专题01 集合与常用逻辑用语（知识串讲+热考题型+真题训练）-2025-2026学年高一数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题01集合与常用逻辑用语 【考点01：集合的概念】 【考点02：元素与集合的关系】 【考点03：集合的表示方法】 【考点04：根据元素与集合的关系求参数】 【考点05：根据集合元素求个数】 【考点06：根据集合元素个数求参数】 【考点07：集合的基本关系】 【考点08：判断两个集合是否相等】 【考点09：两个集合相等求参数】 【考点10：根据集合间的关系求参数】 【考点11：集合的运算】 【考点12：集合运算中求参问题】 【考点13：韦恩图的运用】 【考点14：充要条件的判断及应用】 【考点15：充分、必要、充要和集合的关系】 【考点16：全称、存在量词命题的综合】 知识点1： 元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互异性、无序性. 知识点2：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点3：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点4：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 知识点5：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点6：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 知识点7：交集 1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 3、图形语言：阴影部分为A∩B 4、 性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A 知识点8：并集 1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 3、符号语言：阴影部分为A∪B 4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B. 知识点9：补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集， 那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U. 2、补集 （1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作. （2）符号语言： （3）符号语言： （4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A. 【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。 知识点10：充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【注意】 （1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后； （2）p是q的充分条件或q是p的必要条件； （3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p； “q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． 知识点11 ：充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件； 若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 知识点12：全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 【注意】 （1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围）， 符号表示为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” 知识点13：存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点14：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假： 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； 2、判断存在量词命题真假： 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立， 则这个命题为真，否则为假。 知识点15：命题的否定 1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． 3、存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 4、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 5、常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【考点01：集合的概念】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（    ） A．某中学所有成绩优秀的学生 B．边长为2的正方形 C．比较大的数字 D．著名的数学家 2．（21-22高一上·北京·阶段练习）以下元素的全体能构成集合的是（    ） A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数 C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流 3．（21-22高一上·河北秦皇岛·阶段练习）下列四组对象中能构成集合的是（    ） A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 4．多选题（24-25高一上·江西·阶段练习）下列各组对象能构成集合的有（   ） A．南昌大学2024级大一新生 B．我国第一位获得奥运会金牌的运动员 C．体型庞大的海洋生物 D．唐宋八大家 【考点02：元素与集合的关系】 1．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 3．多选题（24-25高一上·重庆·阶段练习）设，则（      ） A． B． C． D． 【考点03：集合的表示方法】 1．（24-25高一上·广西玉林·期中）集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 4．多选题（24-25高一上·甘肃武威·期中）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ）. A． B． C． D． 【考点04：根据元素与集合的关系求参数】 1．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 2．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）设集合，且，则实数m的值为 ． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合，，则的值为 . 【考点05：根据集合元素求个数】 1．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 【考点06：根据集合元素个数求参数】 1．（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，若集合为空集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 4．多选题（24-25高一上·河北·阶段练习）若集合中只有一个元素，则的值（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【考点07：集合的基本关系】 1．（23-24高一上·四川泸州·期中）设集合，集合的真子集的个数为（ ） A．2 B．4 C．1 D．3 2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）集合的子集共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．多选题（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，集合，，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 7．多选题（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列是集合的子集的为（    ） A． B． C． D． 【考点08：判断两个集合是否相等】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 4．多选题（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．多选题（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【考点09：两个集合相等求参数】 1．（2025高二下·浙江·学业考试）设集合，，若，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 2．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【考点10：根据集合间的关系求参数】 1．（重庆市部分区2024-2025学年高二下学期7月期末联考数学试题）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2024高三下·四川内江·专题练习） ，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 8．（2023高一·江苏·专题练习）设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 【考点11：集合的运算】 1．（北京市东城区2024-2025学年高二下学期期末统一检测数学试卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北荆门·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江金华·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏徐州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津武清·模拟预测）全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【考点12：集合运算中求参问题】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）设全集，集合，则（    ） A．3 B． C．4 D．2 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点13：韦恩图的运用】 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知全集，集合，，则Venn图中的阴影部分如图表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，已知全集，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 7．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【考点14：充要条件的判断及应用】 1．（24-25高二下·天津河北·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·全国·课后作业）使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东茂名·二模）设集合，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点15：充分、必要、充要和集合的关系】 1．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 2．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设全集，集合，非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 4．（24-25高一上·河南漯河·期中）已知集合，. (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围. 【考点16：全称、存在量词命题的综合】 1．（24-25高二下·重庆·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高二下·重庆·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山西忻州·开学考试）命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 7．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01集合与常用逻辑用语 【考点01：集合的概念】 【考点02：元素与集合的关系】 【考点03：集合的表示方法】 【考点04：根据元素与集合的关系求参数】 【考点05：根据集合元素求个数】 【考点06：根据集合元素个数求参数】 【考点07：集合的基本关系】 【考点08：判断两个集合是否相等】 【考点09：两个集合相等求参数】 【考点10：根据集合间的关系求参数】 【考点11：集合的运算】 【考点12：集合运算中求参问题】 【考点13：韦恩图的运用】 【考点14：充要条件的判断及应用】 【考点15：充分、必要、充要和集合的关系】 【考点16：全称、存在量词命题的综合】 知识点1： 元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互异性、无序性. 知识点2：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点3：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点4：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 知识点5：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点6：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 知识点7：交集 1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 3、图形语言：阴影部分为A∩B 4、 性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A 知识点8：并集 1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 3、符号语言：阴影部分为A∪B 4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B. 知识点9：补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集， 那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U. 2、补集 （1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作. （2）符号语言： （3）符号语言： （4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A. 【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。 知识点10：充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【注意】 （1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后； （2）p是q的充分条件或q是p的必要条件； （3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p； “q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． 知识点11 ：充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件； 若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 知识点12：全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 【注意】 （1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围）， 符号表示为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” 知识点13：存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点14：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假： 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； 2、判断存在量词命题真假： 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立， 则这个命题为真，否则为假。 知识点15：命题的否定 1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． 3、存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 4、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 5、常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【考点01：集合的概念】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（    ） A．某中学所有成绩优秀的学生 B．边长为2的正方形 C．比较大的数字 D．著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断. 【详解】成绩优秀的学生、比较大的数字、著名的数学家这三组对象均不满足确定性，故ACD错误； 边长为2的正方形满足确定性，可以构成集合，故B正确； 故选：B. 2．（21-22高一上·北京·阶段练习）以下元素的全体能构成集合的是（    ） A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数 C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流 【答案】A 【分析】根据集合的知识可选出答案. 【详解】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足； 接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足； 未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足； 地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足； 故选：A 3．（21-22高一上·河北秦皇岛·阶段练习）下列四组对象中能构成集合的是（    ） A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 【答案】D 【分析】根据集合的定义，结合选项依次判断即可. 【详解】A：学习好，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故A错误； B：非常近，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故B错误； C：很小，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故C错误； D：倒数等于本身的数符合集合中元素的确定性，故D正确. 故选 ：D 4．多选题（24-25高一上·江西·阶段练习）下列各组对象能构成集合的有（   ） A．南昌大学2024级大一新生 B．我国第一位获得奥运会金牌的运动员 C．体型庞大的海洋生物 D．唐宋八大家 【答案】ABD 【分析】根据集合的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为南昌大学2024级大一新生是确定的，所以能构成集合，所以A正确， 对于B，因为我国第一位获得奥运会金牌的运动员是确定的，所以能构成集合，所以B正确， 对于C，因为体型庞大的海洋生物没有明确的标准，没有确定性，所以不能构成集合，所以C错误， 对于D，因为唐宋八大家是确定的，所以能构成集合，所以D正确. 故选：ABD 【考点02：元素与集合的关系】 1．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素的互异性即可求得应满足的范围. 【详解】由元素的互异性可知，所以. 故选：A 2．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断. 【详解】且，则；且，则，所以. 故选：A 3．多选题（24-25高一上·重庆·阶段练习）设，则（      ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】设， 而，即A错误，C正确； ，即B正确； ，即D正确. 故选：BCD. 【考点03：集合的表示方法】 1．（24-25高一上·广西玉林·期中）集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据描述法转化为列举法得解. 【详解】由集合的描述法知，， 故选：C 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意整理可得集合，结合常用数集分析判断即可. 【详解】由题意可得：集合. 故选：B． 4．多选题（24-25高一上·甘肃武威·期中）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ）. A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】解方程组并结合一次函数图象交点组成的集合为点集，即可求得答案. 【详解】解方程组，解得， 故一次函数与的图象的交点组成的集合是或， 而，不是点集，不合题意； 故选：CD 【考点04：根据元素与集合的关系求参数】 1．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，注意集合中元素的互异性. 【详解】因为，， 当时，则，此时，不符题意； 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 2．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）设集合，且，则实数m的值为 ． 【答案】5 【分析】由得或，求出m，再求出A并结合集合中元素的互异性检验即可得解. 【详解】因为，所以或，解得或或， 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，符合. 所以实数m的值为5. 故答案为：5. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】利用元素与集合的关系得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 所以是的一个解，即，解得， 经检验，满足题意. 故答案为： 【考点05：根据集合元素求个数】 1．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 2．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【详解】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 3．（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 【答案】4 【分析】由集合的描述法可得结果. 【详解】由题意得，所以的元素个数为4. 故答案为：4. 【考点06：根据集合元素个数求参数】 1．（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合元素个数，结合方程的解求出. 【详解】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得， 所以或. 故选：C 2．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得只有一个解，由求解即可. 【详解】解：因为集合中有且只有一个元素， 所以方程只有一个解， 所以，解得. 故选：D. 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，若集合为空集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】通过讨论和即可求解. 【详解】解:当时，易知， 当时，若集合为空集，则 故选：B 4．多选题（24-25高一上·河北·阶段练习）若集合中只有一个元素，则的值（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【分析】由，讨论即可． 【详解】当，，满足条件； 当，由，则得，此时只有一个元素， 所以当或时，集合中只有一个元素. 故选：BC 【考点07：集合的基本关系】 1．（23-24高一上·四川泸州·期中）设集合，集合的真子集的个数为（ ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出集合的真子集求解. 【详解】集合的真子集有，和. 故选：D. 2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）集合的子集共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】由子集的定义即可得出答案. 【详解】集合的子集有：，有4个. 故选：D. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定集合，再进行选项判断. 【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集， 即集合A是由集合B的子集组成的集合， 所以， 故B是集合A中的一个元素，D正确． 故选：D 4．（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析两个集合的元素形式来判断两个集合的关系. 【详解】因为集合,，则 . 故选：B 5．（24-25高一上·重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：D. 6．多选题（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，集合，，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由集合子集定义验证各选项即可得答案. 【详解】A选项，若集合，则满足，A正确； B选项，若集合，则满足，B正确； C选项，若集合，则满足，但不是的子集，C错误； D选项，若集合，则满足，但不是的子集，D错误． 故选：AB 7．多选题（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列是集合的子集的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】写出集合的所有子集即可得解. 【详解】集合的子集为． 故选：ABD 【考点08：判断两个集合是否相等】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合中的元素是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D 2．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，，则； 对于B选项，，，则； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，，，则. 故选：D. 3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，相等集合的定义，即可判断. 【详解】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误. 故选：C 4．多选题（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据相同集合的概念和集合中元素的意义可直接得出结果. 【详解】对A：集合中有两个元素，是数；集合中只有一个元素，是点，所以两个集合不同，故选项A符合题意； 对B：两个集合中都只有一个元素，是点，但点的坐标不一样，所以两个集合不同，故选项B符合题意； 对C：两个集合都是表示所有奇数构成的集合，所以两个集合相同，选项C不合题意； 对D：集合表示函数的值域，元素是数；集合表示的是图形，元素是点，所以两个集合不同，故选项D符合题意. 故选：ABD 5．多选题（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】相等集合即集合中的元素完全一致，通过此定义逐一判定各选项即可. 【详解】对于选项A，是点集,是数集，所以不是相等集合； 对于选项B, , 都表达的是奇数集，所以是相等集合； 对于选项C， ,所以是相等集合； 对于选项D, 是空集没有元素，有元素为0，所以不是相等集合. 故选：BC. 【考点09：两个集合相等求参数】 1．（2025高二下·浙江·学业考试）设集合，，若，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】利用集合相等的定义即可求解. 【详解】，，， 此时集合，，故， . 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 【考点10：根据集合间的关系求参数】 1．（重庆市部分区2024-2025学年高二下学期7月期末联考数学试题）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合包含关系分析求解即可. 【详解】因为集合，且， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 2．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解． 【详解】当时，， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C 3．（24-25高一上·全国·课前预习）如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的关系可得的范围. 【详解】因为，不等式（1）的解集是：； 不等式（2）的解集是：， 因为，不等式组的解集是， 所以，不等式组的解集在数轴上的大致范围，如图所示，    仔细观察数轴，要想保证有公共部分，不等式的解集的部分，必须在的左边或与3相等，因此，的范围应该是：，所以的范围是. 故选：D. 4．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 5．（2025·四川成都·三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集的关系即可求解. 【详解】由于，所以， 故选：D 6．（2024高三下·四川内江·专题练习） ，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出的范围即可． 【详解】已知集合，， ，， ①当时，满足，此时，故； ②当时，因，则，解得． 综上，． 故选：A. 7．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围. 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 8．（2023高一·江苏·专题练习）设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由于处理较繁琐，可先求时实数m的取值范围，再取相反情况即可. 【详解】若时， 则当时，，解得； 当时，，解得， 由可得或，解得或， 又，所以或， 综上可得当时，或， 所以当时，m的取值范围是. 故答案为：. 【考点11：集合的运算】 1．（北京市东城区2024-2025学年高二下学期期末统一检测数学试卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值不等式解法和交集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·湖北荆门·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集概念计算. 【详解】全集，集合，则. 故选：B. 3．（24-25高一下·浙江金华·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集的概念可得结果. 【详解】由题意可得. 故选：C. 4．（24-25高二下·江苏徐州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合后可求它们的交集. 【详解】，，故， 故选：C. 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断两个集合的关系，即可求交集. 【详解】，，则是整数中的偶数， 所以集合中的元素都是集合的元素，但集合中的元素有不是集合的元素， 所以集合是集合的真子集， 所以. 故选：C 6．（2025·天津武清·模拟预测）全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 则， 所以， 故选：C 【考点12：集合运算中求参问题】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，且，则，即. 2．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）设全集，集合，则（    ） A．3 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】由全集与补集的概念可得. 【详解】已知，由补集概念知，， 由集合中元素的互异性知，， 又全集，因为，且 所以， 则解得． 故选：D. 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得或，结合，即可求解. 【详解】由集合，，可得或， 因为，则满足. 故选：A. 【考点13：韦恩图的运用】 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合的交集，然后求出集合的并集，最后求出阴影部分的元素组成. 【详解】因为， 所以， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 2.（24-25高一上·重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的图形，利用韦恩图，结合集合的运算判断即可. 【详解】由韦恩图知，阴影部分不在集合中，在集合中，其集合表示为. 故选：C 3．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知全集，集合，，则Venn图中的阴影部分如图表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图中表示的集合，利用集合间的运算可得结果. 【详解】集合，集合， 易知图中阴影部分表示的集合是， 故选：A 4．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合韦恩图可得阴影部分的集合表示，利用交集和补集的运算，可得答案. 【详解】图中阴影部分为. 故选：C. 5．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，已知全集，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦恩图得出阴影部分表示的集合是，利用集合的交并补运算即得. 【详解】由图知阴影部分表示的集合是, 因， ， 则，故. 故选：D. 6．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由题可知图中阴影部分表示，结合集合的交运算、并运算求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以图中阴影部分表示或. 故选：A. 7．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图和集合之间的关系进行判断． 【详解】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成， 所以用集合表示为． 因为集合，， 则，所以， 故选：B． 【考点14：充要条件的判断及应用】 1．（24-25高二下·天津河北·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件与集合之间的关系，判断出两个集合之间的包含关系，求出结果. 【详解】已知，则，解得， 因为，所以“”不可以推导出“”，但是“”能推导出“”， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 2．（24-25高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用分离参数法求出的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可. 【详解】对，则，而， 当且仅当时取等号，因此； 当时, ，当且仅当时取等号， 所以是的充要条件. 故选：C. 3．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据充分条件和必要条件的定义及集合间的包含关系判断即可. 【详解】由， 判断充分性： 当时，，满足， 所以由“”可以推出“”，充分性成立． 判断必要性： 若，因为，， 所以的值可以为，也可以是其他值如， 即由“”不能推出“”，必要性不成立． 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误． 5．（2025·广东茂名·二模）设集合，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知条件，推得是的真子集，即可判断． 【详解】∵集合， ， ∴是的真子集， 是的充分不必要条件． 故选：A． 6．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为，若，由不等式的性质知，，即可以推出， 若，则有，所以，得到，即可以推出， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 【考点15：充分、必要、充要和集合的关系】 1．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集和并集的运算法则列出不等式组，解不等式可得到a的取值范围. （2），则，分与两种情况，根据集合的关系列不等式组，解不等式可得到a的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以或， 又因为且， 所以解得， 故a的取值范围为. （2）因为，则， 若，则，解得， 若，则解得， 综上所述a的取值范围为. 2．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或．； (2)． 【分析】（1）利用交集运算即可求解； （2）利用充分不必要条件转化为，从而可得参数满足的不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，集合，又或． ∴ 或 或．； （2）∵若，且是 的充分不必要条件，，， ∴，则， 解得:，故的取值范围是． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设全集，集合，非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集、交集的定义计算可得； （2）依题意可得非空集合是集合的真子集，列不等式组，解得即可. 【详解】（1）， 或 当时，， 或. （2）“”是“”的必要不充分条件等价于非空集合是集合的真子集， 易知，即， 则有，且等号不能同时取到，解得. 故的取值范围为. 4．（24-25高一上·河南漯河·期中）已知集合，. (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，运算求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，分和两种情况，结合包含关系列式求解. 【详解】（1）当，则，解得， 所以实数的范围为. （2）因为是的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 若时，则，解得，符合题意； 若时，则，解得； 综上所述：实数的范围. 【考点16：全称、存在量词命题的综合】 1．（24-25高二下·重庆·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案． 【详解】命题“，”的否定是为：，. 故选：C. 2．（24-25高二下·重庆·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据特称命题的否定,存在改为任意，将结论否定即可得出答案. 【详解】命题“，”的否定为，. 故选:D 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知方程有实数解，即，解得． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 5．（24-25高二上·山西忻州·开学考试）命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的真假可得参数的取值范围，进而确定其必要不充分条件. 【详解】命题的否定为：“” 若该命题为真命题得，所以， 所以为该命题的一个必要不充分条件， 故选：C. 6．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接根据两个集合的交集是空集求解即可； （2）根据题意可得，进而结合包含关系求解即可. 【详解】（1）因为对任意恒成立，所以， 又，则，解得， 所以实数的取值范围为 （2）若，是真命题，则有， 则或，所以或， 即实数的取值范围为或. 7．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论和，根据条件列出不等式组求解m的取值范围； （2）将条件转化为，进而求出m的取值范围. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，解得. 综上，实数m的取值范围为 （2）由题意，所以即， 此时. 为使，需有，即. 故实数m的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$