精品解析：云南省德宏州2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

云南省德宏州2024-2025年春季学期高一年级期末 数学试卷 考试时间： 120 分钟 满分： 150 分 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第 I 卷 选择题 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.只有一项是符合题目要求的） 1 已知，则（ ） A. B. 5 C. 7 D. 25 2. 已知，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 3. 若，是不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 在中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 6. 在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两队进行接球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（ ） A. 0.2小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 1小时 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ） A. 中位数为3 B. 方差为 C. 众数为3 D. 分位数为4.5 10. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是 A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是红球” 11. 如图，在矩形AEFC中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 三棱锥外接球半径为 第 II 卷 非选择题 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.) 12. 有一批产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，现用按比例分层随机抽样的方法从这批产品中抽出16件进行质量分析，则抽取的一等品有______件. 13. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______． 14. 如图，扇形的弧的中点为，动点，分别在线段，上，且，若，，则的取值范围是______． 四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点． （1）求证：平面； （2）若是线段的中点，证明：平面平面． 16. 某校高二年级组织了一次专题培训，从参加考试的学生中出名学生，将其成绩(均为整数)分成为，，，，组，得到如图所示的率分布直方图： (1)求分数值不低于分人数； (2)计这次考试的平均数和中位数(保留两位小数)； (3)已知分数在内的男性与女性的比为，为提高他们的成绩，现从分数在的人中随机抽取人进行补课，求这人中只有一位男性的概率. 17. 猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等. （1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 18. 在中，角，，的对边分别是，，，向量，向量，且满足. （1）求角的大小； （2）若外接圆的半径是1，求当函数取最大值时的周长. 19. 如图， 是 的直径， ，点 是 上的动点， 平面 ，过点 作 ，过点 作 ，连接 . （1）求证： ； （2）求证：平面 平面 ； （3）当 为弧 的中点时，直线 与平面 所成角为 ，求四棱锥 的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省德宏州2024-2025年春季学期高一年级期末 数学试卷 考试时间： 120 分钟 满分： 150 分 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第 I 卷 选择题 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. B. 5 C. 7 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念直接代入计算可得结果. 【详解】由可得， 因此. 故选：D 2. 已知，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，由此列方程可求出. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故选：A 3. 若，是不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面内直线、平面平行的性质判断即可. 【详解】对于A，若，，可能相交，A错误； 对于B，若，，可能异面，B错误； 对于C，若，，可能相交，C错误； 对于D，若，，两个平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，D正确. 故选：D. 4. 在中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的加减法则，根据向量定比分点代入化简即可得出结果. 【详解】如下图所示： 易知； 即可得. 故选：C 5. 在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将已知等式两边利用正弦定理化边为角，运用差角的正弦公式整理分析即得. 【详解】因，由正弦定理，，即, 因,则，故, ,即，故是等腰三角形. 故选：B. 6. 在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 7. 甲、乙两队进行接球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析出甲获得冠军的两种情况，分别求出概率相加即可. 【详解】甲获得冠军有两种情况，下一局甲赢得比赛，或下一局甲输，再下一局，甲赢， 故概率为， 故选：D 8. 如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（ ） A. 0.2小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 1小时 【答案】A 【解析】 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出长，即可求出结果. 【详解】由题意，在中，，，， 所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：A. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ） A. 中位数为3 B. 方差为 C. 众数为3 D. 分位数为4.5 【答案】AB 【解析】 【分析】先将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大顺序排列，再逐项判断. 【详解】解：将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的顺序排列为： 1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这组数据的中位数为，故A正确； 数据中2，3，出现的此时最多，所以众数为2和3，故C错误； 平均数为：， 则方差为，故B正确； 第分位数是数据中至少有的数据小于或等于该数，因此，从小到大第9个数字为5，故D错误， 故选：AB 10. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是 A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是红球” 【答案】AB 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义逐一对四个选项进行分析即可. 【详解】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A正确； “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确； “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确； “至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查互斥事件，解题关键是要理解互斥事件的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题. 11. 如图，在矩形AEFC中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明平面，再根据即可判断A；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点到平面距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断C；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D. 【详解】解：由题意可得，，又，平面PAC， 所以平面PAC， 在中，，AC边上的高为， 所以，故A正确； 对于B，在中，，， ， 所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，，设点A到平面PBC的距离为d， 由，得，解得， 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误； 由B选项知，，则， 所以的外接圆的半径， 设三棱锥外接球的半径为， 设外接球球心为，外接圆圆心为， 连接，可知平面， 又因为平面， 所以， 在直角三角形中， 可得：，所以， 即三棱锥外接球的半径为，故D正确. 故选：ABD． 第 II 卷 非选择题 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.) 12. 有一批产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，现用按比例分层随机抽样的方法从这批产品中抽出16件进行质量分析，则抽取的一等品有______件. 【答案】 【解析】 【分析】按抽取比例计算即可. 【详解】抽取的一等品的件数为. 故答案为： 13. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，则由题意可得，求出，从而可求出侧面积，进而可求得其表面积 【详解】设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形， 所以，解得， 所以圆锥的表面积为， 故答案为： 14. 如图，扇形的弧的中点为，动点，分别在线段，上，且，若，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】建立坐标系，写出的坐标，再根据向量数量积的坐标运算计算即可. 【详解】解：以为坐标原点， 所在直线为轴建立直角坐标系，则， 设，则， 因此. 故答案为：. 四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点． （1）求证：平面； （2）若是线段的中点，证明：平面平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明； （2）利用面面平行的判定定理证明. 【小问1详解】 证明：由四边形为正方形可知， 连接必与相交于中点，故， 面平面， 面． 【小问2详解】 由点分别为中点可得：， 面平面平面， 又由（1）可知，平面， 且，平面, 故平面平面． 16. 某校高二年级组织了一次专题培训，从参加考试的学生中出名学生，将其成绩(均为整数)分成为，，，，组，得到如图所示的率分布直方图： (1)求分数值不低于分的人数； (2)计这次考试的平均数和中位数(保留两位小数)； (3)已知分数在内的男性与女性的比为，为提高他们的成绩，现从分数在的人中随机抽取人进行补课，求这人中只有一位男性的概率. 【答案】（1）73人；（2）平均分：76.2，中位数：70.66；（3） 【解析】 【分析】(1)由题得分数值不低于分的人数为，计算即得解；（2） 利用频率分布直方图中平均数和中位数公式求这次考试的平均数和中位数；（3）利用古典概型的概率公式求这2人中只有一位男性的概率. 【详解】(1)由频率分布直方图可知满意度分数不低于分的人数为： 人， 所以分数不低于分的人数为人. (2)平均分：. 中位数：，. (3)的样本内共有学生人，即有名男性，名女性， 设三名男性分别表示为，，，四名女性分别表示为，，，， 则从名学生中随机抽取名的所有可能结果为：，，，，，,，，，，,，，，,，，,，,，共种. 设事件为“抽取人中只有一位男性”，则中所含的结果为：，，，,，，，,，，，共种. 所以事件发生的概率为. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、平均数和中位数的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 17. 猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等. （1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求. 【小问1详解】 设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”. 则，，，故，，. “甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥. 每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立. 所以. 答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为. 【小问2详解】 设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则. 所以. 解得. 18. 在中，角，，的对边分别是，，，向量，向量，且满足. （1）求角的大小； （2）若外接圆的半径是1，求当函数取最大值时的周长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据，，且，利用数量积运算和正弦定理化简得到，再由余弦定理得求解. （2）由（1）知，再根据取最大值条件，由二次函数的性质求得即可. 【详解】（1）因为，，且， 所以， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 所以， 因为， 所以. （2）由（1）知， ， ， 因为，所以， 所以当时，有最大值， 此时，. 故的周长是. 【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 19. 如图， 是 的直径， ，点 是 上的动点， 平面 ，过点 作 ，过点 作 ，连接 . （1）求证： ； （2）求证：平面 平面 ； （3）当 为弧 的中点时，直线 与平面 所成角为 ，求四棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直即可； （2）由线线垂直到线面垂直，再证明面面垂直； （3）图中有线面垂直，可以利用两个三棱锥的差，来计算所求的四棱锥的体积即可. 【小问1详解】 由于为圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以; 【小问2详解】 由（1）得，，，且平面， 所以平面，又由于平面，那么， 又因为，，平面， 所以平面，又由于平面，那么平面平面； 【小问3详解】 由（2）可知：平面，而直线与平面所成角为， 那么，且， 所以且， 那么 在中，，得， 所以 那么， ，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $