中，，，设，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，满足，则实数k的值可能为（    ） A． B． C．58 D． 7．已知复数，则（     ） A． B．的虚部是 C．若，则， D． 8．直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有公共点 公共点 公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 9．已知是虚数单位，给出下列命题：①若，则是纯虚数；②两个虚数不能比较大小；③若，且，则.其中，真命题的序号是 . 10．（1）化简：． （2）已知向量为，未知向量为向量，满足关系式，求向量． 高中数学暑假作业7 1．长方体中，，，则此长方体的对角线长是（    ） A．2 B． C． D． 2．某位同学参加歌唱比赛，有8位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3．又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为，方差为，则（　　） A．， B．， C．， D．， 3．与互为共轭复数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 4．在中，为其内部一点，且满足，则和的面积比是 A．3：4 B．3:2 C．1:1 D．1:3 5．某圆柱形容器内盛有高的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则一个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．丙与丁相互独立 D．乙与丙不相互独立 7．下列说法中正确的有（    ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．有向线段就是向量，向量就是有向线段 C．两向量的大小与其方向有关 D．向量的模可以比较大小 8．某医院急诊中心关于病人等待急诊的时间记录如下： 等待时间/min 5 10 15 20 21 频数 1 8 5 2 1 则病人候诊时间的平均数为 . 9．若，则 . 10．指出下列事件中，哪些是随机事件､必然事件或不可能事件： (1)任取3条线段，这3条线段恰好能组成直角三角形； (2)任取1个正方体的3个顶点，这3个顶点不共面； (3)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点； (4)把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5； (5)实数a，b不都为0，但； (6)汽车排放尾气会污染环境； (7)明天早晨有雾； (8)明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温. 高中数学暑假作业8 1．已知，，，则等于（    ）. A． B． C． D． 2．若复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知i为虚数单位,四边形是复平面内的平行四边形,其中,,,若点C对应的复数为z,则等于 A． B． C． D． 4．某单位有老年人28人､中年人54人､青年人81人,为了调查他们的身体状况,从中抽取一个容量为36的样本,则最适合抽取样本的方法是 A．随机数表法 B．抽签法 C．分层抽样 D．先从老年人中剔除1人,再用分层抽样 5．已知向量，，若，则（    ） A．8 B． C． D． 6．下列四个式子中一定能化简为的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）在中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列说法错误的是 (填序号)． ①多面体至少有四个面； ②九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形； ③长方体、正方体都是棱柱； ④三棱柱的侧面为三角形． 9．在△ABC中，若A＝60°，，则 ． 10．在复平面内，若复数对应的点分别满足下列条件，求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 高中数学暑假作业9 1．有下列事件：①足球运动员点球命中；②在自然数集中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；④在洪水到来时，河流水位下降；⑤任意两个奇数之和必为偶数；⑥任意两个奇数之和为奇数.上述事件中为随机事件的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如果是独立事件，分别是的对立事件，那么以下等式不一定成立的是（    ）. A． B． C． D． 3．已知为复数的共轭复数，，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．在空间四边形中,分别是上的点,当平面时,下面结论正确的是 A．一定是各边的中点 B．一定是的中点 C．,且 D．四边形是平行四边形或梯形 7．若复数（为虚数单位），则下列结论正确的是（    ） A． B．的虚部为 C．为纯虚数 D． 8．若复数z满足|z﹣2i|＝1（i为虚数单位），则|z|的最小值为 . 9．已知平面内三个不同的点、、，则“、、是一个三角形的三个顶点”是“”的 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”） 10．某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员，根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，…，.    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在，，的公司职员中抽取10人，则评分在内的职员应抽取多少人？ 高中数学暑假作业10 1．在内使的值最小的点是的 A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2．已知圆锥的高为，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（    ） A． B． C． D． 3．已知的三个顶点及平面内一点满足，下列结论中正确的是（    ） A．在的内部 B．在的边上 C．在的边上 D．在的外部 4．为了调查北京市2015年家庭收入情况，在该问题中总体是(　　) A．北京市 B．北京市所有家庭的收入 C．北京市的所有人口 D．北京市的工薪阶层 5．已知复数是纯虚数，则实数（    ） A．3 B． C． D． 6．若向量满足，，则（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 7．复数满足，则下列说法正确的是（ ） A．的实部为3 B．的虚部为2 C． D． 8．同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率为 . 9．已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的体积为 . 10．如图，在四棱锥中，ABCD为菱形，平面ABCD，连接AC，BD交于点O，，，E是棱PC上的动点，连接DE. （1）求证：平面平面； （2）当面积的最小值是4时，求此时点E到底面ABCD的距离. 高中数学暑假作业11 1．满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（   ） A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆 2．已知直线及三个互不重合的平面，，，下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是． A．130 B．140 C．150 D．160 4．已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 5．已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部是2 B． C． D．对应的点在第二象限 7．如图，正方体中，点E，F，G，H，I分别为棱AB，CD，BC，，AD的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 8．若l为一条直线，，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①，，则；②，，则；③，，则. 其中正确的命题有 .（填序号） 9．在所有经过正方体的任意两个顶点的直线中任取条，求这条直线恰是两两异面，则的最大值为 . 10．已知复数（为虚数单位） （1）若，求复数的共轭复数； （2）若是关于的方程一个虚根，求实数的值． 高中数学暑假作业12 1．如图所示，已知正方体的棱长为1，则（    ）． A． B．2 C． D．1 2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（    ） A．DD1 B．A1D1 C．C1D1 D．A1D 3．已知正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，且，若三棱锥体积为，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知中，为的中点，，若，则 A． B． C． D． 5．在四边形中，且，则四边形的形状一定是 A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 6．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（    ） A．该截角四面体的内切球体积 B．该截角四面体的体积为 C．该截角四面体的外接球表面积为 D．外接圆的面积为 7．如图，是以为直角顶点的等腰直角三角形，为线段的中点，是的中点，与分别是以､为底边的等边三角形，现将与分别沿与向上折起(如图)，则在翻折的过程中下列结论可能正确的是（    ） A．直线直线 B．直线直线 C．平面平面 D．直线直线 8．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表： 医生人数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z 若派出医生不超过2人的概率为0.56，则 ，若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，则 . 9．在中，点D，E，F分别是边，，的中点，则 . 10．已知，，，求在方向上的投影与数量投影． 高中数学暑假作业13 1．如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正数），则的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 3．某班有名学生，在一次考试中统计出平均分数为，方差为，后来发现有名同学的成绩有误，甲实得分却记为分，乙实得分却记为分，更正后平均分和方差分别是 A．， B．， C．， D．， 4．下列说法中正确的是（　　） A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 5．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（    ） A． B． C． D． 6．对于非零向量，，，下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则在上的投影向量为（是与方向相同的单位向量） C． D． 7．2021年2月28日国家统计局发布了《2020年国民经济和社会发展统计公报》，全面展示了一年来全国人民顽强奋斗取得的令世界瞩目、可载入史册的伟大成就，来之不易，催人奋进．如图是2016-2020年国内生产总值（单位：亿元）及其增长速度走势图和三次产业增加值占国内生产总值比重图，据图可知下列说法正确的是（    ） A．2020年国内生产总值突破百万亿大关 B．2016-2020年国内生产总值逐年增长，但增长速度逐年降低 C．2016-2020年第二产业增加值占国内生产总值的比重整体呈下降趋势 D．2016-2020年第三产业增加值逐年增长 8．已知圆锥的母线长为，过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为，则此圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是 ． 9．一纤夫用牵绳拉船沿直线前进60m，若牵绳与船前进方向的夹角为，人的拉力的大小为50N，则纤夫对船所做的功为 J. 10．某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则没有加分资格；若考核为优秀，获得分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核结果相互独立． (1)求在这次考核中，甲、乙两名同学至少有一人获得加分资格的概率； (2)求在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为分的概率． 高中数学暑假作业14 1．如图，是圆台上底面的圆心，，是圆台下底面圆周上的两个动点，是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为，．若，平面，且的最小值为6，则该圆台的体积为（   ）    A． B． C． D． 2．在三棱柱中，E，F分别是AB，AC的中点，平面把该三棱柱分成体积为，的两部分，则等于 A． B． C． D． 3．如图，点分别是正方体的面对角线的中点，则异面直线和所成的角为 A． B． C． D．    4．有一个无盖正三棱柱铁质容器，棱长均为6，将容器注满水.现在容器上口放置一个铁球，若球体没入水中部分的深度恰为四分之一直径，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是 A． B． C． D． 6．人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平．下图为2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（    ） A．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增 B．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增 C．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差小 D．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元 7．从正方体的8个顶点中任选4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空间几何体．这个空间几何体可能是（    ） A．每个面都是直角三角形的四面体； B．每个面都是等边三角形的四面体； C．每个面都是全等的直角三角形的四面体； D．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体． 8．已知，则与方向相同的单位向量是 9．利用简单随机抽样的方法，先从一批共n个产品中抽取15个产品做好标记放回去，再从这n个产品中抽20个产品，其中被标记的产品个数为5，则 ． 10．张华练习投篮10次，观察张华投篮命中的次数，写出对应的样本空间，并用集合表示出事件A：投篮命中的次数不少于7次. 高中数学暑假作业15 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是坐标平面上的三点，其坐标分别为，则的形状为 A．直角（非等腰）三角形 B．等腰（非等边）三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均不正确 3．若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（    ） A．不可以表示平面内的所有向量； B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对； C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使； D．若存在实数使，则. 4．某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为(　　) A． B． C． D． 5．在中，，，，.若，则（    ） A． B． C． D． 6．若复数z满足，则（    ） A．z的实部是2 B．z的虚部是 C． D．z的虚部是2 7．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（    ） A．该半正多面体的体积为 B．该半正多面体过三点的截面面积为 C．该半正多面体外接球的表面积为 D．该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式 8．在三棱锥中，平面ABC，，，则点到平面的距离等于 . 9．已知向量＝(1，1)，＝(1，－1)，＝(cos α， sin α)(α∈R)，实数m，n满足m＋n＝，则(m－3)2＋n2的最大值为 ． 10．已知，，． (1)若点A、B、C不能构成三角形，求m的值； (2)若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，求m的值． 高中数学暑假作业16 1．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 2．若为非零实数,则以下四个命题都成立:①②③若则④若则则对于任意非零复数上述命题中仍为真命题的个数为个. A．1 B．2 C．3 D．4 3．在普通高中新课程改革中，某地实施”3＋1＋2“选课方案，该方案中的“2”该指的是政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 4．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（    ） A． B．2 C． D． 5．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，点M在线段PC上，，若平面MQB，则t等于（    ） A． B． C． D． 6．现有8张卡片，有3张分别印有“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”，其余5张印有“谢谢惠顾”．甲从中任选1张，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲获得二等奖”，事件D表示“甲获得三等奖”，事件E表示“甲中奖”，则下列说法正确的是（    ） A．事件A和事件E是对立事件 B．事件B和事件C是互斥事件 C． D． 7．下列说法中正确的是（    ） A．数据2，4，6，8的中位数是4，6 B．数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4 C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数 D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是 8．期末考试结束，高二（1）班班主任张老师从班里的40名学生中，随机抽取10名学生的语文和数学成绩进行抽样分析，研究学生偏科现象．将10名学生编号为1、2、3、…、10，再将他们的两科成绩（单位：分）绘成如图所示的折线图．从两科成绩均超过70分的学生中随机抽取2人进行访谈，则这2人中恰有1人是语文成绩高于数学成绩的概率为 ． 9．轴截面是边长为2的正三角形的圆锥的侧面积 10．已知复数和． (1)在复平面内作出与这两个复数对应的向量和； (2)写出向量和表示的复数． 高中数学暑假作业17 1．如图，在正方体中，M，N，P，Q分别是线段，，，BC的中点，给出下面四个结论： ①平面APC；②平面；③A，P，M三点共线；④平面平面ABCD，其中正确的序号为（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 2．若非零向量满足，且，则与的夹角的余弦值为 A． B． C． D． 3．中和殿是故宫外朝三大殿之一.位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°.若取，则下列结论不正确的是（    ） A．正四棱锥的底面边长为24m B．正四棱锥的高为 C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥的侧面积为 4．在钝角中，内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四面体中，是中点，是中点.在线段上存在一点，使得平面，则的值为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 6．在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 7．关于复数 (i为虚数单位)，下列说法正确的是（ ） A．|z|＝1 B．z＋z2＝－1 C．z3＝－1 D．(z＋1)3＝i 8．已知命题“若，，则”是假命题，则 . 9．如图，在长方体中，写出满足条件的一个平面： （1）与平面平行的平面为 ； （2）与平面平行的平面为 ； （3）与平面平行的平面为 ． 10．设是两个非零向量，若与垂直，与垂直，求与的夹角. 高中数学暑假作业18 1．已知某班男女同学人数之比为，该班所有同学进行毽球（踢毽子）比赛，比赛规则如下：每个同学用脚踢起毽球，在毽球落地前用脚接住并踢起，脚没有接到毽球则比赛结束．现记录了每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为21，方差为17，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为12，方差为17，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为（    ） A．16，38 B．16，37 C．17，38 D．17，37 2．给出下列四个命题：①若，则；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若,，则；④的充要条件是且.其中正确命题的序号是（    ） A．②③ B．①② C．③④ D．②④ 3．四棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为的正方形，若四棱锥体积的最大值为54，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为（    ） A．1∶2 B．1∶1 C．1∶4 D．1∶3 6．（多选）空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数越小，表明空气质量越好，空气质量指数与空气质量的对应关系如表所示，图1是某市2019年2月的空气质量指数的频率分布直方图，图2是2020年2月的空气质量指数的频率分布直方图一样，则下列叙述正确的是（ ） 空气质量指数（AQI） 优（） 良（） 轻度污染（） 中度污染（） 重度污染（） 严重污染（） A．该市2020年2月的空气质量为优的频率为0.032 B．该市2020年2月的空气质量整体上优于2019年2月的空气质量 C．该市2020年2月的空气质量指数的中位数小于2019年2月的空气质量指数的中位数 D．该市2020年2月的空气质量指数的方差大于2019年2月的空气质量指数的方差 7．正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，的中点则（    ） A．点和点D到平面AEF的距离相等 B．直线与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．二面角为锐二面角 8．学习正弦定理的扩充定理在解斜三角形中有何用途？ 9．已知M是所在平面内一点，若，且，设的面积为，的面积为，则 ． 10．某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分别五个评分标准：1分(很不满意)；2分(不满意)；3分(一般)；4分(满意)；5分(很满意)，其统计结果如下表(住宿满意度为x，餐饮满意度为y)． 餐饮满意度y 人数 住宿满意度x 1 2 3 4 5 1 1 1 2 1 0 2 2 1 3 2 1 3 1 2 5 3 4 4 0 3 5 4 3 5 0 0 1 2 3 （1）求“住宿满意度”分数的平均数； （2）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差； 高中数学暑假作业19 1．复数满足，则（    ） A． B． C．2 D． 2．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（    ）    A． B． C． D． 3．公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 4．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，若在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 6．若向量，满足，且，，则下列命题正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在方向上的投影数量为1 7．设，非零向量，，则（    ）. A．若，则 B．若，则 C．存在，使 D．若，则 8．已知，，，求 ． 9．已知是不同的直线，是不同的平面.给出下列命题：（1）若，则或；（2）若，则；（3）若不垂直于，则不可能垂直于内的无数条直线；（4）若且，则且；（5）若为异面直线，则存在平面过且使.其中正确的命题序号是 . 10．如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为和物体，另在两滑轮中间的一段绳子的点O处悬挂质量为m的另一物体，已知，且系统保持平衡（滑轮半径、绳子质量均忽略不计）．求证： （1）为定值； （2）． 高中数学暑假作业20 1．在正四棱锥中，，为的中点，为的中点，则从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为（    ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（    ） A． B． C． D． 4．在中，是角的对边，已知，则以下判断错误的是（    ） A．的外接圆面积是； B．； C．可能等于14； D．作关于的对称点，则的最大值是. 5．已知是平面内的一组基底，则下列四组向量中，能作为一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．下列说法中不正确的是（    ） A．所有几何体的表面都能展成平面图形 B．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 C．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么该几何体可能是棱柱 D．上､下底面是等边三角形的三棱台一定存在外接球 7．如图，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．在中，已知，，，于D，则AD的长为 ． 9．已知一组均为正整数的数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是13，8，26，8，11，8，若这组数据的平均数、中位数、众数满足，现从已知的6个数据中任意抽一个记为y，则的概率为 ． 10．某校高二年级期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩，分组统计如下表. 分组 频数 频率 3 0.03 3 0.03 37 0.37 m n 15 0.15 合计 M N (1)求出表中的值，并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率直方图； (2)若全校参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中全校成绩在90分以上的人数. 高中数学暑假作业21 1．对“小康县”的经济评价标准： ①年人均收入不小于7000元； ②年人均食品支出不大于年人均收入的35%.某县有40万人口，调查数据如下： 年人均收入(元) 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 16000 人数(万人) 6 3 5 5 6 7 5 3 则该县 A．是小康县 B．达到标准①，未达到标准②，不是小康县 C．达到标准②，未达到标准①，不是小康县 D．两个标准都未达到，不是小康县 2．设为空间两条不同的直线,为空间两个不同的平面,给出下列命题： ①若,则； ②若,则； ③若且,则； ④若且,则． 其中所有正确命题的序号是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．已知A（2，1），B（3，2），C（－1，4），则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 4．已知，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．从集合中随机地取一个数，从集合中随机地取一个数，则向量与向量垂直的概率为（    ） A． B． C． D． 6．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（    ） A．长方体中含有两个相同的等腰四面体 B．“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形 C．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到 D．三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为 7．下列说法中错误的为（    ） A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．非零向量，，满足且与同向，则 D．非零向量和，满足，则与的夹角为 8．在中，，点在上，满足，，.则的面积为 . 9．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为 . 10．已知直线a，b，c，平面α，β满足，，，，，求证：，是异面直线 高中数学暑假作业22 1．下列概率模型中，是古典概型的个数为（    ） （1）从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率； （2）从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率； （3）在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率； （4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率. A．1 B．2 C．3 D．4 2．在平面直角坐标系中，若点，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的； ②若都是单位向量，则； ③向量与相等． 则所有正确命题的序号是（    ） A．① B．③ C．①③ D．①② 4．某校高中生共有人，其中高一年级人，高二年级人，高三年级人，现采取分层抽样法抽取容量为的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（　　） A．6，12，9 B．9，9，9 C．3，9，15 D．9，12，6 5．设向量，，则与一定不是（    ） A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量 6．设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（    ） A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则不唯一确定 7．在四面体中，分别为的中点，则下列说法中正确的是（    ） A．四点共面 B． C． D．四边形为梯形 8．是的二面角内一点，到，的距离分别为1，2，则到棱的距离为 ． 9．小亮上周每天平均工作小时，若周一到周五工作小时数分别为，，，，，则它的方差最小值为 ． 10．在中，已知，且． 试判断的形状． 高中数学暑假作业23 1．已知分别为内角的对边，的面积，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，点为边的中点．记，，则（    ） A． B． C． D． 3．在桌面上有一个正四面体.任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面，称为一次操作.如图，现底面为，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面再度与桌面接触的概率为（    ） A． B． C． D． 4．复数满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．已知两平面平行，且，下列四个结论：①a与内的所有直线平行；②a与内无数条直线平行；③直线a与内任何一条直线都不垂直；④a与无公共点.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与的夹角为 7．在中，内角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，已知点D在BC边上，，，，，则△的面积为 ；AB的长是 . 9．已知向量，若，则与的夹角为 . 10．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答. （1）； （2） 高中数学暑假作业24 1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且，H，G分别为BC，CD的中点，则（    ） A．平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形 B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形 D．平面ADC，且四边形EFGH是梯形 2．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 B．以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥 C．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 D．空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球 4．从实现中华民族伟大复兴中国梦的宏伟目标来看，社会主义核心价值观是文化软实力的灵魂．构建具有强大的凝聚力、感召力的核心价值观至关重要．倡导中小学生学习践行的“富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善”这24个字，其中含有12个词，每个词的笔画数的和依次为24，10，12，19；11，17，9，16；18，17，17，16．则这12个笔画数的平均数、中位数、众数分别是（   ） A．15，16，17 B．15.5，16.5，17 C．16.5，17，16 D．17，16，16 5．下列命题中是真命题的是（    ） ①对任意两向量，，与是相反向量； ②在中，； ③在四边形中，； ④在中，. A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 6．用分层随机抽样法从某校高一年级学生的数学竞赛成绩（满分150分）中抽取一个容量为120的样本，其中男生成绩的数据有80个，女生成绩的数据有40个，将这80个男生的成绩分为6组，绘制得到如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（    ） A．男生成绩的样本数据在内的频率为0.015 B．男生成绩的样本数据的平均数为97 C．男生成绩的样本数据的第75百分位数为118 D．女生成绩的样本数据的平均数为91，则总样本的平均数为95 7．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（    ） A． B．2 C． D．5 8．已知在三棱锥中，，，平面平面，则三棱锥的外接球的体积为 ． 9．如图，S为正方形ABCD外一点，底面ABCD，则下列结论中不正确的是 ．（填序号） ①；②；③． 10．江西浮梁地大物博，山清水秀；据悉，某建筑公司在浮梁投资建设玻璃栈道､摩天轮等项目开发旅游产业，考察后觉得当地两座山之间适合建造玻璃栈道，现需要测量两山顶M，N之间的距离供日后施工需要，特请昌飞公司派直升机辅助测量，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图）.飞机测量的数据有在A处观察山顶M，N的俯角为：，在B处观察山顶M，N的俯角为；，飞机飞行的距离AB为，请问：用以上测得的数据能否计算出两山顶间的距离MN，若能，请帮助该建筑公司求出MN，结果精确到，若不能，请说明理由. （参考数据：） 高中数学暑假作业25 1．从某小区随机抽取100户居民进行月用电量调查，发现其月用电量都在50到350度之间，制作的频率分布直方图如图所示，若由该直方图得到该小区居民户用电量的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别记为，，，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，，且，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知是的中线，，以为基底表示，则（    ）    A． B． C． D． 4．已知向量,若,则 A． B． C．0 D．6 5．已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．4 D． 6．下列四个命题中为假命题的是（    ） A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B．过空间中任意三点有且仅有一个平面 C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D．通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 7．若向量满足，则（    ） A． B． C． D． 8．在棱长为2的正方体中，是的中点，过点作与平面平行的截面，则此截面的面积是 ． 9．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的余弦值为 . 10．已知侧面积为27的正三棱柱的侧棱恰好是某个圆柱的三条母线，且圆柱底面半径为2，求圆柱的表面积． 高中数学暑假作业26 1．如图所示，在四边形OABC中，OA=2，，BC=3，且，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（    ） A． B．5 C． D． 2．在正方体中，则直线与直线所成角大小为（    ） A． B． C． D． 3．已知为虚数单位，若复数，的共轭复数为，则等于（    ） A．1 B．-1 C． D． 4．已知向量，，若与共线（其中，，且），则（ ） A． B． C． D． 5．在中，点在线段上，且，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（ ） A．若z为纯虚数，则 B．若，则 C．若点M在第一象限，则 D．若为z的共轭复数且，则 7．如图，正方体中，E为AB中点，F在线段上.给出下列判断，其中正确的为（    ） A．存在点F使得平面； B．在平面内总存在与平面平行的直线； C．平面与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置无关； D．三棱锥的体积与点F的位置无关. 8．已知点，向量，若点是线段靠近点的三等分点，则点的坐标为 . 9．已知向量，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则的取值范围为 ． 10．已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若成等差数列，的面积为，求． 高中数学暑假作业27 1．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（   ） A．2π B．3π C．4π D．6π 2．向量，，若与夹角为，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量， ，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．复数是纯虚数，则实数m的值为（    ） A．5或3 B．5 C．3 D．10 5．如图，是圆的直径，是圆周上不同于的任意一点，平面，则四面体的四个面中，直角三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的有（    ） A．平面平面 B．的取值范围是 C．点P到平面的距离是定值 D． 7．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为，山脚A处的俯角为，已知，则下列选项中山的高度BC错误的是（    ）    A．700m B．640m C．600m D．560m 8．设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为 . 9．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则BD两点的距离为 m，AB两点的距离为 m． 10．如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 高中数学暑假作业28 1．若，则为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．有一个内角为的直角三角形 D．有一个内角为的等腰三角形 2．在中，内角、、的对边分别为、、，若，，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．平凉大明宝塔为甘肃省重点文物保护单位．一九八六年，省政府拨款，对宝塔进行了维修和加固，铺了楼板，做了木梯，如今的宝塔，面目全新．游客可以由木梯盘旋而上至顶层，举目四望平凉城市风光．某学生为测量平凉大明宝塔的高度，如图，选取了与平凉大明宝塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则平凉大明宝塔的高度是（    ） A．25米 B．米 C．30米 D．米 4．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A．B．C．D，满足任意两点间的直线距离为6cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（    ） 【参考数据】，，，． A．101g B．182g C．519g D．731g 5．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高（    ） A．30m B． C． D． 6．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 7．已知复数，i为虚数单位，则以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 8．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”“特斯拉全自动驾驶芯片”寒武纪云端AI芯片“思元270”赛灵思“Versal自适应计算加速平台”.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为 . 9．在矩形ABCD中，，，E为DC边上的中点，P为线段AE上的动点，设向量，则的最大值为 ． 10．为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：）的数据如下： 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 （1）画出茎叶图； （2）估计甲、乙两运动员的最大速度的均值和方差，并判断谁参加比赛更合适． 高中数学暑假作业29 1．是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．设，则下列命题中的真命题为（    ） A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 3．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 4．设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（    ） A．2 B． C． D． 5．在中， ， ， 分别为 的重心和外心，且，则 的形状是 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 6．已知向量=（2，1），，则（    ） A．若，则 B．向量在向量上的投影向量为 C．与的夹角余弦值为 D． 7．如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的为（    ） A．当时， B．当P是线段的中点时，， C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 D．的最大值为 8．在中，已知，且，则 . 9．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ． ①“至少有一个黑球”与“都是黑球”； ②“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” ③“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”； ④“至少有一个黑球”与“都是红球” 10．计算： （1）； （2）. 高中数学暑假作业30 1．设向量，满足，，则（    ） A．2 B． C． D． 2．已知四边形是边长为1的正方形，P为对角线上一点，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 3．一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为（　　） A． B．3 C．3 D． 4．已知两个非零向量，的夹角为，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，则 在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡.如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端的高度，选取与在同一水平面内的两点与（，，不在同一直线上），画一条基线，测得，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：，，，，，，则根据下列各组中的测量数据可计算出的高度的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 7．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法中正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D．与是相互独立事件 8．平均距离：假设一组数据是，，…，，用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的 作为“距离”，即作为到的“距离”.可以得到这组数据，，…，到的“平均距离”. 9．设关于x的实系数方程的两个虚根为、，则 ． 10．计算：． 高中数学暑假作业31 1．如图，已知圆中，弦的长为，圆上的点满足，那么在方向上的投影为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 3．如图所示，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，点P是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 4．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 5．若和是异面直线，和是异面直线，则与的位置关系是（    ） A． B．和异面 C．和相交 D．和平行、相交或异面 6．某校100名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成、、、、五组（成绩均在内），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．a的值为0.035 B．估计这100名学生成绩的众数是75 C．估计这100名学生成绩的平均数为78 D．估计这100名学生成绩的中位数为 7．已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（    ） A． B．，且 C． D． 8．已知非零向量 与的夹角为45°，，与方向相同的单位向量为，向量在向量上的投影向量为，则= . 9．如图所示，在四棱锥中，平面，，底面为梯形，∥，，点在棱上，若∥平面，则 . 10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且的面积为. (1)求a的值； (2)若D为BC上一点，且______，求的值. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 高中数学暑假作业32 1．设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，且，那么外接圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 2．如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ） ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 3．已知是不共线的两个向量，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是（　　） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 4．如图，在矩形中，已知，E是的中点，将沿直线翻折成，连接.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则a=（    ） A．2 B． C． D．4 5．在平行四边形中，，且，则四边形的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 6．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”如图，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，对于图，下列结论正确的是（    ） A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形 B．若，，则 C．若，则 D．若是的中点，则三角形的面积是三角形面积的倍 7．（多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若，则与的夹角为钝角 D． 8．用一个平面去截一个正方体，所得到的截面形状可能是 .①锐角三角形；②直角三角形；③矩形；④不是矩形的平行四边形；⑤菱形；⑥五边形；⑦正六边形；⑧正七边形. 9．在中，N是AC上的一点，且，P是BN上的一点，设，则实数m的值为 . 10．为了评估某校的教学水平，将抽取这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察．为了全面反映实际情况，采取以下两种抽样方式（已知该校高三年级共有10个教学班400名学生，并且每个班的学生都已经按随机方式编好了学号，假定每班人数都相同）： 方式1：从全年级10个班中任意抽取一个班，考察他们的成绩； 方式2：把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别（若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有60名，良好学生有180名，普通学生有160名），从中按比例抽取40名学生进行考察． 根据上面的叙述，试回答下列问题： (1)上面两种抽样方式各自采用何种抽取样本的方法？ (2)分别写出上面两种抽样方式各自抽取样本的步骤． 高中数学暑假作业33 1．若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 2．锐角中，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设A，B，C是三个事件，给出下列四个事件： （Ⅰ）A，B，C中至少有一个发生； （Ⅱ）A，B，C中最多有一个发生； （Ⅲ）A，B，C中至少有两个发生； （Ⅳ）A，B，C最多有两个发生； 其中相互为对立事件的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅲ和Ⅳ D．Ⅳ和Ⅰ 4．某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为 A．0.23 B．0.2 C．0.16 D．0.1 5．已知中，，，的对边分别是，，，且，，，则边上的中线的长为 A． B． C．或 D．或 6．如图，设的内角所对的边分别为，，且，若点是外一点，，则下列说法中正确的是（  ） A．的内角 B．的内角 C．四边形面积无最大值 D．四边形面积的最大值为 7．已知复数，是的共轭复数，则（    ） A． B． C．复数在复平面内所对应的点在第一象限 D． 8．已知圆锥的母线长为4cm，圆锥的底面半径为1cm，一只蚂蚁从圆锥的底面A点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程长为 cm 9．复数z满足，则复数z的模的范围是 10．如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 已知：，，． 求证：． 高中数学暑假作业34 1．已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（　　） A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆 2．在中，已知A，a，b，给出下列说法： ①若，则此三角形最多有一解； ②若，且，则此三角形为直角三角形，且； ③当，且时，此三角形有两解. 其中正确说法的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知两个问题：（1）某学校为了了解2017年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科200名考生，理科800名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．（2）从10名家长中抽取3名参加座谈会． 三种方法：Ⅰ简单随机抽样法．Ⅱ系统抽样法．Ⅲ分层抽样法．则问题（1）、（2）与方法Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ配对合理的是 A．（1）Ⅲ，（2）Ⅰ B．（1）Ⅰ，（2）Ⅱ C．（1）Ⅱ，（2）Ⅰ D．（1）Ⅲ，（2）Ⅱ 6．(多选)空间四点A，B，C，D每两点的连线长都等于，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与点Q的距离可能为（    ） A． B．a C．a D．a 7．如图，圆柱的轴截面是正方形，E在底面圆周上， ，F是垂足，G在BD上， ，则下列结论中正确的是（    ） A． B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为．D．若平面平面，则 8．已知样本：、、、、，该样本的平均数为7，样本的方差为4，且样本的数据互不相同，则样本数据中的最大值是 . 9．近期，贵州榕江“村超”火爆全网，引起足球发烧友、旅游爱好者、社会名流等的广泛关注.足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景.已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D，连接这四点构成三棱锥如图所示，顶点A在底面的射影落在内，它的体积为，其中和都是边长为6的正三角形，则该“鞠”的表面积为 . 10．将连续正整数1，2，3，，从小到大排列构成一个，为这个数的位数．例如：当时，此时为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求得表达式； (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时，的最大值． 高中数学暑假作业35 1．已知向量，.若，则m的值为 A． B．4 C．- D．-4 2．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足，，为球O的直径且，则点P到底面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．在一座尖塔的正南方地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔正东方地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为（    ） A． B． C． D． 5．体积为216的正方体中，点M是线段的中点，点N在线段上，，则正方体被平面AMN所截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 6．在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，且，则△为等边三角形 7．如图，在五面体ABCDE中，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD与四边形ABEF全等，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．若G为棱CE中点，则DF⊥平面ABG C．若AD=CD，则平面ADE⊥平面BDE D．若，则平面ADE⊥平面BCE    8．如图，在四边形中，，，点和点分别是边和的中点，延长和交的延长线于两点，则的值为 . 9．水平桌面上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面的距离是 . 10．七面体玩具是一种常见的儿童玩具．在几何学中，七面体是指由七个面组成的多面体，常见的七面体有六角锥､五角柱､正三角锥柱､Szilassi多面体等．在拓扑学中，共有34种拓扑结构明显差异的凸七面体，它们可以看作是由一个长方体经过简单切割而得到的．在如图所示的七面体中，平面 （1）在该七面体中，探究以下两个结论是否正确．若正确，给出证明；若不正确，请说明理由： ①平面； ②平面； （2）求该七面体的体积． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 高中数学暑假作业1参考答案 1．A 【分析】由计算即可得出结果. 【详解】 故选：A 2．C 【分析】根据正弦定理即得. 【详解】在中，由正弦定理， ∴，，故ABD错误，C正确. 故选：C. 3．D 【分析】根据向量的坐标运算列出关于的方程组求解即可. 【详解】因为,所以. 所以解得. 故选：D． 4．B 【分析】根据样本、样本容量、个体、总体的定义判断． 【详解】根据定义，被抽取的100名学生的数学成绩是样本． 故选：B. 5．B 【解析】根据互斥事件的定义即可判断． 【详解】将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑. 事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知， 只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件互斥． 故选：B． 6．BD 【分析】通过对频率和概率的定义的理解，即可判断各选项，从而得出答案. 【详解】解：A中，某同学投篮3次，命中2次，只能说明频率为，而不能说明概率为，故A选项错误； B中，当试验次数很多时，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5，故B选项正确； C中，只能说明大约有1806粒种子发芽，并不是定有1806粒种子发芽，故C选项错误； D中，点数大于2的概率为，故抛掷6000次点数大于2的次数大约为4000次，故D选项正确． 故选：BD． 7．ABC 【分析】利用向量平行及垂直、数量积、模的坐标运算判断向量平行、垂直，并求向量数量积、向量模的数量关系即可. 【详解】A：由知：，正确； B：，则，正确； C：，，则，正确； D：，故，错误. 故选：ABC 8． 大圆 小圆 【分析】由球的性质可得出答案. 【详解】用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面不经过球心，所得的截面称为球的小圆. 故答案为：大圆；小圆. 9．③④ 【分析】根据随机事件的概念即可逐个分析判断. 【详解】①在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现；因为硬币正面或反面朝上是随机出现的，所以该现象为随机现象； ②明天下雨；因为明天下雨或不下雨是不确定的，是随机的，所以是随机现象； ③同种电荷相互排斥；根据物理公理可知同种电荷必然相互排斥，是确定的结果，故不是随机现象； ④平面四边形的内角和是360°；根据平面几何四边形的基本性质可知，平面四边形的内角和一定是360°，是确定的，所以不是随机现象. 故选：③④. 10．比其他差数更可能出现，表格见解析. 【分析】根据题意进行填表，结合事件个数做出判断即可. 【详解】 d 基本事件（i，j） 事件个数 0 （1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6） 6 1 10 2 8 3 6 4 4 5 2 根据上表可知：比其他差数更可能出现. 高中数学暑假作业2参考答案 1．C 【分析】根据随机数表的选取方法即可直接求出结果. 【详解】按随机数表法，从第1行的第6列和第7列开始从左往右依次选取两个数字，得到的在00~29范围之内的两位数依次是09，09，02，01，19，02，11，其中09和02各重复了一次，去掉重复的数字后，前5个编号是09，02，01，19，11． 故选：C 2．C 【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积． 【详解】根据斜二测画法的原则可知，， 对应直观图的面积为， 故选：C．      3．A 【分析】由题意和正弦定理可得，与矛盾，进而得出结果. 【详解】在中，， 由正弦定理可得：， 这与矛盾， 所以满足此条件的三角形不存在，即个数为0. 故选：A 4．C 【分析】求出圆柱上部的体积，利用球的体积公式转化求解即可． 【详解】解：小球放入水中后直接沉入容器底部，若使该容器内的水不溢出， 则球的最大体积与圆柱上部的体积相等，小球半径， 可得，解得． 故选：． 5．C 【解析】利用线面垂直的性质定理进行判断. 【详解】由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线平面，直线平面时，直线与直线平行. 故选：C. 6．BCD 【分析】根据余弦定理对各个选项进行判断. 【详解】在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，故A错误； 余弦定理反映了任意三角形中边角的关系，它适用于任意三角形，故B正确； 余弦定理可以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第三边的问题，故C正确； 当夹角为时，余弦定理就变成了勾股定理，故D正确. 故选：BCD. 7．AB 【分析】根据空间位置关系的判定即空间角的定义直接判断各选项. 【详解】A选项，为正方形，，又平面，，又，平面，，A选项正确； B选项，为正方形，，又平面，且平面，平面，B选项正确； C选项，底面，与平面所成角是，C选项错误； D选项，为正方形，则与所成的角，又底面，则，所以与所成的角，D选项错误； 故选：AB. 8． 【分析】找一条路径，根据所给关系，向和进行转化，即可得解. 【详解】. 故答案为：. 9． 【分析】略 【详解】略 10． 【分析】设，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. 高中数学暑假作业3参考答案 1．B 【详解】由题．又对应复平面的点在第四象限，可知，解得．故本题答案选． 2．A 【分析】根据复数的几何意义设复数的代数形式，由复数的模的计算公式列方程求出复数. 【详解】设，∵，∴，解得，∴， 故选：A. 3．C 【分析】求得对应的坐标，由此得出正确选项. 【详解】复数对应的坐标为，在第三象限. 故选：C. 4．D 【分析】利用平面图形的定义以及公理2的推论可判断ABC三个选项，由两条相交直线确定一个平面，分析四条直线相交的情况，可求出最多可以确定平面的个数. 【详解】四边相等的四边形可以为平面图形，也可以为空间四边形，故A为假命题； 空间一条直线与直线外一点可以确定一个平面，故B为假命题； 平面是无限延展的，所以平面不计算面积，故C为假命题； 相交于同一点的四条直线，当任三条直线不共面时，可以确定6个平面，故D为真命题． 故选：D． 5．B 【分析】根据抽取的样本具有代表性，即抽取的样本是随机的，逐个分析判断 【详解】A中，样本缺少代表性(第1页的字数一般较少)；B中，抽样保证了随机性原则，样本具有代表性；C中，城市中学与农村中学的规模往往不同，学生崇拜的人物也未必在所列的名单之中，这些都会影响数据的代表性；D中，总体数量很大，而样本容量太少，不足以体现总体特征. 故选：B 6．BD 【分析】选项AC的结果为,所以选项AC错误；选项BD的结果为,所以该选项正确. 【详解】 如图所示， A. ,所以该选项错误； B. ,所以该选项正确； C. ,所以该选项错误； D. ,所以该选项正确. 故选：BD 7．ACD 【分析】向量加、减法的坐标运算逐项排除可得答案． 【详解】对于A，若，，则，A错误； 对于B，若，，则，B正确； 对于C，若，，则，C错误； 对于D，若，，则，D错误. 故选：ACD 8． 【分析】根据概率的概念，计算出每人入选的概率. 【详解】根据概率的概念可知，每人入选的概率为.故答案为： 【点睛】本小题主要考查概率的理解，属于基础题. 9． 【解析】由的周期性，计算出，再求出z，求出. 【详解】因为，所以，所以， 所以故答案为：. 【点睛】复数的计算常见题型： (1) 复数的四则运算直接利用四则运算法则； (2) 求共轭复数是实部不变，虚部相反； (3) 复数的模的计算直接根据模的定义即可. 10．作图见详解 【分析】利用斜二测画法作出直观图即可. 【详解】在正中，取所在直线为轴，以为原点，以过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 如图，过点作轴，垂足为. 画出相应的轴与轴，两轴相交于点，使， 在轴上取，在轴上取， 过点作轴的平行线，在平行线上作， 连接. 擦去辅助线，轴与轴，直线，即得正的直观图. 在正中，取所在直线为轴，以中点O为原点，以过点O且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 画出相应的轴与轴，两轴相交于点，使， 在轴上取，在轴上取， 连接. 擦去轴与轴，即得正的直观图. 在正中，取所在直线为轴，以中点为原点，以过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 画出相应的轴与轴，两轴相交于点，使， 在轴上取， 连接, 擦去轴与轴，即得正的直观图. 高中数学暑假作业4参考答案 1．C 【详解】圆的半径r＝||＝||＝||不一定为1，故选C. 2．D 【分析】利用概率的性质求解即可. 【详解】由概率的性质得无论实验多少次，概率始终不变， 故第2021次出现正面朝上的概率是，故D正确. 故选：D 3．D 【分析】由题意可求得，可解决此题． 【详解】数据，，，的平均数为4，， 数据，，，的平均数为， 故选：． 4．B 【详解】，∴，选B． 5．A 【分析】作出两异面直线所成的角，然后由余弦定理求解． 【详解】在正四棱柱中， 则异面直线与所成角为或其补角， 在中，，， ． 所以异面直线与所成角的余弦值为 故选：A． 6．ABC 【分析】ABC均可以举出反例，D选项是真命题. 【详解】对于选项A，当底面不是矩形的时候，直四棱柱非长方体，A错误； 对于选项B，根据棱柱的定义，显然不成立，如图，满足要求，但不是棱柱，B错误； 对于选项C，可以是两对称面是矩形的平行六面体，C错误； D选项，正四棱柱是平行六面体，D正确． 故选：ABC． 7．ABD 【分析】根据图示，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由图象可得，5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加，故A正确； 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓，故B正确； 设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C错误； 2025年开始信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势，故D正确. 故选：ABD. 8．-2或-5 【分析】根据数轴上两点距离公式，列方程求解即可. 【详解】解：由题知， 则或. 故答案为-2或-5. 【点睛】本题考查数轴上两点距离公式，是基础题. 9．③ 【解析】根据随机数法的定义进行判断即可. 【详解】解析:只有编号时数字位数相同,才能达到随机等可能抽样,所以①不恰当. ②③的编号位数相同,都可以采用随机数表法.但②中号码是三位数,读数费时,所以③最恰当. 故答案为：③ 【点睛】本题考查了随机数表的使用，属于基础题. 10．证明见解析 【分析】根据面面平行的判定定理进行证明. 【详解】由于分别是的中点， 所以是三角形的中位线， 所以， 由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于分别是的中点， 所以是三角形的中位线， 所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于， 所以平面PAB//平面EFG. 高中数学暑假作业5参考答案 1．C 【分析】由题意可知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为，根据条件可得关于、、、的方程组，联立消去，即可得到结论. 【详解】解：由题意可知，该四棱台为正四棱台，如图：过顶点作底面于,由正四棱台的特征可知，在底面对角线上，根据四边形为等腰梯形，所以， 过 作，连接,则， 由于底面，底面，所以,又，平面, 所以平面, 平面, 故 ,因此是侧面梯形的高， 设侧面梯形的高为，所以 ，    ，消去得， ∴，可得， ∴. 故选：C. 2．B 【分析】作出辅助线，找到二面角的平面角，AB与l所成的角及AB与β所成的角，利用求出答案. 【详解】如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC， 因为，所以⊥， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 则为二面角的平面角，即， 为AB与l所成的角，， 设AB与所成的角为θ，则. 由图得. 故选：B 3．C 【分析】根据空间线面平行、垂直的判定与性质，注意利用线线平行（垂直）线面（垂直）面面（垂直）转化解决． 【详解】，，故①正确； ，，与的位置关系是平行或相交，②不正确； ，，过做平面，，    则，，，又，，故③正确； ，，过做平面，，    则，又，，故④正确； 故选：C． 4．D 【分析】根据圆锥的几何特征和定义，分析四个答案的正误即可得到答案 【详解】直角三角形绕其斜边旋转形成的是两个圆锥组成的组合体，故错误； 等边三角形绕其一边旋转组成的是两个圆锥组成的组合体，故错误； 平面截圆锥所得的图形是圆或椭圆或抛物线或双曲线的一支，故错误； 圆锥的母线均相等，故过圆锥顶点的截面图形是等腰三角形，故正确， 故选 【点睛】本题考查的是图形的旋转，以及旋转后的图形的样式，要求学生有一定的空间思维能力，考查了圆锥的几何特征和定义，属于基础题． 5．A 【分析】采用数形结合，根据，可得平面，然后找到直线与平面所成的角，最后计算，可得结果. 【详解】如图，连接，交于点，连接，    在正四棱锥中， 为正四棱锥的高. 根据底面积为6，可得. 根据棱锥的体积公式，可得. 因为上底面，所以. 又，，则平面. 则为直线与平面所成的角. 在中，因为，， 所以，. 在中，因为， 所以，所以， 即直线与平面所成角为. 故选：A 【点睛】本题主要考查线面角的概念与计算，求直线与平面所成的角的大小，可先将直线在平面内的射影作出，从而得到直线与平面所成的角，再进一步求解，属基础题 6．BD 【分析】根据平面线向量加法和减法的运算法则逐一判断即可. 【详解】对于选项A：，选项A不正确： 对于选项B：，选项B正确； 对于选项C：，选项C不正确； 对于选项D：，选项D正确. 故选：BD. 7．AD 【分析】根据简单随机抽样的定义即可求解. 【详解】对于A,简单随机抽样的总体个数是有限个，所以A不是简单随机抽样， 对于B，一次性抽取与逐个不放回抽取等价，所以B是简单随机抽样， 对于D, 取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里，这违背了等可能性，所以不是简单随机抽样， 对于C，符合简单随机抽样， 故选：AD 8． 大 长 【分析】根据正弦定理推导即可. 【详解】因为在三角形中,大角对大边,大边对大角, 不妨设在中,角所对边为, 为外接圆半径, 若, 根据正弦定理:, 则. 故答案为:大;长;;. 9． 事件A中的样本点个数 样本空间中的样本点个数 【分析】略 【详解】略 10．(1)25 (2)4，0.016 【分析】（1）依据分数在内的人数和频率即可求得全体女生的人数； （2）先求得分数在之间的女生人数，再计算频率分布直方图中对应的矩形的高． 【详解】（1）由茎叶图知，分数在上的频数为2， 由频率分布直方图知，分数在上的频率为， 所以全体女生人数为（人）． （2）茎叶图中可见部分共有21人，所以分数在上的女生人数为， 所以分数在上的频率为， 所以频率分布直方图中对应的矩形高为． 高中数学暑假作业6参考答案 1．A 【解析】可由，算得,由，算得,由行驶时间和速度算得，再由余弦定理解出. 【详解】由题意可得，， ，，， 则，. 因为，所以由余弦定理可知，. 故选：A. 【点睛】解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 2．D 【解析】求出总的报名种数，再求出所报项目不同的报名种数，根据古典概型计算即可. 【详解】甲、乙分别从“帮扶困难家庭”、“关怀老人”、“参加社区义务劳动”、“宣传科学文化法律知识”这四个项目中随机选一项目报名共有种不同的方法， 其中两名党员所报项目不同共有种不同的方法， 由古典概型可知，, 故选：D 3．D 【分析】计算出质量的指标值在内的频率，由频率、频数以及总容量三者之间的关系额可求得的值，可判断D选项；然后将的值乘以对应组的频率，可判断ABC选项. 【详解】质量的指标值在内的频率为，所以，， 所以，质量的指标值在中的抽取的数量为个， 质量的指标值在中的抽取的数量为个， 质量的指标值在的抽取的数量为个，ABC错，D对. 故选：D. 4．D 【解析】运用面面平行的判定定理和面面的位置关系等知识对四个选项进行判定. 【详解】对于,由面面平行的判定定理:在一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,所以平面内有一条直线与平面平行不能得出平面与平面平行,同时两个平面可能相交,故排除. 对于,由面面平行的判定定理:在一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行, 选项中平面内有两条直线与平面平行,不是两条相交直线,而两条直线有可能是平行线,这样两个面相交时也存在这种情况,所以选项不正确,故排除. 对于,由面面平行的判定定理:在一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,选项中只有一条直线,故错误,同时当这两个面相交时也可能存在一条线与另一个平面内的一条线平行,故排除. 对于,平面与平面不相交可以得出平面与平面平行,因为两个平面(不重合)的位置关系只有相交与平行两种,又因为两个平面不相交,所以这两个平面必定平行,所以选项正确. 故选: 【点睛】本题考查了运用面面平行的判定定理和面面的位置关系来判定语句是否正确,需要熟练记忆面面平行的判定定理,并能灵活运用,本题较为简单,同时也可以举反例说明问题. 5．C 【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，化简得到,结合题设条件，得到，即可求解. 【详解】在三角形中，，， 可得, 因为，所以，所以. 故选：C.    6．AB 【解析】根据向量的线性表示，结合向量模的计算，可得结果. 【详解】由题可得： ， . ， . 故选：AB. 【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，属基础题. 7．CD 【解析】取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，取，则，A选项错误； 对于B选项，复数的虚部为，B选项错误； 对于C选项，若，则，，C选项正确； 对于D选项，，D选项正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 8． 无数个 有且只有一个 没有 【分析】略. 【详解】略. 9．②③ 【解析】由复数的类型、复数的运算及虚数不能比较大小即可得解. 【详解】解：对于复数，当且时为纯虚数. 在①中，若，则不是纯虚数，故①是假命题. 显然②是真命题. 因为，且，所以， 故③是真命题. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了复数的类型，重点考查了复数的运算，属基础题. 10．（1） ；（2） ，． 【分析】（1）利用向量的加减、数乘运算化简即可. （2）联立题设向量的线性关系式，可得关于的线性表达式，进而求关于的线性表达式. 【详解】（1）． （2）由①，②， ∴①+②，得，代入①得，即． ∴，． 高中数学暑假作业7参考答案 1．B 【分析】根据题意，作图，根据勾股定理和锐角三角函数，分别计算出长方形的长宽高，进而利用长方体的对角线的计算公式，直接计算可得答案 【详解】 由已知得，，，根据勾股定理和锐角三角函数，在直角三角形中，得，，在直角三角形中，由，可得，，则此长方体的对角线长为. 故选：B 2．B 【分析】由平均数和方差的计算公式可判断. 【详解】某位同学参加歌唱比赛，有8位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3． 又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为，方差为s2， 则，． 故选B． 【点睛】本题考查平均数、方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．D 【分析】根据共轭复数的概念，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】设复数，则其共轭复数， 对于A：，不一定为0，故A错误； 对于B：，不一定为0，故B错误； 对于D：，充分性成立， 若，则，根据共轭复数的概念，可得互为共轭复数，故D正确. 对于C：若，，则为实数，当时，与不是共轭复数，故C错误； 故选：D 4．D 【详解】取 中点 ,则由 得 ,所以, 在线段上,因此 ，选D. 5．C 【分析】设球的半径为，由题意3个球的体积与水的体积之和等于圆柱体积，列出方程即可求得球的半径. 【详解】设球的半径为，则由题意可得， 即，解得，所以球的表面积为． 故选: C. 6．BD 【分析】计算各事件概率，再根据独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】两次取出的球的数字之和为8，有共5种情况， 所以；两次取出的球的数字之和为7，有共6种情况， 所以；； 对于A，，故甲与丙不相互独立，错误； 对于B，，故甲与丁相互独立，正确； 对于C，，故丙与丁不相互独立，错误. 对于D，，故乙与丙不相互独立，正确； 故选：BD. 7．AD 【分析】利用向量的有关概念判断选项. 【详解】向量的长度与向量的长度都等于线段AB的长度，故A选项正确；有向线段是向量的几何表示，两个并不相同，故B选项错误；向量不能比较大小，故C选项错误；向量的模就是有向线段的长度，可以比较大小，故D选项正确. 故选：AD 8． 【分析】根据表格，计算出总共等待的时间，再求平均数即可. 【详解】解：根据题意，总共需要等待：， 共有病人人， 故病人候诊时间的平均数为：， 故答案为： 【点睛】本题考查利用频数分布表计算平均数，是基础题. 9． 【分析】直接运用平面向量的混合运算求解; 【详解】由，得 即 故答案为： 10．(1)随机事件 (2)不可能事件 (3)随机事件 (4)必然事件 (5)不可能事件 (6)必然事件 (7)随机事件 (8)随机事件 【分析】根据随机事件､必然事件或不可能事件的概念直接判断. 【详解】（1）任取3条线段，这3条线段恰好能组成直角三角形，是随机事件； （2）任取1个正方体的3个顶点，这3个顶点不共面，是不可能事件； （3）从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点，是随机事件； （4）把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5，是必然事件； （5）实数a，b不都为0，但，是不可能事件； （6）汽车排放尾气会污染环境，是必然事件； （7）明天早晨有雾，是随机事件； （8）明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温，是随机事件. 高中数学暑假作业8参考答案 1．A 【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求解即可. 【详解】因为，所以， 即，所以， 则. 故选：A. 2．A 【分析】利用复数除法运算求出复数z即可求出. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 3．B 【解析】利用，求得点坐标即，由此求得 【详解】设,,,,,,∵四边形为平行四边形,,∴复数,. 故选：B 【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查共轭复数的知识，属于基础题. 4．D 【解析】根据总体的特征，考虑用分层抽样，按照分层抽样方法的进行判断即可. 【详解】解析:因为总体是由差异明显的三部分组成,所以考虑用分层抽样. 因为总人数为,样本容量为36, 由于按抽样,无法得到整数解, 因此考虑先剔除1人,将抽样比变为. 若从老年人中随机地剔除1人,则老年人应抽取(人),中年人应抽取(人),青年人应抽取(人),从而组成容量为36的样本. 故选：D 【点睛】本题考查了分层抽样的方法，属于基础题. 5．B 【分析】由平面向量平行的充要条件即可得解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 6．ABD 【分析】根据向量的线性运算法则，逐项运算、化简，即可求解. 【详解】对于A中，，所以A符合题意； 对于B中，， 所以B符合题意； 对于C中，，所以C不符合题意； 对于D中，，所以D符合题意. 故选：ABD. 7．AD 【分析】根据向量点积运算公式将选项中的向量点积展开，再由向量点积的几何意义得到结果即可. 【详解】对于A选项，，根据向量的几何意义得到 ，故选项正确； 对于B选项，，由向量的几何意义得到 ，故选项错误； 对于C选项，，故选项错误； 对于D选项， ， ，故选项正确； 故选：AD 8．④ 【分析】利用棱锥、棱柱的定义即可判断出． 【详解】解：①．多面体至少有四个面（三棱锥），正确． ②．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形，正确 ③．长方体、正方体都是棱柱，正确 ④．三棱柱的侧面为平行四边形，不是三角形，因此不正确． 故答案为④． 【点睛】本题考查了棱锥、棱柱的定义，考查了推理能力与空间想象能力，属于中档题． 9．2 【解析】首先根据正弦定理得出2r＝＝2，然后利用正弦定理将所求的式子转化成，即可求出结果． 【详解】由正弦定理可得2r＝，（r为外接圆半径）； 则， 故答案为：2． 【点睛】本题考查正弦定理的应用，求出2r的值，是解题的关键． 10．(1)或4． (2)或． 【分析】（1）根据已知得出实部和虚部进而根据点在虚轴上列方程求解； （2）点在二四象限列不等式求解. 【详解】（1）复数的实部为， 虚部为． 由题意得，解得或4． （2）由题意，，或． 高中数学暑假作业9参考答案 1．C 【分析】根据事件的定义求解. 【详解】①足球运动员点球命中，是随机的，故是随机事件； ②在自然数集中任取一个数为偶数，是随机的，故是随机事件； ③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；是必然的，故是必然事件； ④在洪水到来时，河流水位下降，是不可能的，故是不可能事件； ⑤任意两个奇数之和必为偶数，是必然的，故是必然事件； ⑥任意两个奇数之和为奇数，是不可能的，故是不可能事件. 故选：C 【点睛】本题主要考查事件的分类，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 2．C 【分析】根据相互独立事件的定义以及性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,由于是独立事件，故，A正确， 对于B，由于是独立事件，则也是相互独立事件，故，B正确， 对于C，,故由于不一定为0，故C错误， 对于D, 由于是独立事件，则也是相互独立事件，,D正确， 故选：C 3．A 【分析】设，根据复数相等求出，即可判断. 【详解】设，则，代入 可得， 即，解得，故， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查复数相等求参数，以及判断复数对应的点的象限，属于基础题. 4．D 【分析】设（），则由题意可得，由此可知在如图所示有阴影上，而表示到点的距离，结合图形求解即可 【详解】解：设（），则， 因为， 所以， 所以在如图所示有阴影上， 因为表示到点的距离，而到的距离为，大圆的半径为， 所以的最大值为， 故选：D 5．A 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可； 【详解】解：因为，所以复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限. 故选：A 6．CD 【解析】根据线面平行的性质定理即可得解. 【详解】解：由平面,所以由线面平行的性质定理,得,,则,且,且,四边形是平行四边形或梯形. 故选：. 【点睛】本题考查线面平行的性质定理的应用，属于基础题. 7．ACD 【分析】由的幂运算的周期性可求得；根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定义依次判断各个选项即可. 【详解】； 对于A，，A正确； 对于B，由虚部定义知：的虚部为，B错误； 对于C，为纯虚数，C正确； 对于D，由共轭复数定义知：，D正确. 故选：ACD. 8．1 【分析】设，由复数的模的计算公式得到的方程，将化为关于y的函数表达式，根据y的取值范围求得的范围. 【详解】设， ∵， ∴， ∴， ∴. 则. 当时取等号. 故答案为：1. 9．充分不必要 【分析】利用向量加法的三角形法则结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】充分性：若、、是一个三角形的三个顶点，由平面向量加法的三角形法则可得出，充分性成立； 必要性：若、、三点共线，则成立，此时、、不能构成三角形，必要性不成立. 因此，“、、是一个三角形的三个顶点”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 10．(1) (2)5人 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1可得a的值； （2）利用频率分布直方图可确定抽样比，即可计算出相应人数. 【详解】（1）由， 解得. （2）由频率分布直方图可知， 评分在，，内的职员人数之比为， 所以评分在内的职员应抽取（人）. 高中数学暑假作业10参考答案 1．D 【解析】令,,设,则,,于是，整理化简当时取得最小值，进而可得，即可得出选项. 【详解】令,,设,则,, 于是 . 所以当时,最小, 此时, 则点为的重心. 故选：D. 【点睛】本题考查了向量的加、减法的几何运算以及三角形重心的向量表示，属于基础题. 2．D 【分析】由圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式直接列式计算即可得出答案. 【详解】设圆锥的母线为，因为圆锥的高为，底面半径为，所以； 由圆锥的侧面展开图是扇形，故圆锥的展开图的面积是. 故选：D. 【点睛】该题考查了圆锥侧面展开图，以及扇形的面积公式，属于基础题目. 3．C 【分析】将化简，可得，即可选出答案. 【详解】因为 所以 即， 所以点为中点. 故选：C. 4．B 【分析】本题考查的是确定总体，解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”．我们在区分总体、个体、样本这三个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本． 【详解】本题考查的对象是北京市2015年家庭收入情况， ∴总体是北京市所有家庭的收入， 故选：B 5．A 【分析】由复数的乘除运算化简，再根据纯虚数的定义即可求解. 【详解】解：∵是纯虚数， ∴解得. 故选:A. 6．BC 【分析】根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，求出，即可判断D. 【详解】对于A：因为，， 所以，所以，故A错误； 对于B：设与的夹角为，则，又，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，且， 所以在上的投影向量为，故D错误； 故选：BC 7．BD 【分析】根据复数的四则运算可得，即可对选项进行逐个判断得出答案. 【详解】由于， 可得,即选项D正确； 由得的实部为-3，虚部为2，故A错误，B正确； 由共轭复数的定义可知，故C错误. 故选：BD. 8． 【分析】先列出随机试验的样本空间，确定基本事件总数，事件向上的点数之和为5所包含的基本事件数，由古典概型概率公式求出向上的点数之和为5的概率． 【详解】随机试验连续抛掷两枚骰子的样本空间包含下列基本事件：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件，向上的点数之和为5包含的基本事件有4个，分别为： （1，4），（4，1），（2，3），（3，2）， 向上的点数之和为5的概率． 故答案为： 9． 【分析】根据题意，列出方程求得上，下底面半径以及高，再由圆台的体积公式，即可得到结果. 【详解】    设上底面半径为，则下底面半径为，高为， 因为母线长为10，所以，解得， 所以下底面半径为，高， 则体积. 故答案为： 10．（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）由题意可证得，，从而可得平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可证出. （2）连接OE，由（1）可得，面积的最小值是4时，可求出，作交AC于H，可知平面ABCD， 由即可求解. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴. ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴. 又，∴平面PAC. 又平面BDE， ∴平面平面PAC. （2）解：如图（1），连接OE，由（1）知平面PAC，平面PAC. ∴. ∵，由，得. ∵当时，OE取到最小值1.此时. 作交AC于H，∵平面ABCD，∴平面ABCD， 如图（2），由，得点E到底面ABCD的距离.                （1）                               （2） 【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定定理、线面垂直的定义，属于中档题. 高中数学暑假作业11参考答案 1．C 【详解】因为，所以， 因此复数在复平面上对应点的轨迹是圆，选C. 2．B 【分析】对A，可根据面面平行的性质判断；对B，平面与 不一定垂直，可能相交或平行；对C，可根据面面平行的性质判断；对D，可通过在平面，中作直线，推理判断. 【详解】解：对于选项A：根据面面平行的性质可知，若，，则成立，故选项A正确， 对于选项B：垂直于同一平面的两个平面，不一定垂直，可能相交或平行，故选项B错误， 对于选项C：根据面面平行的性质可知，若，，则成立，故选项C正确， 对于选项D：若，，， 设，， 在平面中作一条直线，则， 在平面中作一条直线，则， ，， 又，，， 故选项D正确， 故选：B. 3．D 【详解】 设直四棱柱中，对角线， 因为平面,平面，所以， 在中，，可得, 同理可得， 因为四边形为菱形，可得互相垂直平分， 所以，即菱形的边长为， 因此，这个棱柱的侧面积为， 故选D. 点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键. 4．A 【分析】由计算可得结果. 【详解】由可得 ， 所以. 故选：A. 5．C 【解析】根据向量平行可构造方程求得，由同角三角函数关系求得；根据诱导公式可求得结果. 【详解】    ，解得：          故选： 【点睛】本题考查向量平行关系的应用、同角三角函数关系与诱导公式求解三角函数值的问题；关键是能够根据向量平行关系求得. 6．ABC 【分析】根据复数相等的定义，结合复数虚部定义、复数模的定义、共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征逐一判断即可. 【详解】由复数相等可得解得所以， 的虚部是2，所以A选项正确； ，所以B选项正确； ，所以C选项正确； 对应的点在虚轴上，所以D选项不正确. 故选：ABC 7．ACD 【分析】连接，即可得到四边形为平行四边形，从而判断A，显然与为相交直线，即可判断B，根据线面平行的判定定理证明C，D； 【详解】解：连接FE，因为E，F为AB，CD的中点，故FE平行且等于AD. 由题意知AD平行且等于，故FE平行且等于，所以四边形为平行四边形，所以，故A正确； 显然与为相交直线，故B错误； 因为，同时在平面内，且不在平面内，所以平面，故C正确； 因为，同时在平面内，且不在平面内，所以平面，故D正确. 故选：ACD. 8．② 【分析】依据直线与平面、平面与平面的位置关系，找出反例逐一分析，即可得出答案. 【详解】解：若l为一条直线，，，为三个互不重合的平面， ，，则可能平行，也可能相交，故①错误； ，，则，故②正确； ，，则或，故③错误. 所以正确的命题有②. 故答案为：②. 9．4个 【分析】根据异面直线的定义，结合正方体的性质进行判断即可. 【详解】因为有8个顶点，若任取条直线两两异面，则它们不能共顶点，至多能选出4条，如下图所示： 符合题意， 故答案为：4 10．（1） ；（2）. 【分析】（1）先由方程解出，运算化简，再写出其共轭复数即可；（2）代入化简，根据复数相等列方程解出即可. 【详解】解：（1）因为复数， 所以，即 所以 （2）因为复数是关于 的方程一个虚根， 所以 整理得 解 【点睛】本题考查了复数的运算与概念，属于基础题. 高中数学暑假作业12参考答案 1．C 【分析】利用向量的线性运算化简展开后利用数量积的定义即可求解. 【详解】 因为，，，所以， 所以， 故选：C. 2．D 【分析】证明A1D//B1C，即得解. 【详解】∵A1B1ABCD，∴A1B1CD， ∴四边形A1B1CD为平行四边形， ∴A1D//B1C， 又B1C⊂平面AB1C，A1D⊄平面AB1C， ∴A1D//平面AB1C. 故选：D 【点睛】方法点睛：空间直线、平面平行位置关系的判定和证明一般有两种方法. 方法一（几何法）：线线平行线面平行面面平行，它体现的主要是一个转化的思想. 方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性. 3．B 【分析】如图，先由三棱锥的体积求出正三棱锥的高，由，可得，再利用勾股定理可求出外接球的半径，从而可求出球的表面积 【详解】如图，为正三棱锥的高，则其外接球的球心在上，且， 延长交于，则， 所以， 因为三棱锥体积为， 所以，得， 在直角中，, 所以，解得， 所以该球的表面积为， 故选：B 4．C 【解析】利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值. 【详解】因为， 所以，.故. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析. 5．C 【解析】根据向量相等可知对边平行且相等，四边形为平行四边形，根据模相等可知邻边相等，所以四边形为菱形. 【详解】因为， 所以, 四边形是平行四边形 又， 所以, 四边形是菱形，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量的相等与向量的模相等，属于容易题. 6．BD 【分析】根据内切球的性质可判断A项，利用每个截角体积等于正四面体体积的可求解B项，利用勾股定理求外接球的半径可求解C项，利用勾股定理可确定的斜边长，进而求解D项. 【详解】 该四面体底面正三角形的高等于， 所以四面体的高， 由图可知，若几何体存在内切球，则几何体内切球与原四面体的内切球一致， 由等体积法可得半径应为， 但该截角四面体的上表面ABC与下表面EFHILK平行且距离为， 所以该截角四面体不存在内切球，故A错误； 正四面体的体积， 所以剪掉一个角的体积等于， 所以该截角四面体的体积为,故B正确； 取上下底面的中心为,外接球的球心为，连接如图， 因为截角四面体上下底面间的距离等于， 设外接球的半径等于， 因为为边长等于的正三角形， 所以的高等于，所以, 又因为下底面为正六边形，所以， 所以即 所以解得， 所以，故C错误； 连接，则,所以， 由正四面体对棱互相垂直可知，, 所以在直角中，， 所以外接圆的面积为，故D正确. 故选:BD. 7．ABC 【分析】对于A，在将沿着向上折起时，能使，又因为，此时平面，则直线直线；对于B，在将与和分别沿与向上折起时，使得重合，直线直线；对于C，由于为线段的中点，是的中点，由三角形中位线定理和线面垂直的判定定理可得结论；对于D，当直线在同一个平面时，不会平行 【详解】解：对于A，在将沿着向上折起时，能使，又因为，此时平面，则直线直线，所以A正确； 对于B，在将与和分别沿与向上折起时，使得重合，则，因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以，所以，所以直线直线，所以B正确； 对于C，连接，由于为线段的中点，是的中点，所以∥，因为，所以，因为是等边三角形，所以，所以在折叠过程中平面，在将沿着向上折起时，能使，因为，，所以平面，所以平面平面，所以C正确； 对于D，当直线与在同一个平面时，，而，则，此时不会平行，所以D错误， 故选：ABC 8． / / 【分析】利用互斥事件的概率公式即可得解. 【详解】由派出医生不超过2人的概率为，得，， 由派出医生最多4人的概率为，得，， 由派出医生最少3人的概率为，得，. 故答案为：；. 9． 【分析】根据平面向量的加法法则运算可得，由题意得 ，进而求得. 【详解】如图所示，在中，， 又点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点， 所以， 所以. 故答案为： 10．在方向上的投影为；在方向上的数量投影为. 【分析】先由已知求出，再对分情况结合投影与数量投影的定义直接进行计算即可求解. 【详解】因为，， 所以， 当时， 在方向上的投影为， 在方向上的数量投影为； 当时， 在方向上的投影为， 在方向上的数量投影为. 所以在方向上的投影为；在方向上的数量投影为. 高中数学暑假作业13参考答案 1．D 【分析】判断选项中各组向量是否共线，即可得答案. 【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线， 都可作为平面向量的基底， 而，故与共线，不能作为该平面所有向量的基底. 故选:D. 2．D 【分析】 建系，利用P在边BC上设出点的坐标，然后找出满足的方程，利用基本不等式求解即可. 【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，    则，，，，则，，， 设， 则. 因为， 所以，消去，得， 因为，，所以 ， 当且仅当，结合，即时等号成立. 故的最小值为. 故选：D 3．B 【解析】根据总分变化未发生变化可知平均分不变；利用方差的计算公式可得，从而计算可得结果. 【详解】甲少记分，乙多记分，则总分不变，由此平均分不发生变化； 原方差： 更正后方差： 本题正确选项： 【点睛】本题考查平均数和方差的计算问题，关键是熟悉二者的计算公式，属于基础题. 4．A 【详解】试题分析：棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱；可以判断正确；不正确，例如正六棱柱的相对侧面；不正确，只有直棱柱满足的条件；不正确，例如长方体． 故答案为 考点：棱柱的结构特征. 5．D 【解析】根据复数的三角形式求解即可. 【详解】 -i的立方根为（其中） 当时,得； 当时,得； 当时,得, 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的三角形式的应用,属于中档题. 6．ABD 【分析】利用向量的数量积判断；利用向量的投影向量判断；向量垂直的充要条件判断；向量的数量积判断； 【详解】解：对于A：，所以不正确； 对于B：在上的投影向量为：是与方向相同的单位向量），所以不正确． 对于C：，所以正确； 对于D：由，则，因为，所以，即在方向上的投影相等，故得不到，所以不正确； 故选：． 7．ACD 【分析】根据条形图提供的数据判断各选项． 【详解】由题图1知，2020年国内生产总值达到1015986亿元，突破百万亿，故A正确； 根据折线图知2017年国内生产总值的增长速度为6.9%，比2016年多0.1%，故B错误； 由题图2知，2017-2020年第二产业增加值占国内生产总值比重逐年下降，故C正确； 因为2016-2020年国内生产总值逐年增加，且第三产业增加值占国内生产总值比重也逐年增加，所以第三产业增加值逐年增长，故D正确． 故选：ACD． 8． 【分析】先判断两条母线的夹角时最大截面三角形的面积为，再建立不等式和，最后求出的取值范围即可. 【详解】解：过圆锥顶点的截面三角形的面积：（为两母线的夹角）， 因为过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为，即两条母线的夹角时的截面面积， 此时底面弦长为，所以，又，所以， 故答案为： 【点睛】本题考查空间几何体，是基础题. 9． 【分析】先计算拉力在水平上向上的分力，然后直接计算功. 【详解】 故答案为 【点睛】本题考查向量中的力的做功问题，难度较易. 10．(1) (2) 【分析】（1）计算出两名同学都没有获得加分资格的概率，根据对立事件概率公式可求得结果； （2）所求事件为两名同学获得加分资格，另一名没有获得加分资格，结合独立事件概率乘法公式进行计算即可. 【详解】（1）若甲、乙两名同学都没有获得加分资格，则概率为， 甲、乙两名同学至少有一人获得加分资格的概率为. （2）甲、乙、丙三名同学所得加分之和为，则有两名同学获得加分资格，另一名同学没有获得加分资格， 则所求概率. 高中数学暑假作业14参考答案 1．C 【分析】取圆台下底面圆心，确定取最小值的情况，结合线面平行的性质求出圆台两底半径及高，进而求出圆台体积. 【详解】取圆台下底面圆心，令，连接，显然， 由平面平面，平面，平面，得 则四边形为平行四边形，， 在中，，，在圆中，当且仅当时，取最小值6， 由，解得，因此，圆台的高， 所以该圆台的体积为. 故选：C    2．A 【分析】设棱柱的底面积为S,高为,根据截面将三棱柱分成两部分,一部分是三棱台,求得三棱台的体积,再用间接法求得另一部分的体积,计算两部分的体积比值. 【详解】解:如下图所示，截面将三棱柱分成两部分,一部分是三棱台,另一部分是一个不规则几何体,故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得. 设棱柱的底面积为S,高为,则的面积为, , 剩余的不规则几何体的体积为, 两部分的体积之比为 故答案选A 【点睛】本题考查了棱柱与棱台的体积计算,计算不规则立体图形的体积时，可间接来求，求解要细心. 3．C 【详解】连接,中,,又,所以直线和所成的角即与所成角，故选C. 4．D 【分析】首先想象组合体，并画出正三棱柱上底面截球的平面图形，分析长度关系，求球的体积. 【详解】图1是正三棱柱上底面解球的示意图，此时内切圆的半径， 图2是正三棱柱上底面截球的弦心距的示意图，此时是内切圆的直径，， 则，即，解得：, 球的体积. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键是空间想象，根据实际问题转化为分析如上两个图形. 5．B 【分析】设三棱锥的各棱长均相等，由确定的平面，得到截面，再由正四面体的性质和图象的对称性加以分析，同时对照选项，即可求解. 【详解】如图所示，设三棱锥的各棱长均相等，球是它的内切球， 设为底面的中心，根据对称性可得内切球的球心在三棱锥的高上， 由确定的平面交于，连接，得到截面， 截面就是经过侧棱与中点的截面， 平面与内切球相交，截得的球大圆如图所示， 因为中，圆分别与相切于点，且，圆与相离， 所对照各个选项，可得只有B项的截面符合题意，故选B. 【点睛】本题主要考查了正四面体的内切球的截面问题，其中解答中正确理解组合体的结构特征是解答的关键，着重考查了正四面体的性质，球的性质的应用，属于中档试题. 6．BD 【分析】根据给定的折线图，结合统计知识逐项分析判断得解. 【详解】对于A，由题中折线图知，20182023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，A错误； 对于B，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，B正确； 对于C，20182023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为元， 人均消费支出的极差为元，C错误； 对于D，20182023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元，D正确. 故选：BD 7．ABD 【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可 【详解】对于A，每个面都是直角三角形的四面体，如：E﹣ABC，所以A正确； 对于B，每个面都是等边三角形的四面体，如E﹣BGD，所以B正确； 对于C，若四面体的每个面都是全等的直角三角形，则必有直角边等于斜边，而这样的直角三角形不存在，所以C错误； 对于D，有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如：A﹣BDE，所以D正确； 故选：ABD． 8． 【分析】根据向量共线以及向量模长公式进行求解即可． 【详解】解：设与方向相同的单位向量是，则，则，即， 即，则， 又向量与方向相同，所以 则， 故答案为 【点睛】本题主要考查向量共线的应用，结合向量模长公式是解决本题的关键． 9．60 【详解】由，得． 10．， 【解析】用张华投篮命中的次数表示事件，即可写出样本空间和事件． 【详解】样本空间为， 所要表示的事件. 【点睛】本题主要考查样本空间的表示和事件的集合表示，属于基础题． 高中数学暑假作业15参考答案 1．D 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简已知等式，可求出，即可利用二倍角余弦公式求得答案. 【详解】由于在中，， 故，即， 而，故， 所以. 故选：D 2．C 【分析】用向量法判断三角形形状可将每一条线段转化成向量的坐标表示法，再根据向量垂直的条件和模长公式来进行判断 【详解】∵，且，∴为等腰直角三角形. 答案选C 【点睛】此题还可采用把点还原坐标法，根据坐标中呈现形状，再采用向量法来进行证明 3．D 【分析】根据平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ与λ2+μ2均为零向量或者λ2+μ2为零向量的特殊情况，可以判定C. 【详解】由平面向量基本定理可知，A错误，D正确； 对于B：由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定， 那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误； 对于C：当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个， 或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在，故C错误； 故选：D. 4．B 【详解】设“电话响第一声被接”为事件A,“电话响第二声被接”为事件B,“电话响第三声被接”为事件C,“电话响第四声被接”为事件D,则A,B,C,D两两互斥,从而P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.故选B. 点睛：本题的难点在于把电话在响前四声内被接这个事件分解为哪几个互斥事件，根据题意，它可以分解为四个互斥事件, P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D). 5．C 【分析】以为基底表示向量，因为，则，建立与的等量关系，求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 则，解得：，. 故选：C 6．CD 【分析】由已知的式子求出复数，然后再逐个分析判断. 【详解】因为， 所以z的实部是1，虚部是2，故A和B均错误，D正确， 又，故C正确， 故选：CD 7．BD 【分析】根据几何体的构成可判断A，由截面为正六边形可求面积判断B，根据外接球为正四棱柱的外接球即可判断C，根据顶点，面数，棱数判断D. 【详解】如图， 该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的. A：因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的， 所以该几何体的体积为：，故A错误； B：如图，过三点的截面为正六边形， 又，所以正六边形面积为，故B正确； C：根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为， 侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积为，故C错误； D：几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足，故D正确. 故选：BD 8． 【分析】根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定可推出面，则，再利用等体积法转换即可. 【详解】面，面；. 且，面；. ；. ；； 设点到平面的距离等于. ；；即. 即点到平面的距离等于. 9．16 【分析】方法一：利用向量的坐标运算可得点M(m，n)在以原点为圆心，1为半径的圆上，进而再利用圆的性质求出即可； 方法二：利用向量的坐标运算可得m＝sin，n＝cos，利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解. 【详解】方法一：由m＋n＝，可得， 故(m＋n)2＋(m－n)2＝2，即m2＋n2＝1， 故点M(m，n)在以原点为圆心，1为半径的圆上， 则点P(3，0)到点M的距离的最大值为|OP|＋1＝3＋1＝4， 故(m－3)2＋n2的最大值为42＝16． 方法二：∵m＋n＝， ∴(m＋n，m－n)＝(cos α，sin α)(α∈R)． ∴m＋n＝cos α，m－n＝sin α． ∴m＝sin，n＝cos． ∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9＝10－6sin． ∵sin∈[－1，1]， ∴(m－3)2＋n2的最大值为16． 故答案为：16. 10．(1) (2)或或 【分析】（1）点A、B、C不能构成三角形说明三点共线， 利用共线性质列出方程解出参数即可； （2）分类讨论直角的情况，转化为向量数量积为0， 列出方程解出即可. 【详解】（1）因为点A、B、C不能构成三角形， 所以点A、B、C三点共线， 所以， 因为， ， 所以， 即， 所以若点A、B、C不能构成三角形，则. （2）若点A、B、C构成的三角形为直角三角形， 则： ①若为直角，此时， 即， 所以， ②若为直角，此时， 即，由 所以 所以， ③若为直角，此时， 即， 解得， 所以若点A、B、C构成的三角形为直角三角形， 则或或. 高中数学暑假作业16参考答案 1．D 【分析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果 【详解】解：三位数的回文数为， 共有1到9共9种可能，即、、 共有0到9共10种可能，即、、、、 共有个， 其中偶数为是偶数，共4种可能，即，，，， 共有0到9共10种可能，即、、、、 其有个， 三位数的回文数中，偶数的概率； 故选：． 【点睛】本题考查概率的求法，注意列举法在使用时一定做到不重不漏，属于中档题． 2．B 【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项. 【详解】解：对于①，当时，，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确， 对于③，在复数中，，则时，，即③错误， 对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若则即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④， 故选B. 【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题. 3．D 【分析】分别查出4门科目任选2门总共结果数，再选出政治和地理至少有一门的结果数，然后根据古典概率计算概率即可. 【详解】在政治、地理、化学、生物4门科目中任选2门共有6种情况， 分别为：政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、地理+生物、化学+生物. 其中政治和地理至少有一门的情况包含5种， 分别为：政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、地理+生物. 故政治和地理至少选一门的概率为. 故选：D 4．D 【分析】根据题意画出圆锥的轴截面，结合图形设出圆柱的底面圆半径和高，以及圆锥的底面半径和高，求出母线长，再列方程求得圆柱的底面半径与圆锥的底面半径之比． 【详解】解：如图所示，为圆锥的轴截面， ，设圆柱的底面圆半径为，高为， 圆锥的底面半径为，则圆锥的高为，母线长为， 由题意知，， 即； 由相似边成比例得， 即， ， 即， ， 即圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为． 故选：D． 5．A 【分析】连接交于，连接，根据线面平行的性质得，即可得到，即可求解. 【详解】连接交于，连接，如图： 底面ABCD为菱形，Q为AD的中点，所以与相似， ， 因为平面MQB，平面，平面与平面MQB交线为， 根据线面平行的性质可知：， 在中，， ， 即. 故选：A 【点睛】此题考查根据线面平行的性质得线线平行，根据平行关系求解线段的比例关系. 6．ABC 【分析】用1,2.3分别表示印有“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”的三张卡片；用表示印有“谢谢惠顾”的五张卡片，写出样本空间，及事件，根据对立事件的定义验证选项A；根据互斥事件的定义验证选项B；根据并、交事件的定义写出事件，，再根据古典概型的概率公式检验选项C，D即可. 【详解】用1,2.3分别表示印有“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”的三张卡片；用表示印有“谢谢惠顾”的五张卡片，则样本空间为， 由题意知， 因为，所以事件A和事件E是对立事件，故选项A正确； 因为，所以事件B和事件C是互斥事件，故选项B正确； 因为，所以，故选项C正确； 因为，所以，所以，故选项D错误； 故选：ABC. 7．BCD 【分析】由数据的数字特征逐一判断各个选项即可得解. 【详解】数据2，4，6，8的中位数为，显然A错误； 由众数的定义可知，数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4， 一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数，例如这组数据的每个数都相同的时候就满足， 8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，由加权平均数可知，这11个数据的平均数是 故B，C，D都正确． 故选：BCD. 8．/0.6 【分析】依据古典概型去求这2人中恰有1人是语文成绩高于数学成绩的概率. 【详解】设“抽取的这2人中恰有1人是语文成绩高于数学成绩”为事件B． 因为两科成绩均超过70分的学生编号分别是1、3、4、9、10，其中语文成绩高于数学成绩的学生编号分别是1、4、10. 则从这5位学生中随机抽取2人构成的样本空间为 ，10个样本点 事件B包含，共6个样本点． 所以这2人中恰有1人是语文成绩高于数学成绩的概率． 故答案为： 9． 【分析】由题意求圆锥的底面半径和母线长，代入侧面积公式，即可求解. 【详解】圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则易知圆锥底面半径，母线长， 结合圆锥的侧面积公式. 故答案为： 10．(1)答案见解析 (2)和 【分析】（1）对应的点的坐标为，对应的点的坐标为，得到向量. （2）计算得到，，得到对应复数. 【详解】（1）对应的点的坐标为，对应的点的坐标为. 和如图所示.    （2），对应的复数为；，对应的复数为 高中数学暑假作业17参考答案 1．A 【解析】观察正方体不难发现①因为直线,可判断，②由平面平面，可判断. ③平面APC即为平面,共线，可判断．④平面与平面ABCD相交，可判断. 【详解】平面APC即为平面,，即平面，所以①正确. 由平面平面，又平面，故平面，所以②正确. 平面APC即为平面,共线，所以A，P，M三点不共线；所以③不正确. 平面MNQ与平面ABCD是相交的.所以④不正确. 故选A. 【点睛】本题考查直线与平面平行，平面与平面平行的判定，三点共线问题，考查空间想象能力，属于基础题． 2．D 【解析】根据可得,代入化简求解夹角余弦值即可. 【详解】设与的夹角为, , . ,, 故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用数量积的公式与模长求解夹角的问题.属于中档题. 3．D 【分析】在正四棱锥中，设底面边长为，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误． 【详解】如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，， 则为的中点，连接，，， 则平面，， 则为侧面与底面所成的锐二面角， 设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为， 这个角接近，取，， 则． 在中，，解得，故底面边长为， 正四棱锥的高为， 侧面积为， 体积， 故ABC正确，D错误. 故选：D． 4．D 【分析】由可知为钝角或为钝角，分类由余弦定理和三角形三边关系可得. 【详解】当为钝角时，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，所以； 当为钝角时，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，所以， 故选：D 5．C 【分析】取MD中点O，连接OP，OQ，利用线面平行的判定定理证明平面.从而利用面面平行的判定定理得平面平面.再利用面面平行的性质定理得，利用三角形的比例性质即可求解. 【详解】如图所示，   取MD中点O，连接OP，OQ，∵为MD中点，为中点，∴. 又∵平面，平面，∴平面. 又平面，，平面，平面，∴平面平面. 又平面，平面，平面平面，平面平面， ∴，∴在中，. 故选：C. 6．BC 【分析】对于A，直接判断即可；对于B，，结合即可判断；对于C，，结合即可判断；对于D，，结合即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以只有一解；故A错误； 对于B，因为， 所以由正弦定理得， 因为，即，所以，所以有两解（，或），故B正确； 对于C，因为， 所以由正弦定理得，即， 因为，所以有两解（，或，），故C正确； 对于D，因为， 所以由正弦定理得， 由于，故，所以只有一解，故D错误； 故选：BC 7．AB 【分析】根据复数模的计算公式求得复数的模，可判断A;根据复数的乘方运算可判断B,C,D. 【详解】由复数,可得 ，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误， 故选：AB. 8． 【分析】根据平面向量共线和零向量定义求解即可. 【详解】若，，则是假命题，则，， 当时，，， 当时，，， 所以命题“若，，则”是假命题，则 故答案为： 9． 平面 平面 平面 【分析】结合长方体的结构特征和面面平行的判定定理即可判断. 【详解】因为为长方体，所以平面∥平面，平面∥平面，同时∥，∥， 又因为平面，平面，所以∥面，∥平面，因为，所以平面∥平面. 故答案为：①平面；②平面；③平面. 10． 【分析】利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，并借助向量夹角的计算公式，即可得解. 【详解】由与垂直，与垂直， 得,即，可得， 将代入，得，即， 设与的夹角为，， 所以， 所以，与的夹角为. 【点睛】本题考查垂直关系的向量表示、向量数量积的运算律及向量夹角的计算，属于基础题. 高中数学暑假作业18参考答案 1．D 【分析】设男生有5人，且用脚踢到毽球次数分别为，，，，，设女生有4人，用脚踢到毽球次数分别为，，，，根据平均数和方差的计算方法计算即可. 【详解】设该班有男生5人，且用脚踢到毽球次数分别记为，，，，，设女生4人，且用脚踢到毽球次数分别记为，，，. 则男生踢到毽球次数的平均数，方差， 即，女生踢到毽球次数的平均数， 方差，即． 故全班同学踢到毽球次数的平均数为， 方差为 ． 故选：D. 2．A 【分析】对于①，根据向量相等的概念分析可知不正确；对于②，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知正确；对于③，根据向量相等的概念分析可知正确；对于④，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知不正确. 【详解】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误； 对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确； 对于③，若,，则；显然正确，故③正确； 对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确, 故选：A 【点睛】关键点点睛：掌握向量相等的概念和充要条件的概念是解题关键. 3．C 【解析】根据四棱锥体积的最大值为54，可求得P到平面的最大距离，根据四棱锥的几何性质，即可求得球O的半径r，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】设球心到平面的距离为h，球O的半径为r， 根据题意，当P到平面距离最大，即为r+h时，四棱锥的体积最大， 所以，解得， 又都在球面上，设平面所在圆心为，由题意得， 所以，解得， 所以表面积. 故选：C 【点睛】本题关键点在于根据体积最大值，求得P到平面的最大距离，再根据外切关系，利用勾股定理，求得半径r，考查空间想象，分析计算的能力，属中档题. 4．C 【分析】根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】点不在直线、上， 若直线、互相平行，则过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，即必要性成立， 若过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，则直线、互相平行成立，反证法证明如下： 若直线、互相不平行，则，异面或相交，则过点只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立 则“过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件， 故选：． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键． 5．B 【分析】两个矩形分别以一边所在直线为轴旋转，所形成几何体为圆柱,利用圆柱的侧面积公式分别计算作比可得答案. 【详解】以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，故S1∶S2＝1∶1， 故选:B. 【点睛】本题考查圆柱的侧面积公式,考查学生空间想象力与运算求解能力,属于基础题. 6．BC 【分析】根据图2数据以及频率求法可判断A；由频率直方图求平均数的计算公式可判断B；根据中位数的求法可判断C；根据方差的意义可判断D. 【详解】该市2020年2月的空气质量为优即， 由题图2可知该市2020年2月的空气质量为优的频率为 ，故A不正确. 该市2020年2月的空气质量指数的平均数为 ， 该市2019年2月的空气质量指数的平均数为 所以该市2020年2月的空气质量整体上优于2019年2月的空气质量，故B正确. 该市2020年2月的空气质量指数的中位数为， 该市2019年2月的空气质量指数的中位数为， 所以该市2020年2月的空气质量指数的中位数小于 2019年2月的空气质量指数的中位数，故C正确. 由题图1和2可知，2020年2月的空气质量指数的波动性小于 2019年2月的空气质量指数的波动性， 所以2020年2月的空气质量指数的方差小于 2019年2月的空气质量指数的方差，故D不正确. 故选：BC. 7．ABC 【分析】作出完整的截面，判断AC，由面面平行的性质定理判断B，由结合图象可判断D 【详解】 由正方体性质，连接，则截面即为四边形，它是等腰梯形， 设，易知是的中点，所以两点到平面的距离相等．A正确； 取中点，连接，，由分别是中点，得， 又，，是平行四边形，所以，，平面，所以平面，平面， 而，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面．B正确； 由正方体性质，连接，则截面即为四边形，它是等腰梯形， ，，等腰梯形的高为， 截面面积为，C正确， 由图象可知二面角为钝二面角，故D不正确； 故选：ABC． 8．用途：解三角形时可以进行边角互化 【分析】正弦定理： ， 可以根据题目需要实现边角转化。 【详解】正弦定理： ， 则有 , 以及 ，从而实现边角的转化. 故答案为：解三角形时可以进行边角互化 9．/ 【详解】    因为，， 所以，其中， 设，则点在直线上， 因为与同底，而高线之比等于与的比，即比值为， 所以. 故答案为：. 10．（1）；（2）． 【分析】（1）根据表中数据以及平均数公式即可求出； （2）先求出“住宿满意度”为3分时5个“餐饮满意度”人数的平均数，再根据方差公式即可求出． 【详解】（1）平均数为． （2）当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为， 其方差为． 【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生的数据分析能力和数学运算能力，属于基础题． 高中数学暑假作业19参考答案 1．A 【分析】先求出复数z，再求 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 2．B 【分析】当D，E，F三点共面时，容器可盛水最多，计算三棱锥的体积与原体积的关系，可得最多盛水量. 【详解】    连接DE，DF，EF，当D，E，F三点共面时，容器可盛水最多， 因为，所以， 又因为，所以F到平面SDE的距离是C到平面SAB的距离的， 所以，容器可盛水原来水的. 故选：B. 3．A 【分析】画出相应图形后计算出点到该楼的距离，结合勾股定理与正弦定义计算即可得. 【详解】如图所示，由题意有，， 则有，故， 则， 故， 则. 故选：A. 4．D 【分析】由题意找到异面直线与所成的角；设三棱柱的侧棱与底面边长为，利用勾股定理求出各边长，再利用余弦定理，即可求出结果． 【详解】解：设的中点为，由题意可知平面， 连接、、，在三棱柱中， 所以即为异面直线与所成的角； 设三棱柱的侧棱与底面边长为， 则， 分别在和中，由勾股定理，可知 ，， 在中，由余弦定理，得； 所以异面直线与所成的角的余弦值为． 故选：D． 5．B 【分析】连接，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，判断出当三点共线时，则即为的最小值.分别求出,,利用余弦定理即可求解. 【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，                        设点的新位置为，连接，则有. 当三点共线时，则即为的最小值. 在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即 在三角形中，，，由勾股定理可得：,且. 同理可求： 因为，所以为等边三角形，所以， 所以在三角形中，,, 由余弦定理得：. 故选B. 【点睛】（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量； （2）立体几何中距离的最值一般处理方式： ①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值； ②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值. 6．AC 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得、判断A、C，再由向量夹角运算、投影定义判断B、D. 【详解】由得：，即，所以；故A正确； 由得：，即，所以；故C正确； 设向量，的夹角为，则，所以，故B错误； 在方向上的投影数量为，故D错误； 故选：AC. 7．ABD 【分析】A选项，验证即可； B选项，验证； C选项，由题可得，，据此可判断选项正误； D选项，由题可得，据此可判断选项 【详解】A选项，， 则，故A正确； B选项，，则， 故，故B正确； C选项，假设存在，使，则，，则可得 ，故可得 ，则假设不成立，故C错误； D选项，因，则，又由题可得，则 ，故D正确. 故选：ABD 8． 【分析】根据展开求出，然后 代入求解即可. 【详解】因为 又因为，，即 所以 又因为 故答案为： 9．（2）（4） 【解析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定与性质定理依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】（1）在正方体中，平面平面 平面平面， 此时与平面和平面均不垂直，（1）错误； （2）由两平面平行的性质可知（2）正确； （3），，    平面     此时不垂直于平面，但垂直于平面内平行于的无数条直线，（3）错误； （4）由线面平行的判定定理可知（4）正确； （5）若且，则；已知条件中不能保证，故（5）错误. 故答案为：（2）（4） 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系相关命题的辨析，解决此类问题通常采用反例来对错误选项进行排除，属于常考题型. 10．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据物体在水平方向、竖直方向所受各力的合力分别为零列方程组，再根据正弦定理及二倍角的正弦公式可证结论成立； （2）根据，将（1）中的两个方程两边平方相加，再由不等式知识可证结论成立. 【详解】（1）证明：如图，设，根据平行四边形法则，得 即 在中，由正弦定理，得． 将代入①，得，即． ， ，得． ，即． （2）证明：由，得． 将①②两边平方相加，得. ， ． ． 【点睛】本题考查了向量在物理中的应用，考查了正弦定理，考查了二倍角的正弦公式，属于中档题. 高中数学暑假作业20参考答案 1．C 【分析】对点到点的路径进行分类讨论，将相应平面延展为同一平面，结合余弦定理可求得结果. 【详解】分以下几种情况讨论： （1）当点沿着平面、到点，将平面、延展为同一平面，如下图所示： 易知、均为等边三角形，延展后，，， 所以，四边形为菱形，所以，且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，此时； （2）当点沿着平面、到点，将平面、延展至同一平面，如下图所示： 连接，则，且，，， 因为，由余弦定理可得； （3）当点沿着平面、到点，连接，如下图所示： 则，，， 由余弦定理可得； （4）当点沿着平面、、到点，将这三个侧面延展为同一平面，如下图所示： 易知、、三点共线，且，，， 由余弦定理可得. 综上所述，从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状； （2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解. 2．C 【解析】原式可化为，然后利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，得出，，的关系. 【详解】解：由得：，且， ∴，且， ∴， ∴， 化简整理得：，即， ∴或，又， ∴△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形. 故选：C. 【点睛】本题考查三角形形状的判定，难度稍大.解答时，利用正、余弦定理进行边角互化是难点. 3．D 【解析】由试验结果知对0～1之间的均匀随机数 ，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值． 【详解】解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即， 对应区域为边长为的正方形，其面积为， 若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有， 其面积；则有，解得 故选：． 【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 4．D 【分析】对A：利用正弦定理可求得的外接圆半径，即可求解的外接圆面积；对B：利用余弦定理角化边，即可求解；对C：利用正弦定理边化角，再结合两角和差的正弦公式，即可求解；对D：利用三角形面积公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解． 【详解】解：对A：，， 由正弦定理可得，即的外接圆半径， 的外接圆面积是，故选项正确； 对B：由余弦定理可得，故选项正确； 对C：由正弦定理可得，， ，故选项正确； 对D：设关于的对称点我，到的距离为， ，即， 又由余弦定理可得，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以的最大值是，故选项错误． 故选：D． 5．B 【分析】利用平行向量不能做为一组基底排除选项ACD，选项B中和不共线，故而能作为一组基底. 【详解】选项A：， 则和共线，不能作为一组基底； 选项B：令，则， 则共线，这与已知矛盾.则和不共线，能作为一组基底. 选项C：， 则和共线，不能作为一组基底； 选项D：， 则和共线，不能作为一组基底. 故选：B. 6．ABD 【分析】根据几何体的结构特征依次判断即可得答案. 【详解】对于A选项，球的表面不能展成平面图形，故错误； 对于B选项，各侧棱都相等的棱锥为正棱锥不能保证底面为正多边形，只能得到顶点在底面上的射影为多边形的外心，故错误； 对于C选项，用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么该几何体可能是三棱柱，故正确； 对于D选项，上､下底面是等边三角形的三棱台，侧面梯形不一定有外接圆，比如有一条侧棱垂直于底面的情况，故错误． 故选：ABD 7．ABD 【分析】根据平面向量的线性运算并结合平面向量共线定理即可判断答案. 【详解】对于A选项， ，故A选项正确； 对于B选项，因为B，F，D三点共线，设，由，所以存在唯一实数，使得，结合A可知，，因为不共线，所以，所以，故B选项正确； 对于C选项，结合B，，故C选项错误； 对于D选项，结合B，，故D选项正确. 故选：ABD. 8．/. 【分析】在中，根据正弦定理求出.然后在中，即可求出AD的长. 【详解】 由已知可得，. ， 在中，由正弦定理， 可得，. 因为，，在中，， 所以. 故答案为：. 9．或  ． 【详解】设丢失的数据为x，则七个数据的平均数，众数．若，则中位数为8，此时，解得（舍去）；若，则中位数为x，此时，解得；若，则中位数为11，此时，解得．故丢失的数据或．当时，，此时的概率为；当时，，此时的概率为 10．(1)，作图见解析 (2)342 【分析】（1）利用频率分布表的性质依次求得，再利用频率分布直方图的作法即可得解； （2）利用频率分布表，结合比例列式即可得解. 【详解】（1）由频率分布表得， 所以，， 频率直方图如图所示， （2）由题意，知全校成绩在90分以上的学生的人数约为. 高中数学暑假作业21参考答案 1．B 【详解】解：结合直方图可知，达到标准①，年人均收入不小于7000元;未达到标准②年人均食品支出不大于年人均收入的35%.某县有40万人口，不是小康县，选B 2．D 【分析】通过空间中线线、线面、面面间的位置关系的判定定理与性质定理判断即可. 【详解】由为空间两条不同的直线,为空间两个不同的平面,知： 在①中,若,则由面面垂直的判定定理得,故①正确； 在②中,若,则m与n相交、平行或异面,故②错误； 在③中,若且,则与相交或平行,故③错误； 在④中,若且,则由线面垂直的性质得,故④正确． ∴其中所有正确命题的序号是①④． 故选：D． 3．B 【分析】利用向量运算求得，由此判断出正确答案. 【详解】， 由于，所以， 所以三角形是直角三角形. 故选：B 4．C 【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以复数在复平面对应的点为，位于第三象限． 故选：C 5．D 【分析】先求出基本事件的个数，然后求解满足向量的个数，结合古典概率的求解公式可求. 【详解】解：从集合中随机地取一个数，中随机地取一个数，共有12种取法， 当向量与向量，，故或共2种取法， 则所求概率. 故选：D. 6．ABC 【分析】作出长方体，根据等腰四面体的定义得出图形，根据长方体的性质判断各选项． 【详解】如图，长方体有两个相同的等腰四面体：和，A正确； 如等腰四面体中，每个面可能看作是从长方体截一个角得出的， 如图，设的长分别为，不妨设， 则，，，最大， 其所对角的余弦值为，最大角为锐角，三角形为锐角三角形，同理其它三个面都是锐角三角形，各个面的三条边分别相等，为全等三角形，面积相等，B正确； 把一个等腰四面体沿一个顶点出发的三条棱剪开摊平，则得一个锐角三角形，还有三条棱是这个三角形的三条中位线， 如等腰四面体，沿剪开摊平，共线，同理可得共线，共线，为锐角三角形（与等腰四面体的面相似），且是这个三角形的中位线，因此C正确； 如上等腰四面体中三条棱长分别是长方体的三条面对角线长，由长方体性质知长方体对角线是其外接球直径，因此直径长为，D错。 故选：ABC． 7．AC 【分析】由向量的数量积即向量的夹角的知识可判断A的正误；由向量的基本定理可判断B的正误；由向量的定义可判断C的正误；由平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识可判断D的正误． 【详解】对于A，，，且与的夹角为锐角， ，且（时，与的夹角为），所以且，故A错误； 对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确； 对于C，向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误； 对于D，因为，两边平方得，，又， 则，， 故， 而向量的夹角范围为，所以和的夹角为，故D正确． 故选：AC． 8． 【分析】设，则，.两次运用余弦定理，构造方程，得到得，再结合三角形面积公式求解即可. 【详解】设，则，. 在中，. 在中，， 解得，故， 所以. 故答案为：. 9．异面 【分析】利用题给正方体的平面展开图，还原得到正方体的直观图，即可得到在正方体中直线AB与CD的位置关系. 【详解】如图得到正方体的直观图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为异面. 故答案为：异面 10．证明见解析 【分析】使用反证法，即假设与不是异面直线，则或与相交，证明或与相交都是不可能的，从而证明、是异面直线． 【详解】用反证法：如图 假设与不是异面直线，则或与相交 （1）若．，这与矛盾，假设不成立； （2）若，相交于， ， ， 所以，这与矛盾，假设不成立， 综上，不成立，且与相交不成立， ，是异面直线    高中数学暑假作业22参考答案 1．A 【分析】根据古典概型的有限性和等可能性逐个辨析即可 【详解】第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”． 第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性； 第3个概率模型不是古典概型，在一个正方形ABCD内画一点P，有无数个点，不满足“有限性”； 第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等． 故选：A. 2．A 【分析】根据向量的坐标表示求解即可 【详解】由题意， 故选：A 3．A 【解析】根据零向量和单位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不仅要长度相等，方向要相同，可否定③. 【详解】根据零向量的定义可知①正确； 根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误； 向与互为相反向量，故③错误． 故选：. 【点睛】本题考查零向量和单位向量的概念，相等向量的概念，属概念辨析，正确掌握概念即可. 4．D 【分析】按照分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人. 故选：D 5．C 【分析】根据已知向量的坐标，结合、、、的坐标表示判断参数是否存在，即可确定正确选项. 【详解】假设，即，， 假设，即，， 假设，即，无解， 假设，即，， 故选：C． 6．BD 【分析】根据向量的数量积表示出，进而转化为二次函数求最值问题，再根据选项可求得答案. 【详解】解：因为 令， 则当时，取得最小值1， 即有， 可见当确定时，唯一确定下来；但确定时，的值在可能有两个． 故选：BD． 7．ABC 【分析】对于A，由题得，故A正确； 对于B，根据等角定理，得，故B正确； 对于C，由等角定理可以证明，故C正确； 对于D，可以证明，所以四边形为平行四边形，故D不正确． 【详解】解：由中位线定理，易知，，，． 对于A，由公理4易得，所以，，四点共面，故A正确； 对于B，根据等角定理，得，故B正确； 对于C，由等角定理，知，，所以，故C正确； 对于D，由三角形的中位线定理及公理 4知，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形，故D不正确． 故选：ABC． 8． 【分析】过点作交于点，过点作交于点，设过三点的平面与交于点，首先证明是二面角的平面角，然后可得四点共圆，是此圆的直径，然后在中用正弦定理求解即可. 【详解】 过点作交于点，过点作交于点， 设过三点的平面与交于点， 因为，，所以，同理 因为，所以平面 所以，，所以是二面角的平面角 所以，且，是到的距离 在四边形中， 所以四点共圆，是此圆的直径 在中，， 由余弦定理可得 所以， 所以，即到棱的距离为 故答案为： 【点睛】本题考查的是二面角的应用及正余弦定理解三角形，考查了学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题. 9．/3.6/ 【分析】由条件求，根据方差的定义求其解析式，结合基本不等式求其最小值即可． 【详解】样本，，，，的平均数为8， ，所以， 当且仅当 时“=”成立， ∴方差的最小值是． 故答案为：． 10．是直角三角形． 【分析】根据正弦定理边角转化及三角恒等变换可得，即可判断三角形形状. 【详解】设的外接圆半径为，由正弦定理，得， 代入，可得，即． ， ， 即 由正弦定理，得，， 由及可得， 是直角三角形． 高中数学暑假作业23参考答案 1．C 【分析】根据余弦定理和三角形面积公式得到方程，求出，得到答案. 【详解】由余弦定理得， 又三角形面积公式得， 故， 又，故，即， 又，故. 故选：C 2．D 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】    因为点D为边的中点，所以， . 故选：D. 3．C 【分析】基本事件总数为27个，满足条件的事件有6个，求出概率即可 【详解】正四面体每个面都是三角形，每次翻转有3种选择，操作3次， 故基本事件有个， 若操作3次后平面再度与桌面接触， 第一次有3种选择，第二次有2种选择，第三次有1种选择， 故 故选：C 【点睛】本题考查古典概型，属于基础题. 4．D 【解析】由，求出复数，把写出的形式，即求. 【详解】， . 故选：. 【点睛】本题考查复数的运算和共轭复数，属于基础题. 5．B 【解析】由平面平行的性质判断． 【详解】①中a不能与内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与内的无数条直线垂直；④根据定义知a与无公共点，正确. 故选：B. 【点睛】本题考查两平面平行的性质定理，掌握性质定理是解题关键． 6．ABD 【分析】根据向量的数量积的坐标运算逐一判断可得选项. 【详解】对于A：向量，，所以，故A正确； 对于B：，，所以，故B正确； 对于C：，所以，故C不正确； 对于D：，所以，又，所以与的夹角为，故D正确. 故选：ABD. 7．ACD 【分析】由二倍角公式结合正弦定理的角化边公式求出，进而由和角公式得出，进而得出，最后求出三角形面积. 【详解】因为，所以，又， 所以，又，所以， ，所以， . 故选：ACD 8． 【解析】利用，，可解出，则可解出△的面积； 得出可得，可得，然后在△利用正弦定理解出 【详解】因为，，， 所以， 又， 则△的面积为， 又，所以在△中由正弦定理得： ，则. 故答案为：；. 【点睛】本题考查解三角形，考查正弦定理、三角形面积公式的运用，难度一般. 9． 【分析】根据，由，解得，从而得到与的坐标，再利用夹角公式求解. 【详解】因为，所以， 所以，解得，即， 因此. 设与的夹角为θ，所以. 因为，所以θ=. 故答案为： 10．（1）无解；（2），，或，，. 【分析】（1）先用正弦定理进行判断，得到，判断为无解； （2）先用正弦定理进行判断，得到有两个值，分别求解出对应的结果即可. 【详解】（1）因为，所以，此时无解； （2）因为，所以，所以或， 当时，，所以为直角三角形，所以， 当时，，所以， 综上：，，或，，. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，其中涉及三角形是否有解的判断，难度一般.判断三角形是否有解可以通过计算的方法判断，还可以通过图示的方法进行判断. 高中数学暑假作业24参考答案 1．B 【分析】根据线面平行的判定定理分析判断即可 【详解】因为E，F分别为AB，AD上的点，且， 所以∥，， 因为，H，G分别为BC，CD的中点， 所以∥，， 所以∥，， 所以四边形为梯形， 因为∥，平面，平面， 所以∥平面， 若平面ADC，则由线面平行的性质可得∥，而与不平行，所以与平面ADC不平行， 故选：B 2．B 【分析】由题目条件有，则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 【详解】因，平面ABCD，平面ABCD， 则，又因四边形ABCD为矩形，则. 则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：， 则外接球的表面积为： 故选：B 3．A 【分析】对于A，根据棱柱的定义可判断；对于B，以直角三角形的斜边为旋转轴；对于C，用垂直于底面的平面去截圆锥；对于D，由球的定义可判断. 【详解】解：对于A，根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，得棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故A正确； 对于B，以直角三角形的斜边为旋转轴，旋转所得的旋转体不是圆锥，故B不正确； 对于C，用垂直于底面的平面去截圆锥，得到的是不是一个圆锥和一个圆台，故C不正确； 对于D，空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球面，而不是球体，故D不正确， 故选：A． 4．B 【分析】先将数据排列，结合平均数、中位数和众数的概念依次计算即可求解. 【详解】把这12个数按照从小到大的顺序排列为9，10，11，12，16，16，17，17，17，18，19，24， 则这组数据的平均数是， 中位数是，众数是17． 故选：B 5．A 【分析】根据平面向量加减运算法则计算可得. 【详解】对于①：，故与是相反向量，即①正确； 对于②：，故②正确； 对于③：，故③错误； 对于④：，故④错误. 故选：A 6．BCD 【分析】根据频率分布直方图的性质求男生成绩的样本数据在内的频率判断A， 根据平均数的计算公式求平均数判断B， 根据百分位数的定义求男生成绩的样本数据的第75百分位数判断C， 根据分层抽样平均数公式求总样本的平均数判断D. 【详解】由频率分布直方图性质可得男生成绩的样本数据在内的频率为，A错误； 男生成绩的平均数为，B正确； 由已知男生成绩的样本数据低于110的频率为0.65， 男生成绩的样本数据低于130的频率为0.90， 所以男生成绩的样本数据的第75百分位数为，C正确； 总样本的平均数为，D正确． 故选：BCD. 7．BD 【分析】由题意可知：，，两两的夹角为或，再根据平面向量数量积的运算计算的值即可求解. 【详解】， 因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两的夹角为或， 当夹角为时， ，，， ， 当夹角为时， ，， ， ， 所以或 故选：BD． 8． 【分析】确定外接球的球心，再根据几何关系计算体积即可. 【详解】如图，取的中点，连接，， 中，， 又平面平面，且平面平面 平面，又 三棱锥的外接球球心在直线AD上 在上取一点，使得，则为外接球的球心，设球的半径为，，，，解得 所以三棱锥的外接球的体积． 故答案为：. 9．③ 【分析】①②确定、在面ABCD上的射影，利用正方形性质及三垂线定理判断，③在面ABCD上的射影，应用反证思想，结合三垂线定理得到矛盾结论判断. 【详解】①由底面ABCD，则在面ABCD上的射影为，又是正方形，即， 所以，由三垂线定理知：，正确； ②由底面ABCD，则在面ABCD上的射影为，又， 所以，由三垂线定理知：，正确； ③由底面ABCD，则在面ABCD上的射影为，若，则，显然与矛盾，故错误. 故答案为：③ 10．能， 【分析】由正弦定理求出AM,AN,再由余弦定理求MN即可. 【详解】由正弦定理得， 由正弦定理得， 由余弦定理得 高中数学暑假作业25参考答案 1．D 【分析】设用电量在200到250度之间之间的频数为.根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求得，结合频率分布直方图中众数，中位数和平均数的定义进行求解即可. 【详解】设用电量在200到250度之间之间的频数为. 则有 由频率分布直方图可知： 估计该小区居民户用电量的众数大约为：， 解得：,估计该小区居民户用电量的中位数值大约为：183. 估计该小区居民户用电量的平均值大约为： ，所以. 故选：D. 2．B 【分析】利用正弦定理和余弦定理化角为边,进而求解即可 【详解】由, 根据正、余弦定理得, 所以, 因为,所以,解得或（舍去）, 故选:B. 3．B 【分析】运用向量的线性运算计算即可. 【详解】因为是的中线，所以， ． 故选：B. 4．A 【解析】根据平面向量共线定理求出参数的值，再利用向量的数量积的坐标运算计算可得. 【详解】解：向量,若,则,解得, 所以,有. 故选：. 【点睛】本题考查平面向量共线定理及向量的数量积，属于基础题. 5．C 【分析】根据题意可得，再根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为向量，则， 若，则，解得. 故选：C. 6．BCD 【分析】由点线面的关系，结合平面的基本性质判断A、B、C的真假，根据圆锥的性质及三角形面积公式，知：面积最大的截面为母线夹角最大，即知D的真假. 【详解】A：且为不同的三个点，若为不同平面且，，，，则，则为异面直线与题设矛盾，故为同一平面，正确； B：过空间中不共线的三点有且仅有一个平面，若三点共线则有无数个平面，错误； C：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，错误； D：通过圆锥两母线的截面中，若轴截面顶角为直角或锐角，要使截面面积最大，即母线夹角最大，此时截面为轴截面，若轴截面顶角为钝角，则顶角为直角的截面面积最大，即面积最大的截面不一定是轴截面，错误； 故选：BCD 7．ABD 【分析】利用向量数量积的运算性质求解判断即可. 【详解】由题意得，得，所以，故A正确； 由，得，故B正确； 因为，所以不垂直于，故C错误； ，故D正确． 故选：ABD. 8． 【解析】取，的中点分别为，连接，先证明四边形是平行四边形，再利用面面平行的判断定理证明平面平面，可得平行四边形即为所求的截面，再计算其面积即可. 【详解】 取，的中点分别为，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 因为所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以四边形是平行四边形， 因为，平面，平面， 所以平面， 同理可证平面， 因为， 所以平面平面， 因此过点作与平面平行的截面，即是平行四边形， 连接，作于点， 由，， 可得， 所以， 所以平行四边形的面积为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是找出过点与平面平行的截面，所以想到作平行线，利用面面平行的判断定理证明所求的截面即是平行四边形，先求四边形一半的面积，乘以即可得所求平行四边形的面积，也可以直接求菱形的面积. 9． 【分析】取中点，利用几何法，借助余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【详解】在四棱锥中，取中点，连接，令， 由E为棱PA的中点，得，则是异面直线CE与PB所成的角或其补角， 由底面ABCD，底面ABCD，得， ， 在中，由余弦定理得. 故答案为： 10． 【分析】设正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为h，由已知及正三棱柱与圆柱的内接关系，求出a与h的值，再根据圆柱的表面积计算公式代入计算即可． 【详解】设正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为h， 由题意知，正三棱柱是圆柱的内接三棱柱， 所以正三棱柱的侧棱长h即为圆柱的母线长， 又因为正三棱柱底面三角形是圆柱底面圆的内接三角形，且圆柱底面半径为2， 所以三角形边长为， 又因为，所以， 所以， 所以圆柱的表面积为． 高中数学暑假作业26参考答案 1．C 【分析】根据斜二测画法得到直观图，计算可得. 【详解】如图所示，为的直观图，根据斜二测画法的规则可知，，，平行于轴，∴该图形的面积为． 故选：C. 2．C 【分析】设正方体的棱长为，连接，证明可得或其补角即为直线与直线所成角，在中求即可求解. 【详解】设正方体的棱长为，连接， 因为且，所以四边形是平行四边形， 可得， 所以或其补角即为直线与直线所成角， 在中，，所以， 所以直线与直线所成角大小为， 故选：C. 3．A 【分析】首先化简复数，再求. 【详解】，， 所以. 故选：A 4．A 【分析】首先算出、的坐标，然后由平面向量共线的坐标表示可得答案. 【详解】向量，，则， ，由与共线，可得， 则． 故选：A． 5．A 【分析】根据平面向量的加法法则、减法法则和数乘运算律进行运算即可. 【详解】解：根据题意画出图形，如图所示： 由题意可得， 因为为的中点，所以， 故． 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量，考查运算求解能力． 6．AB 【分析】根据纯虚数、复数的模、共轭复数的定义以及复平面内点所在象限的特征，分别对各选项进行分析判断. 【详解】对于A选项， 已知为纯虚数，则，则，A选项正确. 对于B选项，已知，即，这说明是一个非正实数，即， 由可得，此时，满足条件，所以若，则，B选项正确. 对于C选项，若点在第一象限，则，得，所以若点在第一象限，则，而不是，C选项错误. 对于D选项，已知，则，即，所以，解得，而不是，D选项错误. 故选：AB. 7．BD 【分析】A选项先假设存在F使得⊥平面，再推出矛盾，判断A选项错误；B选项先设交线为，再明确在平面内与平行的直线平行于平面，判断B选项正确；C选项先建立空间坐标系，再证明平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，最后判断C选项错误；D选项先转化三棱锥的体积即为三棱锥，再证明三棱锥的体积与点的位置无关，最后判断D选项正确． 【详解】A选项：假设存在F使得⊥平面，则⊥，又⊥，∩＝，∴⊥平面，则⊥，这与⊥矛盾，所以A选项错误； B选项：因为平面与平面相交，设交线为，则在平面内与平行的直线平行于平面，故B选项正确； C选项：以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间坐标系如图，则平面的法向量为而平面的法向量，随着位置变化，故平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，故C选项错误； D选项：三棱锥的体积即为三棱锥，因为∥平面，所以，当在线段上移动时，到平面的距离不变，故三棱锥的体积与点的位置无关，即D选项正确． 故选：BD． 【点睛】本题考查线面平行、线面垂直、二面角、几何体的体积，是基础题. 8． 【分析】设出点的坐标，用坐标表示，根据题意列方程组求解即可. 【详解】设点，则，， 由题意知，，即， 所以，解得，所以点的坐标为， 故答案为：. 9． 【分析】利用数量积为负可求参数的取值范围. 【详解】因为与的夹角为钝角， 故且与不共线反向， 由可得， 即即，故或， 若与共线，则存在实数，使得， 而不共线，故即或， 当时，与共线同向； 当时，与共线反向； 故的取值范围为或或， 故答案为：. 10.（1） ； （2）. 【分析】（1）由正弦定理化简已知可得sinA=sin（A+），结合范围A∈（0，π），即可计算求解A的值； （2）利用等差数列的性质可得b+c=，利用三角形面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理即可解得a的值． 【详解】（1）∵asinB=bsin（A+）． ∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin（A+）． ∵sinB≠0，∴sinA=sin（A+）． ∵A∈（0，π），可得：A+A+=π，∴A=． （2）∵b，a，c成等差数列，∴b+c=， ∵△ABC的面积为2，可得：S△ABC=bcsinA=2， ∴=2，解得bc=8， ∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos =（b+c）2﹣3bc=（a）2﹣24，∴解得：a=2． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 高中数学暑假作业27参考答案 1．B 【分析】由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球面积，分别求出大圆面积和半个球表面积，即可得出答案. 【详解】由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球表面积， 大圆的半径为，球的半径为， 即.故选：B． 2．D 【分析】根据向量夹角余弦公式结合向量的坐标运算公式求参. 【详解】因为， 所以,化简得. 故选：D. 3．B 【分析】由，则，可求得，然后利用诱导公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 即，则， 所以.故选：B. 4．B 【分析】根据复数的类型得到，解之即可. 【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得， 故选：B. 5．D 【分析】由线面垂直和直接性质可判断，，，然后证明平面PAC可判断. 【详解】因为平面，平面，平面，平面 所以 所以为直角三角形， 又因为是圆的直径，所以，为直角三角形 因为，平面PAC，平面PAC 所以平面PAC 又平面PAC， 所以，为直角三角形 综上，四面体的四个面都是直角三角形.故选：D 6．ACD 【分析】由面面垂直的判定定理判断A；当P与重合时，，即可判断B；由线面平行即可判断C；由线面垂直的判定及性质即可判断D． 【详解】对于A，连接，，如图所示， 因为平面平面， 所以平面平面，故A正确； 对于B，当P与重合时，，故B错误； 对于C，连接， 因为，平面，平面， 所以平面，所以点P到平面的距离是定值，故C正确； 对于D，连接， 因为四边形为正方形，所以， 由正方体得，平面， 又平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以，故D正确． 故选：ACD． 7．ABD 【分析】利用正弦定理解三角形即可得解. 【详解】根据题意，可得在中，，， 所以； 因为在中，，， 所以， 由正弦定理得， 在中，． 故选：ABD. 8． 【解析】首先设 (，且)，代入方程，化简为，再分和两种情况求验证是否成立. 【详解】设，(，且) 则原方程变为. 所以，①且，②； （1）若，则解得，当时①无实数解，舍去； 从而，此时或3，故满足条件； （2）若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，， 所以. 综上满足条件的所以复数的和为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数. 9． 【分析】在中，利用正弦定理即可求得，在中，易得，在中，利用余弦定理即可求得. 【详解】解：在中，， ， 由正弦定理得， 所以， 在中，， 则， 所以， 在中， ， 所以. 故答案为：；. 10．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 高中数学暑假作业28参考答案 1．B 【分析】由正弦定理结合已知得，进而得三角形的形状. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 因此，显然都是锐角，，， 所以为等腰三角形. 故选：B 2．A 【分析】利用给定条件借助正弦定理边化角并求出角A，再由余弦函数单调性即可作答. 【详解】在中，，，而函数在上单调递减，于是得， 由正弦定理及得：，而，即，解得， 显然为锐角，从而有，则，进而得， 所以的形状是等边三角形. 故选：A 3．C 【分析】用分别表示，在中，利用余弦定理可得答案. 【详解】在中，，， 在中，，， 在中，由余弦定理得， 即，解得米. 故选：C. 4．B 【解析】由题意可知所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果. 【详解】由题意可知，几何体是棱长为的正四面体， 所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差， 设正四面体的棱长为，则正四面体的高为， 设正四面体外接球半径为，则，解得， 所以打印的体积为：， 又， 所以， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题． 5．D 【分析】在△中有，再应用正弦定理求，再在△中，即可求塔高. 【详解】由题设知：， 又， △中，可得， 在△中，，则. 故选：D 6．ABD 【分析】对于A，B，由代入运算即可判断，对于C，代入，得其对应的点坐标，进行判断即可；对于D，将代入化简，再求即可判断. 【详解】对于A：由题意得：，故A正确； 对于B：由题意得：，故B正确； 对于C：由题意得：，则其对应的点为， ∵，则， ∴对应的点位于第三象限，故C错误； 对于D：由题意可得： ，故正确. 故选：ABD. 7．ABD 【分析】根据共轭复数的定义，复数的四则运算规则复数的三角表示乘方运算规则计算即可. 【详解】因为，所以，故A正确； ，故B正确； ， 故C错误，D正确； 故选：ABD. 8． 【分析】基本事件总数n=15×15×15=3375，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，由此能求出至少有1名学生选择“芯片领域”的概率. 【详解】第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响,基本事件总数n=15×15×15=3375， 至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”， 则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率. 【点睛】概率的计算: (1) 等可能性事件的概率一般用列举法列举出基本事件（也可用排列组合计算事件个数）,直接套公式求概率； (2)互斥（对立）事件、相互独立事件（条件概率）套公式求概率 (3)二项分布（超几何分布）直接套公式求概率. 9．2 【分析】以A为原点，AB，AD为，轴建立平面直角坐标系，易得各点坐标，设点坐标为，，根据所给等式建立坐标之间的关系，易得，得解． 【详解】以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴 建立平面直角坐标系， 则，，， 设，， ∴，，， ∵， ∴，∴， ∴，∴， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理，向量的坐标运算，建立适当的坐标系是解题的关键，属于中档题.． 10．（1）茎叶图见解析；（2）派乙更合适 【分析】（1）根据茎叶图的画法可画出茎叶图； （2）利用平均数公式分别求得甲、乙的平均数，利用方差公式分别求得甲、乙的方差，比较平均数与方差的大小，根据平均数与方差的实际意义可得结论. 【详解】（1）茎叶图如下： （2）甲的平均数为：=33， 乙的平均数为：（28+29+33+34+36+38）=33， 甲的方差为：， 乙的方差为：， 甲、乙的平均数相等，乙的方差更小，则乙的发挥更稳定，故乙参加比赛更合适． 高中数学暑假作业29参考答案 1．D 【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论. 【详解】因为，则，所以，， 同理可得，，故是的垂心. 故选：D. 2．C 【分析】根据虚数不能比较大小判断A，取可判断B，根据复数模的性质判断C，取特例可判断D. 【详解】当为实数时，成立，否则不成立，故A错误； 当时，满足，但不为纯虚数，故B错误； 当时，，故或，所以或，故C正确； 当时，，，即，故D错误. 故选：C 3．B 【分析】构造正方体将所求解的二面角转化为平面与平面所成二面角，利用二面角的平面角的定义，找到对应的角，求解即可. 【详解】构造正方体如图所示，    因为平面与平面所成二面角就是平面与平面所成二面角， 又平面,平面, 所以又所以 又所以 所以就是面与平面所成二面角的平面角， 因为构造几何体为正方体，故 故选：B. 4．B 【分析】根据投影向量的定义结合已知求得，再由与垂直，得，结合数量积得运算律即可得解. 【详解】解：因为在方向上的投影向量为， 所以， 所以， 因为与垂直， 所以， 即，解得. 故选：B. 5．B 【详解】试题分析：,所以 ,所以 ，即,所以 ，即解为钝角，所以 为钝角三角形，故选B. 考点：1.向量的几何运算； 2.余弦定理. 【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算与余弦定理判定三角形类型的问题，属中档题.在向量的几何运算中，通常是选择两个不共线的向量表示要运算的向量，即利用基底思想解决问题，通过这两个不共线的向量的运算达到要求的结果. 6．ABC 【分析】根据向量垂直的数量积为0可判断A，利用平面向量的几何意义及投影向量的概念可判断B选项，利用平面向量夹角公式的坐标表示可判断C选项，利用平面向量共线的坐标表示可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，所以，A正确； 对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，则，即，解得，故向量在向量上的投影向量为，B选项正确； 对于C选项，，，C选项正确； 对于D选项，，，所以与不共线，D选项错误. 故选：ABC. 7．BCD 【解析】利用向量共线的充要条件判断出A错，C对；利用向量的运算法则求出，求出，判断出B对，过作，交于，作，交的延长线于，则，然后可判断出D正确. 【详解】当时，，则在线段上，故，故A错 当是线段的中点时， ，故B对 为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故C对 如图，过作，交于，作，交的延长线于，则：； 又；，； 由图形看出，当与重合时：； 此时取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故D正确 故选：BCD 【点睛】结论点睛：若，则三点共线. 8． 【分析】根据条件结合余弦定理求解出的值，再根据正弦定理可得的关系，最后利用正弦定理进行边化角求解出结果. 【详解】因为，所以化简可得， 又，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以， 故答案为：. 9．③ 【分析】根据红球和黑球的数量，结合互斥事件和对立事件的定义，逐一对题目中的四个结论进行判断，即可得到结果 【详解】当两个球都为黑球时，“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，故①中的两个事件不互斥；当两个球一个为黑，一个为红时，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，故②中的两个事件不互斥；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，但有可能同时不发生，故③中两个事件互斥而不对立；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，但必然有一种情况发生，故④中两个事件对立．故答案为③． 【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件，熟练运用互斥事件与对立事件的定义是解答本题的关键，本题较为基础. 10．（1），（2） 【解析】（1）直接利用复数的四则运算进行求解； （2）利用复数的三角形式的四则运算进行求解. 【详解】（1） . （2） . 【点睛】本题考查复数代数形式的四则运算和复数的三角形式的四则运算，考查运算求解能力. 高中数学暑假作业30参考答案 1．B 【分析】利用和解出，再求 【详解】解：因为向量，满足，， 所以， 可得， 所以． 故选：B． 【点睛】利用可实现向量与向量的模的互化. 2．B 【分析】根据向量的加法和向量的数量积的定义，以及再利用基本不等式可得出，可得选项. 【详解】作出图形如下图所示，，而此时，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是， 故选：B. 【点睛】本题考查向量的加法和向量的数量积的运算，以及基本不等式的应用求最值，属于中档题. 3．B 【分析】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形OABC的面积. 【详解】设轴与交点为D，因O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，则，又B′C′∥y′轴，则四边形为平行四边形，故.又，结合A′B′⊥x′轴，则，故. 则四边形面积为，因四边形面积是四边形OABC的面积的倍，则四边形OABC的面积为. 故选：B 4．C 【解析】对两边平方后，结合进行化简可得：；由基本不等式可得，于是推出，再结合平面向量数量积即可得解． 【详解】因为，所以 ， 所以，即， 由基本不等式的性质可知，， ， 所以． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可． 5．B 【分析】根据条件，利用投影向量的定义即可求出结果. 【详解】因为，得到， 所以在上的投影向量为， 故选：B. 6．ACD 【分析】根据空间角的位置关系，以及边角所在的三角形，应用正余弦定理及空间角的三余弦定理，判断各选项是否可以求出的高度即可. 【详解】A：根据，，，由正弦定理求，再结合可求的高度，正确； B：在△、△都只有一边一角，不能求出其它角或边，无法求的高度，错误； C：根据，，，由正弦定理求，再结合可求的高度，正确； D：由，可得：，结合由正弦定理求，再由可求的高度，正确； 故选：ACD 7．CD 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法判断即可. 【详解】由事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”， 可知两事件互不影响，即M与N相互独立， 易得，，所以,且， 综上，选项C和选项D正确. 故选：CD. 8．绝对值 【分析】略 【详解】略 9． 【分析】结合韦达定理和二次方程虚根的概念即可求解. 【详解】由题可知，， 设，a，b∈R， 则， 则． 故答案为： 10． 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即可. 【详解】因为 ． 高中数学暑假作业31参考答案 1．D 【分析】由得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，为正三角形，根据向量的投影的定义可得选项. 【详解】解法一：连接BC，由得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，为正三角形，所以，弦AB的长为，所以在方向上的投影为， 故选：D. 解法二：由，得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，建立如图所示的直角坐标系，则，所以，，所以， 所以，所以在方向上的投影为， 故选：D. 【点睛】本题考查向量的投影的定义和运算，关键在于由向量间的关系得出三角形的特殊性，属于中档题. 2．D 【分析】建立平面直角坐标系，设出，表达出，利用三角换元求出最小值. 【详解】以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设， 因为，则，且，故， 所以， 令，则， 则， 因为，所以，， 故， 所以的最小值为，当且仅当时取得.    故选：D 3．B 【分析】要满足平面，只需要寻找一个平面，使该平面经过，且与平面平行即可, 取的中点G，的中点H，连结.证明出面面.得到点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形，求出周长即可. 【详解】取的中点G，的中点H，连结. 正方体的棱长为2.为中点，所以,所以且. 因为为分别为的中点，所以,且，所以四边形为平行四边形，所以. 因为面，面，所以面. 同理可证：面. 又,面,面, 所以面面. 所以点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形. 因为正方体的棱长为2，所以, 所以三角形的周长为. 故选：B 4．B 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 5．D 【分析】作出一个正方体，借助正方体的空间结构得出结果. 【详解】解：如图，在正方体中，取，， 若取时，和是异面直线，和是异面直线，则； 若取时，和是异面直线，和是异面直线，则和相交； 若取时，和是异面直线，和是异面直线，则和异面. 综上所述，和平行、相交或异面. 故选：D. 6．ABD 【分析】根据频率之和为1求判断A；根据众数定义判断B，根据频率直方图求平均值判断C，根据中位数的求法判断D. 【详解】由题意知，解得，故A正确； 估计这100名学生成绩的众数是，故B正确； 估计这100名学生成绩的平均数为，故C错误； 设这100名学生成绩的中位数为m，所以，，解得，故D正确． 故选：ABD． 7．ABC 【分析】A. 根据直线的位置关系判断；B. 根据直线与平面的位置关系判断；C. 根据平面与平面的位置关系判断；D. 根据面面平行的性质定理判断. 【详解】A. 因为，，则平行或相交，故错误； B. 因为，，则或 ，或 ，故错误； C. 因为，，，，则平行或相交，故错误； D. 因为，，，由面面平行的性质定理得 ，故正确； 故选：ABC 8． 【分析】根据投影向量的定义，直接求得答案. 【详解】由题意可得 ， 故.答案为： 9．2 【分析】连接交于点，连接，先由线面垂直的性质定理可知，再结合线面垂直的判定定理得面，从而有．结合为等腰△以及，可推出也为等腰△，，于是，最后根据线面平行的性质定理可证得，，从而得解． 【详解】如图所示，连接交于点，连接， 平面，面，， ，，、面，面， 面，． ，，，， 又，，为等腰直角三角形，， ． 平面，面，且平面平面， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查空间中线与面的位置关系，熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力能力和运算能力，属于中档题． 10．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先利用题给条件求得的值，再利用余弦定理即可求得的值； （2）选①时先利用正弦定理求得的值，再利用题给条件推得，进而得到的值；选②时先利用余弦定理求得的值，再利用题给条件推得，进而求得的值. 【详解】（1）因为，，，所以， 由余弦定理得， 解得. （2）①当时，在中，由正弦定理，， 即，所以. 因为，所以， 所以，所以. ②当时，在中，由余弦定理知，. 因为，所以， 所以，所以， 所以. 高中数学暑假作业32参考答案 1．A 【分析】由可得，已知，由即可得到半径. 【详解】∵， ∴，化为：. ∴，∵，∴， ∵，由正弦定理可得， 解得，即外接圆的半径为2. 故选：A. 【点睛】本题考查余弦定理和正弦定理的应用，属于简单题. 2．A 【分析】在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F，则由共线定理得，，然后逐个验证即可. 【详解】依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F， 则有，其中，. 因为， 所以①，满足条件； ②，满足条件； ③，不满足条件； ④，不满足条件. 故选：A. 3．C 【分析】根据题意可求得，结合与的关系分析判断. 【详解】由题意可得：， 则， 故与共线，且， ∴四边形ABCD是梯形． 故选：C. 4．B 【分析】要想体积最大，需高最大，当平面面时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论. 【详解】在矩形中，已知，E是的中点， 所以为等腰直角三角形； 斜边上的高为， 要想三棱锥的体积最大；需高最大，则平面面时体积最大， 此时平面．三棱锥的高等于：； 因为三棱锥外接球的体积为，可得，解答， 取的中点H，连接， 由平面．得平面，∴， 由已知是正方形，．且与平分于，∴， 即为外接球球心，∴，即． 故选：B. 【点睛】本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型. 5．C 【分析】根据向量的加法、减法的几何意义判断平行四边形为矩形，即可得解. 【详解】在平行四边形中，，， 因为，所以四边形为矩形， 又，所以四边形为正方形， 所以四边形的面积为. 故选：C 6．ABD 【详解】利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式即可求解. 【解答】根据对称性，所以，故A正确； 在中，，而， 所以， ， 由正弦定理得，解得， 又因为，所以，故B正确 不妨设，， 由余弦定理，解得， 所以，故C错误； 若是的中点，， 所以,故D正确. 故选：ABD． 7．AD 【分析】运用向量的数量积定义，运算律,夹角概念逐个计算验证即可. 【详解】 A √ 根据向量的运算律可知，A正确 B × 表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，则与不一定相等 C × 当两个非零向量与的方向相反时，，此时与的夹角为，不是钝角 D √ 若与中至少有一个零向量，则，此时与共线； 若与均为非零向量，设与的夹角为，则，可得． 又，所以或，即与共线，反之也成立． 综上， 故选：AD. 8．①③④⑤⑥⑦ 【分析】分别作出平面去截一个正方体所得到的截面形状，进而得到正确选项. 【详解】用一个平面去截一个正方体， 当仅与共点的三条棱相交时，所得到的截面形状是三角形：    设， 则 则， 则均为锐角，则截面形状是锐角三角形. 则①判断正确；②判断错误； 用一个平面去截一个正方体，当截面为时， 四边形为矩形.则③判断正确；    用一个平面去截一个正方体， 当截面为（分别为中点）时， 四边形为菱形，令正方体棱长为a， 则，则， 则不是直角，则四边形不是矩形.则④⑤判断正确；    用一个平面去截一个正方体， 当截面为（分别为四等分点点）时， 为五边形，则⑥判断正确；    用一个平面去截一个正方体， 当截面为（分别为所在棱中点）时， 为正六边形，则⑦判断正确；    正方体仅有6个面，因此截面不可能为七边形.则⑧判断错误. 故答案为：①③④⑤⑥⑦ 9． 【分析】根据给定条件，利用基底向量表示出，再借助平面向量基本定理列式计算作答. 【详解】在中，由得：，因为P是BN上的一点，则有， 即，， 又，且不共线，于是得，解得， 所以实数m的值为. 故答案为： 10．(1)方式1采用的是简单随机抽样法，方式2采用的是分层抽样法； (2)答案见解析； 【分析】（1）根据抽样的定义即可合理选取不同的抽样方式； （2）利用简单随机抽样和分层抽样的定义即可写出具体步骤； 【详解】（1）根据题意可知，方式1采用的是简单随机抽样法，方式2采用的是分层抽样法； （2）方式1抽样的步骤如下： 在全年级10个班中用抽签法任意抽取一个班级，考察他们的成绩； 方式2抽样的步骤如下： 第一步：分层 把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别； 第二步：确定各个层抽取的人数 由于样本容量与总体个数比值为， 所以每层抽取的个体数依次为人，人，人； 第三步：按层分别抽取样本人数 在优秀学生中用简单随机抽样法抽取6人， 在良好学生中用简单随机抽样法抽取18人， 在普通学生中用简单随机抽样法抽取16人， 高中数学暑假作业33参考答案 1．B 【分析】由平面的线性运算，把给定的等式转化为用含的边的向量等式，再由模的意义即可求解. 【详解】在中，， 所以， 所以，即， 即， 可得，因与均为非零向量， 则，即，是直角三角形. 故选：. 2．B 【分析】根据已知条件及余弦定理，再利用正弦定理、三角形内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角形的为锐角三角形得出角的范围即可求解 【详解】由，得， 由余弦定理得，所以， 即，由正弦定理得, 因为, 所以, 即. 因为为锐角三角形， 所以或，解得或（舍）， 因为为锐角三角形，. 所以. 故选：B. 3．B 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解． 【详解】解：，，是三个事件，给出下列四个事件： （Ⅰ），，中至少有一个发生； （Ⅱ），，中最多有一个发生； （Ⅲ），，中至少有两个发生 （Ⅳ），，最多有两个发生； 在中，Ⅰ和Ⅱ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件； 在中，Ⅱ和Ⅲ既不能同时发生，也不能同时不发生，故中的两个事件相互为对立事件； 在中，Ⅲ和Ⅳ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件； 在中，Ⅳ和Ⅰ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件． 故选：． 【点睛】本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 4．A 【详解】每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为,未命中敌机的概率为,且各次射击相互独立，若射击一次就击落敌机，则他击中利敌机的机尾，故概率为；若射击次就击落敌机，则他次都击中利敌机的机首，概率为；或者第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为 ,若至多射击两次，则他能击落敌机的概率为 ,故选. 5．C 【分析】由已知利用余弦定理可得，解得a值，由已知可求中线，在中，由余弦定理即可计算AB边上中线的长． 【详解】解：， 由余弦定理，可得， 整理可得：，解得或3． 如图，CD为AB边上的中线，则， 在中，由余弦定理，可得：，或， 解得AB边上的中线或． 故选C． 【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题． 6．ABD 【分析】根据正弦定理进行边化角求角，从而判断选项A，B正确；把四边形的面积表示成的三角函数，从而根据三角函数求最值. 【详解】因为， 所以由正弦定理，得， 所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因此正确； 四边形面积等于 ， 所以当时，. 因此D正确，错误. 故选：ABD. 7．ACD 【分析】求出，，再求出、，即得解. 【详解】因为， 所以， 则，所以复数在复平面内所对应的点在第一象限. ，则选项A，C，D正确，选项B错误. 故选：ACD 8． 【分析】由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为， 利用扇形的弧长公式和勾股定理，即可求解. 【详解】由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π． 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 ， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，解得， 所以展开图中圆心角为90°， 根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是． 【点睛】本题主要考查了旋转体的侧面展开图的应用问题，其中解答中根据圆锥的侧面展开图，利用弧长公式求解圆心角的度数，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力. 9． 【分析】利用复数的几何意义得z对应的点的轨迹为以为圆心半径为的圆，将题意转化为圆上的点到原点的距离，进而可得结果. 【详解】表示z对应的点的轨迹为以为圆心半径为的圆， 故复数z的模即圆上的点到原点的距离，则， 故z的模的范围是. 故答案为： 10．详见解析 【分析】根据题意利用线面平行的性质定理，寻找过已知直线的平面和已知平面的交线，转化成线线平行，即可求证． 【详解】证法1如图，过直线a作平面，交平面于直线b．且；过直线a作平面，交平面于直线c． ，．，．． 又，且，． 而平面经过直线b交平面于直线l，． ，． 证法2如图，在直线l上取一点P，过点P和直线a作平面与平面相交于直线m，与平面相交于直线n． ，． ，． ，过直线a外一点P有且只有一条直线与直线a平行， 直线m与直线n重合，且重合于平面，的交线l． ． 【点睛】注意从本例的两种证法可以看出，证明已知平面外的一条直线和已知平面内的一条直线平行的基本步骤是：先过平面外的已知直线作一个平面与已知平面相交，得已知直线和这两个平面的交线平行，然后设法证明平面内的已知直线和交线平行，利用公理4完成证明．证法1交替使用了直线与平面平行的性质定理和判定定理，证法2运用了“同一法”，两种证法中的直线b，c，m，n是通过作辅助平面得到的，不能说成“在平面内作一条直线b，使”，因为这样的作图方法本身需要证明． 高中数学暑假作业34参考答案 1．A 【详解】因为,所以, (负舍) 因此复数的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A. 2．C 【解析】对于①，由，根据大角对大边得，进而得到为锐角，即此三角形最多有一解，此说法正确；对于②，若，且，得到，此三角形为直角三角形，且，此说法正确；对于③取一个特例：时，，由为锐角，得到也为锐角，此三角形只有一解，此说法错误；从而得到结果. 【详解】由，知B为锐角，则此三角形最多有一解，故①说法正确； 若，且，则，即，此三角形为直角三角形， 故②说法正确； 当，且时，A=B，此三角形为等腰三角形，只有一解，故③说法错误. 故正确说法的个数为2. 故选：C 【点睛】该题考查的是有关正确命题的个数问题，涉及到的知识点有正弦定理，三角形解的个数，属于基础题目. 3．B 【分析】把化为复数的三角形式，根据复数对应的向量旋转所得向量，求解即可. 【详解】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得 ， 由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得， 所以. 故选：B. 4．A 【分析】确定，得到，根据计算得到答案. 【详解】，故，则， 又是上一点，所以，解得. 故选：A. 5．A 【解析】（1）中由于1200名学生各个学生层次之间存在明显差别，故（1）适合采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而且样本容量不大，故（2）适合采用简单随机抽样． 【详解】（1）中由于1200名学生各个学生层次之间存在明显差别，故（1）适合采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而且样本容量不大，故（2）适合采用简单随机抽样．故问题和方法配对合理的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故选A． 【点睛】本题主要考查了简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，属于中档题. 6．BC 【分析】设，，利用向量的基底表示的方法表示出向量，然后计算，并且表示为关于的关系式，再结合的取值范围判断即可. 【详解】解析：如图所示，由题意知，，两两夹角均为，设，，则，所以 因为，，所以，即. 故选：BC. 【点睛】利用向量计算距离的取值范围问题，一是建立直角坐标系，表示相关点的坐标，利用模长的坐标公式表示出所求距离，再利用函数的性质或者基本不等式求解最值；二是利用向量的基底表示方法表示出所求向量，计算模长的平方，然后利用函数的性质或者基本不等式求解最值. 7．AD 【分析】选项A：由线面垂直的判定定理，以及线面垂直的性质定理得出； 选项B：平移法找出异面直线所成角，构造三角形，求解三角形可得； 选项C：找出线面垂直，作出线面角，再求解三角形可得； 选项D：运用线面平行的判定定理，以及线面平行的性质定理可得. 【详解】对于A：由圆柱的性质得：面，面， 又是下底面圆的直径 又，面，面 面，又面 ，又 又，面，面 面，又面，A正确； 对于B：过点作交于点，如图 则就是直线与直线所成角（或补角） 设，则 在中， ， 在等腰中，，又 在中，，， 即： 在中，，， 在中，， ，B错误； 对于C：取的中点，连接，如图所示 则：，面，又面 又，面，面 面 就是直线与平面所成角 又 ，C错误； 对于D：在中，，， ，又面，面 面 又平面平面，面 ，D正确. 故选：AD. 8．10 【分析】：利用图像先推算出最大数为11，再根据样本的数据互不相同，排除最大数为11，再推算最大数为10时，存在这样的5个数，最后得出答案． 【详解】：由题意，、、、、 ，该样本的平均数为7，则．样本的方差为4，则.如图，表示1,2,3,4,5个点分别位于7的上下两侧，那么，所以， 设，那么，必然存在样本数据相等，不满足题意． 设，那么，不妨设，，，，且满足．所以在最大值为10时存在5个数都为整数满足题意．    【点睛】：本题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，可以把平均数看作中位数，依次推导数字的大小，题目要求每个数都为整数，且各不相同，所以解题时可以采用排除法从大到小分类讨论． ‘’ 9． 【分析】由线面垂直关系，利用分割法求三棱锥体积，由垂直关系结合球心性质找到球心位置，再运算求解球半径即可. 【详解】如图，    取的中点，连接，， 因为，， 又平面，平面，， 所以平面，平面， 所以平面平面，同理可证，平面平面， 设和的中心分别为、，在平面内，过、分别作的垂线，设交点为，即， 又平面平面，由面面垂直的性质定理可知，平面， 同理可得， 平面，即球心为，设“鞠”的半径为，连接， 则， 即：， 又，， 所以，又顶点A在底面的射影落在内，则， 由，为公共边，得与全等， 则为的角平分线，所以. 在中，因为，则 在中，，， 所以该“鞠”的表面积. 故答案为： 10．(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，数字0的个数为11，得到概率. （2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案. （3）考虑时，当时，当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案. 【详解】（1）当时，， 即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11， 则恰好取到0的概率为； （2）当时，这个数有1位数组成，； 当时，这个数有9个1位数组成，个两位数组成，则； 当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，个三位数组成，； 当时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成个四位数组成，； 综上所述：， （3）时，， 当时，； 当时，，即， 同理有， 由，可知， 所以当时，， 当时，，当时，， 当时，， 由关于k单调递增， 故当时，有的最大值为， 又，所以当时，的最大值为． 【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键. 高中数学暑假作业35参考答案 1．B 【分析】根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值. 【详解】依题意，由于，所以，解得. 故选B. 【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量减法的坐标运算，属于基础题. 2．D 【分析】球心O是的中点，球半径，取AB的中点D，可知，求得,利用勾股定理证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，进而求得点P到底面的距离 【详解】∵三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，为球O的直径且， ∴球心O是的中点，球半径， 取AB的中点D，连接OD，OB，则，且 ∵满足，，∴ ，∴ 又，平面，平面 所以点P到底面的距离为, 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查点到平面的距离的求法，关键是分析出球心O到平面ABC的距离，利用线面垂直的判定定理证得平面，求出OD即可求出点到底面的距离. 3．B 【分析】作图可得：以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体可以看成两个各条棱长均相等的正四棱锥底面重合构成的组合体，各侧面面积之和即为所求. 【详解】所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的侧面积之和，如图： 四棱锥的侧棱长， 以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积：． 故选：B 【点睛】此题考查多面体表面积求法，关键在于准确找出几何体的特征，以及边角特殊关系，对空间想象能力要求较高. 4．A 【分析】作出图示，根据正切的二倍角公式和解直角三角形求得塔的高度，再运用等面积法可求得选项. 【详解】如下图所示，设，则，， 则，解得， ，解得， 所以，解得， 所以，， 要使点处测得塔顶的仰角为最大，则需最大，也即需最小，所以， 又，即， 所以点到塔底的距离为， 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查立体图形的计算实际运用，关键在于依据已知作出图形，明确已知条件中的数据在图形中的表示，再运用解三角形的知识得以解决. 5．B 【解析】根据体积求出正方体棱长，根据面面平行性质补齐截面图形即可求解面积. 【详解】依题意得，N是的中点，， 则， 延长直线MN于P，延长交直线MN于Q， 连接AP交于E，连接AQ交于F， 作出截面AFNME如下图所示， 则中，， 故的面积 =， 四边形MNFE的面积 ，故所求截面面积为.故选:B. 【点睛】此题考查面面平行的性质的应用，根据性质补齐截面图形. 6．ACD 【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有，由正弦定理即可证；D若，，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△的形状. 【详解】A：由，根据等比的性质有，正确； B：当时，有，错误； C：，而，即，由正弦定理易得，正确； D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为， 易知△为等边三角形，正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状. 7．ABC 【分析】对于A，利用面面垂直的性质定理得到平面，从而得以判断；对于B，利用线面垂直的判定定理推得平面，由此判断即可；对于C，利用面面垂直的判定定理，结合勾股定理即可判断；对于D，先证得与不重合，再推得平面平面，从而得到矛盾，由此判断即可. 【详解】对于A，因为平面平面ABEF，，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以，故A正确； 对于B，取棱的中点，连接，如图①， . 因为四边形ABCD与四边形ABEF全等，所以， 因为G为棱CE中点，所以， 因为，平面，所以平面， 由题意知，所以四边形为平行四边形， 所以，则平面，故B正确； 对于C，连接，如图①， 由题意知，所以， 又在直角梯形中易知，所以，即， 由选项A知，又平面， 所以平面，又平面，所以平面ADE⊥平面BDE，故C正确； 对于D，连接，过点作交的延长线于点，连接，如图②， . 由，得，所以， 此时， 所以，故与不重合， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 假设平面平面， 因为与不重合，所以平面与平面不重合， 又平面平面，则平面， 因为平面，所以，又，所以，这与矛盾， 所以假设不成立，故平面与平面不垂直，故D错误.故选：ABC. 8．0 【分析】由图可知四点共线,则,将问题转化为,以边为轴正方向,建系,设,,,分别写出各点坐标,利用数量积求解即可 【详解】设,,,如图建系, 则,, 因为,所以,, 因为点和点分别是边和的中点, 所以,, 则,, 所以, 因为, 所以 因为四点共线,所以, 则, 故答案为:0 【点睛】本题考查数量积的运算,考查向量的坐标表示的应用,考查三角函数的应用,考查数形结合思想 9．3R 【解析】由题意可知：球心的连线组成底面边长为，侧棱长为的正四棱锥，求出顶点到底面的距离，再加上小大球的半径即为顶点小球的球心到水平桌面的距离. 【详解】设小球球心为O，其他4个球的球心分别是A，B，C，D， 则它们构成一个正四棱锥，如图所示， 连接AC，BD，交于点，连接， 由题意知，所以.又，所以， 故点O到水平桌面的距离是， 故答案为：3R. 【点睛】该题考查的是有关利用所学知识来解决实际的问题，在解题的过程中，注意将问题进行正确的数学建模，涉及到的知识点有正四棱锥的高的求解，属于较难题目. 10．（1）结论①正确；证明见解析；结论②错误；答案见解析；（2）． 【分析】（1）①由平行四边形得线线平行，再得线面平行； ②假设平面，平面，得平面，得， 但，所以，与矛盾，故②错误. （2）将七面体进行分解， 七面体的体积等于，转化为容易求体积的几何体来计算； 也可补形为长方体,通过来求解； 以及利用空间直角坐标系也行. 【详解】（1）结论①正确，结论②错误，理由如下： 对于结论①，因为且，连接， 所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 平面结论①正确 对于结论②，若，则， 因为平面，，所以平面， 所以，又因为，所以平面， 所以，而在梯形中，， ，所以，与矛盾 所以结论②错误． （2）方法一：连接，交于点，连接， 则在平面中，与EG相交， 设交点为，则由可得， 又， 该七面体的体积等于 方法二：将该七面体补成如图所示的长方体； 方法三：建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离 后求三棱锥的体积．(参照给分 【点睛】充分利用题目信息，特别是几何体的几何特征，并会假设结论成立，推导，若得出矛盾，则假设错误，否则假设成立.复杂的不规则的几何体体积求解,需要转化为常见几何体的体积来解. - 67 - 学科网（北京）股份有限公司 $$