专题02 集合的基本关系（题型归纳+题型训练+易错精练）-2025-2026学年高一数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题02集合的基本关系 【题型01：判断集合的子集（真子集的个数）】 【题型02：求集合的子集】 【题型03：判断两个集合的包含关系】 【题型04：根据集合的包含关系求参数】 【题型06：空集的概念及其判断】 【题型07：空集的性质及应用】 【题型01：判断集合的子集（真子集的个数）】 1．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 2．（24-25高一上·全国·课前预习）集合的真子集的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，则集合真子集的个数（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【题型02：求集合的子集】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 3．多选题（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【题型03：判断两个集合的包含关系】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 3．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·湖南衡阳·开学考试）已知集合.则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．= 【题型04：根据集合的包含关系求参数】 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高一上·全国·周测）已知集合，若，则实数组成的集合为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南·模拟预测）已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山西·三模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 . 8．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 9．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【题型06：空集的概念及其判断】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【题型07：空集的性质及应用】 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 1．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知集合，下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02集合的基本关系 【题型01：判断集合的子集（真子集的个数）】 【题型02：求集合的子集】 【题型03：判断两个集合的包含关系】 【题型04：根据集合的包含关系求参数】 【题型06：空集的概念及其判断】 【题型07：空集的性质及应用】 【题型01：判断集合的子集（真子集的个数）】 1．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由集合子集，真子集的运算，集合中必有，且为集合{1,2,3,4,5}的子集. 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）集合的真子集的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，进而求出真子集个数. 【详解】依题意，，即，而，因此，， 所以集合的真子集个数为. 故选：C 3．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据给定条件，列举出集合C的可能情况即可. 【详解】依题意，集合可以为：， 所以集合C的个数为4. 故选：D 4．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合个数，结合集合真子集公式，即可求解. 【详解】集合，则集合的子集个数. 除去集合本身，还有个真子集. 故选：C. 5．（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，则集合真子集的个数（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据真子集个数计算公式即可得到答案. 【详解】由题意得集合真子集的个数为. 故选：C. 【题型02：求集合的子集】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 2．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以 . 故选：D. 3．多选题（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 【题型03：判断两个集合的包含关系】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果. 【详解】因为集合， ，故， 故选：B 2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【答案】A 【分析】根据，再利用是整数，是奇数即可判断集合间的关系. 【详解】∵， 是整数，是奇数，∴. 故选：A． 3．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集的定义以及符号表示，可得答案. 【详解】由 ，则. 故选：B. 4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系依次判断即可. 【详解】由题可知， 故A正确，BC错误， 集合不是集合的子集，故D错误. 故选：A. 5．（23-24高一上·湖南衡阳·开学考试）已知集合.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定集合中的元素，进而逐项判断即可； 【详解】 A，C选项使用符号错误，，B错，，D对； 故选：D 6．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．= 【答案】A 【分析】根据集合中的元素满足的约束即可求解. 【详解】由，可知： 集合是由所有的奇数构成的集合，而集合中的元素是的倍数，故， 故选：A. 【题型04：根据集合的包含关系求参数】 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验即可. 【详解】因为，且， 所以，则或， 解得或或， 当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，满足，符合题意. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·周测）已知集合，若，则实数组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用子集的定义以及集合中元素的互异性即可求得结果. 【详解】集合， 则当时，解得或，满足题意， 当时，解得或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去， 故实数组成的集合为． 故选：C． 3．（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系直接得到答案. 【详解】因为，所以解得， 即a的取值范围是. 故选：D. 4．（2025·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【详解】集合，，由，得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 5．（2025·河南·模拟预测）已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系得到不等式即可. 【详解】由题意，可得，. 故选：D. 6．（2025·山西·三模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围. 【详解】因为，所以，解得．所以的取值范围是． 故选：A. 7．（高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据空集的定义，要使集合，则，解之即可求解. 【详解】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 8．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 9．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）求出集合A，进而求出其子集即得. （2）按a的值是否为0，分类求解即得. 【详解】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 【题型06：空集的概念及其判断】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 【题型07：空集的性质及应用】 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案. 【详解】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 1．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知集合，下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合A，再利用元素与集合之间的关系依次判断各选项即可得解. 【详解】， ，故ABD正确； 而与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故C错误. 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$