精品解析：宁夏银川市第三十八中学2024—2025学年下学期期末考试八年级数学试题

银川市第三十八中学2024～2025学年度第二学期期末教学测试 八年级数学试卷 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来，每小题3分，共24分．） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原不等式正确，符合题意； B、由可得，原不等式不正确，不符合题意； C、由可得，原不等式不正确，不符合题意； D、由不一定得到，例如，但是，原不等式不正确，不符合题意； 故选：A 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的定义， 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为整式的乘积形式． 【详解】A． 右边含分式，不符合整式乘积的要求，错误． B． 左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于乘法运算而非因式分解，错误． C． 右边为，仍是多项式相加的形式，未形成乘积，错误． D． 左边是平方差，分解为，符合整式乘积的定义，正确． 故选：D． 4. 如图，在中，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，平行四边形的对边互相平行且相等，对角线互相平分，据此判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 根据四边形是平行四边形无法得出， ∴选项B、C、D结论成立，选项A结论不一定成立， 故选：A． 5. 如图，一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一不等式，能利用函数图象直接得出不等式的取值范围是解答此题的关键．直接根据两函数图象的交点即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，函数的图象不在直线的下方， 所以关于x的不等式的解集是． 故选：B． 6. 珍珍在硬纸板中通过如图所示的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，正六边形的四周是长方形），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，正六边形的每个内角都为，再根据点B对应的周角为360度，可计算出的度数． 【详解】解：由题意可得， ∴， 故选：B． 7. 如图，在中，，，平分，若，则的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰三角形判定和性质等知识，推导出是解题的关键，由，求得，由平分，得，则，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：． 8. 如图，在中，，，，将沿着x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③……则旋转得到的第7个三角形的直角顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，平面直角坐标系中点的规律，掌握以上知识点是解本题的关键． 利用勾股定理得到的长度，结合图形可求出图③的直角顶点的坐标．根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合．据此可得出结果． 【详解】解：，，， ， 根据图形，每3个图形为一个循环组，，且第3、4个三角形的直角顶点在同一个位置， ， 第6、7个三角形的直角顶点在x轴上，横坐标为， 第7个三角形的直角顶点的坐标为， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式方法，是解题的关键．先提公因式，然后用完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 若分式的值为，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 方程两边乘以，得， 解得或， 检验：当时，；当时，， ∴分式方程的解为， 故答案为：． 11. 如图，为测量池塘岸边两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点，测得的中点，之间的距离是14米，则，两点之间的距离是___________． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行且等于第三边的一半”是解题的关键． 【详解】解：，分别是，的中点， 是的中位线， （米）， 故答案为：米． 12. 将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知．点，对应的刻度分别为，，则线段的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， ∵含角的直角三角尺， ∴， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∴线段的长为 故答案为：． 13. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据等边对等角，求出，外角的性质，得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点．熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．根据平移的性质可得，再根据列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵梯形沿直线的方向平移到梯形的位置， ∴， 梯形的面积等于梯形的面积， ∵，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，于点，若，则两平行线与间的距离为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线性质，平行线间的距离，过点P作于F，作于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再根据平行线之间的距离的定义判断出的长即为与间的距离即可得到答案． 【详解】解：如图，过点P作于F，作于G， ∵是的平分线，， ∴， 同理可得 ∵，， ∴，即点F、P、G三点共线， ∴的长即为、间的距离， ∴平行线与之间的距离为 故答案为：5． 16. 有正方形纸片A和B(如图1)，如图2将正方形B放置在正方形A内部，测得阴影部分面积为2，如图3将正方形A和正方形B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为6，如图4将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形(图3、图4中正方形纸片A，B均无重叠部分)，则图4中阴影部分面积为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景以及整式的加减，设正方形纸片A和B的边长分别为：a，b，由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，即可得出答案． 【详解】解：设正方形纸片A和B的边长分别为：a，b， 由图1可知，阴影部分面积， 图2可知，阴影部分面积， 所以， 由图3可知，阴影部分面积 ． 故答案为：14． 三、解答题（共72分） 17. 计算：解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】，不等式组的整数解为：，0，1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，0，1 18. 解下列分式方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程转化为整式方程，解得x的值后检验即可． 【详解】解：， 化简得：， 分式方程两边同乘以，得， 解得， ∵当时，， ∴经检验，是原方程的增根． ∴原方程无解． 19. 按要求填空：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步 … （1）上面第二步计算中，中括号里的变形是______，其依据是______． （2）上面运算过程中第______步出现了错误，请你写出完整的解答过程． 【答案】（1）通分，分式基本性质； （2）三，见解析． 【解析】 【分析】（1）根据分式的基本性质填写即可． （2）根据分式的运算法则，先乘除，后加减，有括号的先算括号内的． 【小问1详解】 上面第二步计算中，中括号里的变形是通分，其依据是分式的基本性质． 【小问2详解】 原式 故答案为：三 【点睛】此题考查了分式的运算求解，解题的关键是熟悉分式的运算法则． 20. 如图，在7×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有线段AB，点A，B，C均在小正方形的顶点上． （1）将线段AB绕着点C逆时针旋转90°得到线段DE（点A，B的对应点分别为点D，E），请画出线段DE； （2）以AD为对角线作▱AEDF，画出平行四边形AEDF，并直接写出平行四边形AEDF的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；8 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点D、E即可； （2）把D点向上平移2个得到F点，把A点向下平移2个得到E点，则四边形AEDF满足条件，然后利用平行四边形的面积公式计算它的面积． 【详解】解：（1）如图，线段DE为所作； （2）如图，▱AEDF为所作， ▱AEDF的面积=2×4=8． 【点睛】本题主要考查旋转变换以及平行四边形的定义，根据题意，找出图形变换后的对应点，是解题的关键． 21. 如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据“”证明即可． 【详解】证明：，，点E、F为垂足， ， 和均为直角三角形． 为的中点， ． 在和中， ， ． 22. 如图，已知△ABC，∠C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等． （1）用直尺和圆规，作出点D位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数． 【答案】（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．（2）16°． 【解析】 【分析】（1）根据到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作出AB的中垂线． （2）要求∠CAD的度数，只需求出∠CAB，而由（1）可知：∠BAD=∠B 【详解】解：（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）． （2）∵在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°． 又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°． ∴∠CAD=53°—37°=16°． 23. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求的周长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 24. 为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买．已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购1顶太阳帽和2把太阳伞共需要50元． （1）求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价； （2）若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每顶太阳帽的进价为10元，每把太阳伞的进价为20元 （2）购进太阳帽400顶、太阳伞200把可使销售所获利润最大，最大利润为4000元 【解析】 【分析】（1）设每顶太阳帽的进价为a元，每把太阳伞的进价为b元．根据题意，得 ，解方程组求解即可． （2）设购进太阳帽x顶，则购进太阳伞把，构造不等式，利用一次函数增减性解答即可． 本题考查了方程组的应用，不等式的应用，一次函数的性质的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每顶太阳帽的进价为a元，每把太阳伞的进价为b元． 根据题意，得 解得 ． 答：每顶太阳帽的进价为10元，每把太阳伞的进价为20元． 【小问2详解】 解：设购进太阳帽x顶，则购进太阳伞把． 根据题意，得， 解得， 设销售所获利润为w元，则． ∵． ∴w随x的减小而增大， ∵， ∴当时w的值最大， （把） 答：购进太阳帽400顶、太阳伞200把可使销售所获利润最大，最大利润为4000元． 25. 某校计划在期末对校级“三好学生”进行表彰，准备购买某款精装硬皮笔记本作为奖品．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价统一，花费300元购买这款笔记本的数量比花费100元购买这款笔记本的数量多20本． 学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲商店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设该校购买本笔记本，在甲商店购买所花费用为元，在乙商店购买所花费用为元．其函数图象如图所示． （1）求这款笔记本的单价． （2）求图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． （3）当时，根据图象直接写出该校应选择哪家商店购买笔记本． 【答案】（1）这款笔记本的单价为10元 （2），点M表示的实际意义：当学校购买70本笔记本时，在两家商店所花费用相同，均为660元 （3）当时，应选择甲商店购买； 当时，在两家商店购买所花费用相同，任选一家购买即可； 当时，应选择乙商店购买 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用． （1）设这款笔记本的单价是x元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）根据优惠活动分别写出、关于x的函数关系式，令，得关于x的一元一次方程并求解，说明点M的实际意义即可； （3）根据图象和点M的坐标作答即可． 【小问1详解】 解：设这款笔记本单价为x元， 根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：这款笔记本的单价为10元； 【小问2详解】 解：当时，， ∴当时，与x之间的函数关系式为； 当时，， ∴当时，与x之间的函数关系式为． 由图象可知，点M是函数和图象的交点， 故令，解得，此时， ∴点M的坐标为， 点M表示的实际意义：当学校购买70本笔记本时，在两家商店所花费用相同，均为660元； 【小问3详解】 解：由图象可知：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，应选择甲商店购买； 当时，在两家商店购买所花费用相同，任选一家购买即可； 当时，应选择乙商店购买． 26. （1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接． ①填空：的度数为______． ②线段、之间的数量关系是_______． （2）拓展研究： 如图2，和均为等腰三角形，且，点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度． （3）探究发现： 图1中的和，在旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线与相交于点O，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，并说明理由． 【答案】（1）①60°；②；（2）AB的长度为17；（3）60°或120°，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数． （2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE． （3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE=60°． 【详解】（1）①如图1， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴． 故答案为：60°． ②∵， ∴， 故答案为：． （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图3，由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图4，同理求得， ∴， ∵的度数是60°或120°． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，得出△ACD≌△BCE（SAS）是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第三十八中学2024～2025学年度第二学期期末教学测试 八年级数学试卷 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来，每小题3分，共24分．） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C D. 4. 如图，在中，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 6. 珍珍在硬纸板中通过如图所示方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，正六边形的四周是长方形），则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，平分，若，则的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8. 如图，在中，，，，将沿着x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③……则旋转得到的第7个三角形的直角顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 分解因式：___________． 10. 若分式的值为，则实数的值为______. 11. 如图，为测量池塘岸边两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点，测得的中点，之间的距离是14米，则，两点之间的距离是___________． 12. 将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知．点，对应的刻度分别为，，则线段的长为______ ． 13. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是______． 14. 如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为_____________． 15. 如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，于点，若，则两平行线与间的距离为__________． 16. 有正方形纸片A和B(如图1)，如图2将正方形B放置在正方形A内部，测得阴影部分面积为2，如图3将正方形A和正方形B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为6，如图4将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形(图3、图4中正方形纸片A，B均无重叠部分)，则图4中阴影部分面积为______． 三、解答题（共72分） 17. 计算：解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 18. 解下列分式方程：． 19. 按要求填空：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步 … （1）上面第二步计算中，中括号里的变形是______，其依据是______． （2）上面的运算过程中第______步出现了错误，请你写出完整的解答过程． 20. 如图，在7×8正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有线段AB，点A，B，C均在小正方形的顶点上． （1）将线段AB绕着点C逆时针旋转90°得到线段DE（点A，B的对应点分别为点D，E），请画出线段DE； （2）以AD为对角线作▱AEDF，画出平行四边形AEDF，并直接写出平行四边形AEDF的面积． 21. 如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 22. 如图，已知△ABC，∠C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等． （1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数． 23. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求的周长． 24. 为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买．已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购1顶太阳帽和2把太阳伞共需要50元． （1）求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价； （2）若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 25. 某校计划在期末对校级“三好学生”进行表彰，准备购买某款精装硬皮笔记本作为奖品．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价统一，花费300元购买这款笔记本的数量比花费100元购买这款笔记本的数量多20本． 学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲商店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设该校购买本笔记本，在甲商店购买所花费用为元，在乙商店购买所花费用为元．其函数图象如图所示． （1）求这款笔记本单价． （2）求图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． （3）当时，根据图象直接写出该校应选择哪家商店购买笔记本． 26 （1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接． ①填空：的度数为______． ②线段、之间的数量关系是_______． （2）拓展研究： 如图2，和均为等腰三角形，且，点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度． （3）探究发现： 图1中的和，在旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线与相交于点O，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $