精品解析：云南省德宏师范高等专科学校附属天成中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

德宏师范高等专科学校附属天成中学2024年春季学期 期末考试高一年级（数学） 考试时长：120分钟，满分：150分，命题人：何明亮，审题人：陶继磊． 姓名：______班级：_________考号：______ 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别解出集合、，得到，进而得到. 【详解】由题得，故，所以. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 5. 将函数（）的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则φ的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用伸缩变换得到，，所以或，得到φ的最小值是． 【详解】由题意得，则， 所以或者，， 则或者，，因为，所以φ的最小值是． 故选：A． 6. 某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ） A. 400，32 B. 400，36 C. 480，32 D. 480，36 【答案】A 【解析】 【分析】根据图（1）及分层抽样可得样本容量及抽取的四居室户主人数，再结合图（2）可得抽取的户主对四居室满意的人数. 【详解】由图（1）得该小区户主总人数为人， 所以样本容量为人，其中四居室户主有人， 由图（2）得抽取的户主中对四居室满意的有人， 故选：A. 7. 已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数的图象与直线交点的横坐标，即为的零点，因此作出函数的图象，直线，由它们有三个交点可得出的范围，的关系，从而求得结论． 【详解】的零点，即为函数的图象与直线交点的横坐标，作出的大致图象及直线，如图，它们有三个交点， 由于，，因此，，， 而，即，所以， 所以， 故选：B． 8. 已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若为中点，连接，利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面面，结合已知条件有△为等腰直角三角形，进而可确定四面体外接球球心的位置，若为中点，连接，易知即为二面角的平面角，即可求其正切值. 【详解】若为中点，连接，由为等边三角形，则，又，且， ∴面，又面，即， 由题设，，，而， ∴，即，又，面， ∴面，而面，则面面， 由上可得：，则，故△为等腰直角三角形， ∴综上，四面体的球心为△的中心，即靠近的三等分点， 若为中点，连接，易知：即为二面角的平面角， 由上、且，面，可得面， 又面，则，即， ∴，而， ∴. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：根据线线垂直、勾股定理，结合线面、面面垂直的判定证面面且△为等腰直角三角形，即可确定四面体球心的位置，再由二面角的定义找到其平面角，最后由已知条件求其正切值即可. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，依次分析选项，综合可得答案. 【详解】对于A，若，不能证明，平面与可能平行也可能只相交不垂直，A错误； 对于B，若，则，又，则，B正确； 对于C，若，则，而，则，C正确； 对于D，若，则，又，则或，D错误. 故选：BC. 10. 已知，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最小值4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】由， 对于A中，由，可得，可得， 当且仅当时，等号成立，所以有最大值，所以A正确； 对于B中，由，因为有最大值，所以， 当且仅当时，等号成立，所以有最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，等号成立，所以有最大值，所以C不正确； 对于D中，由， 当且仅当时，等号成立，所以有最小值，所以D正确； 故选：ABD. 11. 将一个直径为8cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ） A. 底面直径为8cm，高为6cm的圆柱体 B. 底面直径为6cm，高为4cm的圆锥体 C. 底面边长为4cm，高为6cm的正四棱柱 D. 棱长为6cm的正四面体 【答案】BD 【解析】 【分析】根据球的几何性质，结合勾股定理，计算球心到选项中各几何体底面的距离，结合各几何体特征即可逐一求解. 【详解】对A：若圆柱的底面直径为8，此时球心到圆柱底面的距离为，故A错误； 对B：若圆锥的底面直径为6，则半径为3， 此时球心到圆锥底面的距离为， 故圆锥的高最大时为，故B正确； 对C：若正四棱柱底面边长为4，则底面外接圆半径为， 此时球心到正四棱柱底面的距离为， 故正四棱柱的高最大时为，故C错误； 对D：法一：若正四面体的棱长为6，则底面外接圆半径为， 此时球心到正四面体底面的距离为， 棱长为6cm的正四面体的高为，由，故D正确 法二：若将各棱长均为的四面体放入到棱长为的正方体中， 此时正方体的外接球直径为，故D符合，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，，则在方向上的投影的坐标为____. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，，再根据投影的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影的坐标为. 故答案为： 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 14. 对，，记，则函数的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出的图象，由图象可知当时，函数有最小值求解即可. 【详解】由题意画出的图象： 由图象可知当时，. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知复数． （1）若，且，求实数的值； （2）若为纯虚数，且，求复数的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入求出，利用复数相等可得答案； （2）根据为纯虚数求出，代入，再求可得答案． 【小问1详解】 若，则， ∵，∴， 可得； 【小问2详解】 ＝＝＝， ∵为纯虚数，∴，可得， ， ∴， ∴． 16. 记内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，再判断为锐角，即可求出、，从而求出，即可得解； （2）依题意可得，将两边平方，结合及数量积的运算律求出、，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为，由余弦定理可得， 又，所以， 又因为，由正弦定理可得，则，所以为锐角， 又，所以， 所以 ， 所以． 【小问2详解】 由（1）可得，，且， 因为， 所以 ， 所以，， 所以． 17. 某地红心猕猴桃因富含维生素C及K，等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”，某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质，从该基地随机摘下100个猕猴桃进行测重，其重量分布在区间内（单位：克），根据样本数据作出频率分布直方图如图所示. （1）根据频率分布直方图，分别求出样本数据的平均数和分位数； （2）已知该基地大约还有8000个猕猴桃，该收购商准备收购这批猕猴桃，提出了以下两种收购方案：方案一：所有猕猴桃均以20元每千克收购；方案二：小于90克的猕猴桃以10元每千克收购，不小于90克的猕猴桃以30元每千克收购；请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，视频率为概率） 【答案】（1）平均数为，分位数为 （2）方案二 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算平均数，再由百分位数计算规则计算百分位数； （2）分别求出两种方案的收入，即可判断. 【小问1详解】 依题意可得样本数据的平均数为 ； 因为，， 所以分位数位于，设为，则， 解得， 所以平均数为，分位数为； 【小问2详解】 选择方案一获得收入为（元）， 选择方案二获得收入为 （元）， 因为，所以选择方案二. 18. 如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【答案】（1）证明：连接交于点， 分别为的中点， ， 又平面，平面， 平面 （2）证明：设, ,设，则， 由勾股定理得，， M为棱AC的中点，由，得为，的三等分点， ， ，即， 在直三棱柱中，面面，且面面， M为棱AC的中点，， ，又面， 面，又面， ， 又，平面，平面， 平面. 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理得线线平行，再运用线面平行的判定定理即可. （2）设，利用相似三角形的性质结合勾股定理可计算，再由勾股定理可得，由面面垂直的性质定理可得面，继而可得，再运用线面垂直的判定定理即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知函数，满足以下条件： ①，； ②，，，. （1）求，的值. （2）判断函数，的奇偶性，并说明理由. （3）若，，试判断函数的周期性，并说明理由. 【答案】（1）， （2）是偶函数，是奇函数，理由见解析 （3）是以为周期的周期函数，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用特殊值进行代入计算得出结果； （2）利用函数奇偶性的定义，通过赋值进行分析判断函数的奇偶性； （3）利用周期函数的定义，通过进行分析判断函数的周期性； 【小问1详解】 令，则； 令，则 由①可取，得. 综上，，. 【小问2详解】 令，则， 即，，则是偶函数. 令. 即，，则是奇函数． 【小问3详解】 由题意得，，则． 又，则， 又， 则，进而， 所以，即是以为周期的周期函数. 【点睛】方法点睛：研究抽象函数相关性质的方法： 法一：利用单变量赋值法求出函数的性质，利用双变量赋值求出具体值，是抽象函数函数值此类题型的通性通法； 法二：利用熟悉的函数使抽象函数具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，也是此类题型的解题方法； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德宏师范高等专科学校附属天成中学2024年春季学期 期末考试高一年级（数学） 考试时长：120分钟，满分：150分，命题人：何明亮，审题人：陶继磊． 姓名：______班级：_________考号：______ 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 将函数（）的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则φ的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ） A. 400，32 B. 400，36 C. 480，32 D. 480，36 7. 已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最小值4 11. 将一个直径为8cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ） A. 底面直径为8cm，高为6cm的圆柱体 B. 底面直径为6cm，高为4cm的圆锥体 C. 底面边长为4cm，高为6cm的正四棱柱 D. 棱长为6cm的正四面体 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，，则在方向上的投影的坐标为____. 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 14. 对，，记，则函数的最小值为_____． 四、解答题（共77分） 15. 已知复数． （1）若，且，求实数的值； （2）若为纯虚数，且，求复数的模． 16. 记内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）若，且，求的面积． 17. 某地红心猕猴桃因富含维生素C及K，等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”，某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质，从该基地随机摘下100个猕猴桃进行测重，其重量分布在区间内（单位：克），根据样本数据作出频率分布直方图如图所示. （1）根据频率分布直方图，分别求出样本数据的平均数和分位数； （2）已知该基地大约还有8000个猕猴桃，该收购商准备收购这批猕猴桃，提出了以下两种收购方案：方案一：所有猕猴桃均以20元每千克收购；方案二：小于90克的猕猴桃以10元每千克收购，不小于90克的猕猴桃以30元每千克收购；请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，视频率为概率） 18. 如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 19. 已知函数，满足以下条件： ①，； ②，，，. （1）求，的值. （2）判断函数，的奇偶性，并说明理由. （3）若，，试判断函数的周期性，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $