专题01 集合的概念（题型归纳+题型训练+易错精练）-2025-2026学年高一数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题01集合的概念 【题型01：判断元素能否构成集合】 【题型02：判断是否为同一集合】 【题型03： 判断元素和集合的关系】 【题型04： 根据元素与集合的关系求参数】 【题型05：集合的表示方法】 【题型06：根据集合中元素个数求参数】 【题型07：根据两个集合相等求解】 【题型01：判断元素能否构成集合】 1．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 2．（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 3．（24-25高一上·广西南宁·期中）下列对象能组成集合的是（    ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 4．（24-25高一上·湖北·期中）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．中国古代四大发明 B．所有无理数 C．2024年高考数学难题 D．小于的正整数 5．（23-24高一上·广西南宁·期中）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4 【题型02：判断是否为同一集合】 1．（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（高一上·江西宜春·阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型03： 判断元素和集合的关系】 1．（24-25高一上·全国·周测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【题型04： 根据元素与集合的关系求参数】 1．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A．B． C． D． 3．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 5．多选题（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 【题型05：集合的表示方法】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西·开学考试）与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 4．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 5．（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．多选题（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）用列举法表示下列集合： (1) (2) (3) 【题型06：根据集合中元素个数求参数】 1．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．多选题（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 4．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 【题型07：根据两个集合相等求解】 1．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 2．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 4．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则 ． 5．（22-23高一上·甘肃定西·期末）设，集合，若，则 . 1．（24-25高一上·广东·阶段练习）集合中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 2．多选题（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．多选题（高一上·全国·课后作业）下列各组中的M，P表示同一集合的是（    ） A．M={3，-1}，P={(3，-1)} B．M={(3，1)}，P={(1，3)} C．M={y|y=-1}，P={t|t=-1} D．集合M={m|m+1≥5}，P={y|y=x2+2x+5，x∈R} 4．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，则的值为 ． 5．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 6．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 7．（23-24高一下·北京·期末）已知集合、．若，则 ． 8．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01集合的概念 【题型01：判断元素能否构成集合】 【题型02：判断是否为同一集合】 【题型03： 判断元素和集合的关系】 【题型04： 根据元素与集合的关系求参数】 【题型05：集合的表示方法】 【题型06：根据集合中元素个数求参数】 【题型07：根据两个集合相等求解】 【题型01：判断元素能否构成集合】 1．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【答案】C 【分析】由集合的三要素：确定性，互异性，无序性作出判断 【详解】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合； B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合； C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合； D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合. 故选：C. 2．（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 【答案】C 【分析】根据集合中的元素满足的特征即可求解. 【详解】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误， 对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误， 对于C，的根为，故集合为，C正确， 对于D, 无限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误， 故选：C 3．（24-25高一上·广西南宁·期中）下列对象能组成集合的是（    ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 【答案】C 【分析】借助集合中元素的性质逐项判定即可得. 【详解】A、B、D选项都违背了集合中元素的确定性，故A、B、D错误； 对C：绝对值为5的数有5或，符合集合的概念，故C正确. 故选：C. 4．（24-25高一上·湖北·期中）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．中国古代四大发明 B．所有无理数 C．2024年高考数学难题 D．小于的正整数 【答案】C 【分析】根据题意利用集合中元素具有确定性的性质，对选项逐一判断可得结论. 【详解】对于A，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即A能构成集合； 对于B，所有无理数定义明确，即B能构成集合; 对于C，2024年高考数学难题定义不明确不具有确定性，不符合集合的定义，即C构不成集合； 对于D，小于的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即D能构成集合. 故选：C 5．（23-24高一上·广西南宁·期中）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4 【答案】B 【分析】根据构成集合元素的特征满足确定性、互异性判断各选项即可. 【详解】对于A，充分接近的所有实数不能满足集合元素的确定性，A不能； 对于B，所有的正方形可以构成一个集合，B能； 对于C，著名的数学家不能满足集合元素的确定性，C不能； 对于D，元素有重复，不满足集合元素的互异性，D不能. 故选：B 【题型02：判断是否为同一集合】 1．（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 2．（高一上·江西宜春·阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质可判断. 【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确． 故选：B． 【题型03： 判断元素和集合的关系】 1．（24-25高一上·全国·周测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合B中的定义对各个数逐一验证即可. 【详解】因为，，所以． 故选：B． 2．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过列举法表示集合，逐项判断即可 【详解】，所以， 故A，C，D错误，B正确 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐个验证即可. 【详解】对于A：满足， 对于B: ，错误； 对于C: ，错误； 对于D: ，错误； 故选：A 4．（24-25高一上·湖南·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算出每项中、的对应的值后，检验其是否符合即可得解. 【详解】对A：有，解得，由时，，故，故A错误； 对B：有，解得，由时，，故，故B正确； 对C：有，解得，由时，，故，故C错误； 对D：有，解得，由时，，故，故D错误. 故选：B. 【题型04： 根据元素与集合的关系求参数】 1．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【详解】由且，得，解得． 故选：A 3．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合. 【详解】，所以，时，， 解得或，即． 故选：D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解. 【详解】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B 5．多选题（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 【答案】AC 【分析】根据元素与集合的关系，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意知集合，且， 故当时，； 当时，，但是时，，违反集合元素的互异性， 故m的取值可为1，3， 故选：AC 【题型05：集合的表示方法】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定. 【详解】因为，所以． 又因为，所以， 所以． 故选：B. 2．（24-25高一下·山西·开学考试）与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合描述法的定义，求出集合中的元素. 【详解】12的所以正因数有，所以. 故选：B. 3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组，用集合表示即可判断. 【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. 4．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】解不等式即可求解. 【详解】由，解得或， 所以不等式的解集是或. 故选：D. 5．（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设，应用列举法、描述法分析正确的集合表示方式，即可得答案. 【详解】方程的解为， 所以，，都可以表示该方程的解集， 表示的是含有点的集合． 故选：C 6．多选题（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】通过联立方程组的方法来求得正确答案. 【详解】解方程组，解得， 故一次函数与的图象的交点组成的集合是： 或. 故选：BC 7．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）用列举法表示下列集合： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解一元二次方程即可求出结果； （2）根据已知条件和自然数的概念即可求出结果； （3）解一元二次方程即可求出结果. 【详解】（1）由可得：，所以. （2） . （3）. 【题型06：根据集合中元素个数求参数】 1．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得. 【详解】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A 3．多选题（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】AC 【分析】分和两种情况进行讨论. 【详解】集合只有一个元素， 所以方程只有一个实数解. 若，方程 只有一解； 若，方程只有一个实数解，所以 . 故选：AC 4．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】分，两种情况讨论可求的取值集合. 【详解】①若，则，解得，满足集合 中只有一个元素，所以符合题意； ②若，则为一元二次方程，因为集合有且只有一个元素， 所以，解得. 综上所述：的取值集合为. 故答案为：. 【题型07：根据两个集合相等求解】 1．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 2．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 3．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 【答案】0 【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案． 【详解】由题意可知：， 因为，则，可得， 则，可得，且满足， 所以. 故答案为：0. 4．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则 ． 【答案】0 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 5．（22-23高一上·甘肃定西·期末）设，集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. 1．（24-25高一上·广东·阶段练习）集合中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据集合的描述法转化为列举法表示得解. 【详解】，该集合中的元素有5个． 故选：C． 2．多选题（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 3．多选题（高一上·全国·课后作业）下列各组中的M，P表示同一集合的是（    ） A．M={3，-1}，P={(3，-1)} B．M={(3，1)}，P={(1，3)} C．M={y|y=-1}，P={t|t=-1} D．集合M={m|m+1≥5}，P={y|y=x2+2x+5，x∈R} 【答案】CD 【分析】利用集合相等的定义判断. 【详解】在A中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故错误； 在B中，M={(3，1)}，P={(1，3)}表示的不是同一个点的集合，二者不是同一集合，故错误；在C中，M={y|y=-1}={y|y≥-1}，P={t|t=-1}={t|t≥-1}，二者表示同一集合，故正确； 在D中，M={m|m≥4，m∈R}，即M中元素为大于或等于4的所有实数，P={y|y=(x+1)2+4}，y=(x+1)2+4≥4，所以P中元素也为大于或等于4的所有实数，故M，P表示同一集合，故正确． 故选：CD 4．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得或，运算求解，注意集合的互异性. 【详解】∵， ∴或， 解得或， 当时，不满足集合的互异性，故舍弃， 当时，，符合题意， 所以. 故答案为：． 5．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 【答案】，且 【分析】根据图形结合描述法即可得到答案. 【详解】设集合中的代表元素是． 由题意，，且， 因此所求集合，且． 故答案为：，且. 6．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】对a分类讨论，利用一元二次方程的解与判别式的关系即可得出． 【分析】集合中至多有一个元素，则 当时，， 当时，，解得， 综上所述，a的取值范围是：或， 故答案为：或． 7．（23-24高一下·北京·期末）已知集合、．若，则 ． 【答案】 【分析】根据、集合的性质可得答案. 【详解】由，解得，或，或，或， 当时，、，满足，则； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，、，满足，则； 由，解得，或，或，或， 当时，，构不成集合，舍去； 当时， ，构不成集合，舍去； 当时， 、，满足，则； 当时，、，满足，则， 综上，，. 故答案为：. 8．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【详解】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$