专题04 一元二次方程的应用的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题04 一元二次方程的应用的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元二次方程解决增长率问题 类型二、利用一元二次方程解决传播问题 类型三、利用一元二次方程解决营销问题 类型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 类型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 压轴专练 类型一、利用一元二次方程解决增长率问题 一、增长率问题的基本公式 增长率问题的核心公式为：N= a(1+x)n ，其中： a 表示初始量（基期量）； x 表示平均增长率（通常设为未知数）； n 表示增长次数（如年数、周期数）； N 表示经过n次增长后的最终量（末期量）。 若为下降率，则公式变为 N = a(1 - x)n ，x为平均下降率。 二、一元二次方程的建立与求解 当增长次数n=2时，公式可转化为一元二次方程： a(1 + x)2 = N 。 步骤：先整理方程为一般形式 ax2+bx+c=0（此处a为系数，与初始量a区分），再用配方法、公式法或因式分解法求解。 注意：解出的 x 需为正数（增长率），且符合实际意义，需舍去不合理的解（如负数解）。 三、实际问题中的关键分析 明确“初始量”和“末期量”：需从题目中准确提取增长前后的具体数值，避免混淆。 区分“累计增长”与“单次增长”：若问题涉及两年的总增长量，需用“第一年增长量 + 第二年增长量 = 总增长量”列式，而非直接套用平方公式。 单位与精度：结果通常需化为百分数，且根据题意保留合适的小数位数（如精确到1%）。 例1．某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率． 【答案】单台服务器运行成本的月平均降低率为 【分析】本题考查了一元二次方程的意义，设单台服务器运行成本的月平均降低率为，根据题意列出方程解方程，即可求解． 【详解】解：设单台服务器运行成本的月平均降低率为，根据题意得， 解得：（舍去） 答：单台服务器运行成本的月平均降低率为． 【变式1-1】某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元． (1)已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； (2)聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售收入又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)175或185元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得解； （2）设售价应定为y元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件，根据总利润每件利润件数，列出关于的一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：设售价应定为y元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：售价应定为175或185元． 【变式1-2】某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324元的价格出售． (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议：先公布降价，然后再降价，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【答案】(1)平均每次降价的百分率为 (2)售货员的方案对顾客更优惠，理由见解析 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设平均每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据题意直接计算可得出答案． 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， ∴平均每次降价的百分率为； （2）解：售货员的方案对顾客更优惠，理由如下： ， ∴售货员的方案对顾客更优惠． 【变式1-3】由于共享单车的投放使用，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城5月份销售自行车64辆，7月份销售100辆． (1)若该商城5月至7月的自行车销售的月平均增长率相同，求自行车销售的月平均增长率． (2)考虑到自行车需求不断增加，该商场准备再购进一批两种规格的自行车共100辆．已知A型车的进价为每辆500元，售价为每辆700元；B型车的进价为每辆1000元，售价为每辆1300元．假设所购进的车辆全部售完，为使利润不低于26000元，该商场购进A型车不超过多少辆？ 【答案】(1) (2)40辆 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设自行车销售的月平均增长率为x，根据该商城5月份销售自行车64辆，7月份销售100辆建立方程求解即可； （2）设该商场购进A型车m辆，则购进B型车辆，分别求出A型车和B型车的利润，再根据总利润不低于26000元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设自行车销售的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：自行车销售的月平均增长率为； （2）解：设该商场购进A型车m辆，则购进B型车辆， 依题意得：， 解得：， 答：该商场购进A型车不超过40辆． 类型二、利用一元二次方程解决传播问题 一、传播问题的基本模型与公式 传播问题的核心模型基于“每轮传播的数量固定”的规律，其通用公式为： N=akn 。其中： a 代表初始传播源的数量（如开始感染病毒的人数、初始传播消息的个体数）； k 表示每个传播源在一轮传播中平均能影响的新个体数量（例如一个人平均能传染给 k 个人）； n 为传播的轮数； N 是经过 n 轮传播后的总数量（包含初始源和新增个体）。当 n = 2 时，公式变为一元二次方程 a(1 + k)2=N ，此为解决两轮传播问题的常用表达式。 二、一元二次方程的构建与求解要点 在传播问题中建立方程时，需依据题目描述确定 a 、 k 、 N 的具体数值 。 三、实际应用中的关键分析 区分“传播后总数”与“新增数量”：题目可能要求计算新增个体数量，需用传播后的总数减去初始源数量。如上述例子中，第二轮新增感染人数为121 - 1 - 1×10=110人。 挖掘隐含条件：部分题目未直接给出轮数，需根据时间、事件发展阶段等条件推断。例如“经过两天感染人数达到m人，每天感染人数相同”，可默认一天为一轮传播，从而确定传播轮数n = 2。 注意单位与取值范围：传播数量必须为非负整数，结果需符合实际场景，避免出现小数或负数解。通过以上三点，可系统掌握利用一元二次方程解决传播问题的核心逻辑与解题技巧。 例2．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 【变式2-1】某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？ 【答案】主干长出了6个支干 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设主干长出x个支干，则长出个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43列出关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：设主干长出x个支干，则长出个小分支， 根据题意得：， 即， 解得： 或（不合题意舍去）． 答：主干长出了6个支干． 【变式2-2】某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36名同学会做这项实验．求每节课每名同学教会多少名同学做实验？ 【答案】5 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出两节课教会的人数是解题关键． 设平均每节课一人教会x人，第一节课后会做的有人，第二节课教会人，会做的有人，据此列方程求解即可． 【详解】解：设每节课一人教会x人，根据题意可得： ， 解得：（不合题意舍去） 答：每节课一人教会5人． 【变式2-3】在一次聚会上规定每两人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为4，共握手______次；若参加聚会的人数为（为正整数），共握手______次； (2)若参加聚会的人共握手45次，求参加聚会的人数； (3)嘉琪由握手问题想到了一个数学问题：有个即将初中毕业的学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出______张照片． 【答案】(1)6， (2)10人 (3) 【分析】本题考查了一元二次次方程的应用，解题的关键是： （1）根据握手次数参会人数（参会人数，即可求出结论，论结合参会人数为，即可得出结论； （2）由（1）的结论结合共握手45次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）由每两个人之间互送一张照片可得出每个同学需送出张照片，再乘人数即可求出结论． 【详解】（1）解：参加聚会的人数为4，则共握手（次）； 参加聚会的人数为为正整数），则共握手次． 故答案为：6，； （2）设有人参加聚会，根据题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：参加聚会的有10人； （3）根据题意得（张）． 答：共送出张照片， 故答案为：． 类型三、利用一元二次方程解决营销问题 一、利润问题的基本数量关系 营销问题的核心公式为：总利润 = 单件利润×销售数量。其中，单件利润 = 售价 - 进价；售价常通过“原价±价格调整量”表示，销售数量与价格调整存在关联，如价格每降低m元，销量增加n件 。这些关系是构建方程的基础，例如售价为x元，进价为a元，初始销量为b件，价格每降1元多售c件，则总利润y=(x - a)[b + c(原价 - x)]。 二、一元二次方程的建立与求解 根据题目中“总利润目标”或“销量与售价关系”，将上述数量关系转化为一元二次方程。如已知总利润为固定值，代入公式得到形如(x - a)(b + cx)=d的方程，整理为一般式后用合适方法求解。需检验解的合理性，舍去使售价或销量不符合实际（如为负）的解。 三、实际问题中的变量分析 要精准分析价格、销量、成本等变量间的动态联系。例如，考虑价格调整对销量的影响方向（增或减），以及成本是否随销量变化。同时，结合实际经营场景判断最优解，如求最大利润时，可通过二次函数性质或比较方程的解，选择符合市场条件的售价方案。 例3．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． (1)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ (2)能否通过涨价使经销商平均每月销售这种头盔的利润达到15000元？如果能，请求出售价应为多少元？如果不能，请说明理由． 【答案】(1)50元 (2)不能达到15000元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为x元，根据题意列出一元二次方程，利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， ∴， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为x元， 整理得， ∵， ∴方程无解， ∴不能达到15000元． 【变式3-1】某特产店出售、两种特产，已知每袋种特产的售价比每袋种特产的售价贵3元，老王第一次购买时，花费4500元购买种特产，花费1800元购买种特产，发现购买的种特产的数量恰好是种特产数量的2倍． (1)求每袋种特产与每袋种特产的售价分别是多少元； (2)已知每袋种特产的进价是元，每袋种特产的进价比种特产的进价少，、两种特产的售价不变，老王第二次购买时，种特产的数量比第一次少袋，种特产的数量比第一次少，若特产店第二次销售共获利2100元，求的值． 【答案】(1)每袋种特产的售价为15元，则每袋种特产的售价为12元 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）设每袋种特产的售价为a元，则每袋种特产的售价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）根据题意得可得每袋种特产的进价为元，第二次购买时，种特产的数量为袋，种特产的数量为袋，再根据特产店第二次销售共获利2100元，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每袋种特产的售价为a元，则每袋种特产的售价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：每袋种特产的售价为15元，则每袋种特产的售价为12元； （2）解：根据题意得：每袋种特产的进价为元， 第二次购买时，种特产的数量为袋，种特产的数量为袋， ∵特产店第二次销售共获利2100元， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：m的值为10． 【变式3-2】某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件． (1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？ 【答案】(1)平均下降率为 (2)单价应降低元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设平均下降率为，根据平均下降率的等量关系，列出等量关系，进行求解即可； （2）设单价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设平均下降率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：平均下降率为． （2）设单价应降低元，由题意，得：， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴； 答：单价应降低元． 【变式3-3】“这么近，那么美，周末到河北”，河北拥有得天独厚的自然风光和丰富的历史文化资源，吸引着众多游客前来探索；河北著名旅游景点正定古城今年5月份共接待游客达20万人次，预计在7月份，将接待游客达万人次． (1)求正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率． (2)景区一个纪念品专卖店在销售中发现，一款纪念品每件进价为20元，销售价为35元时，每天可售出100件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若每件纪念品降价1元，则平均可多售出10件，当每件售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款纪念品销售中实现平均每天1560元的利润额． 【答案】(1) (2)32元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率为，由5月份接待游客人次等于7月期间接待游客人次建立方程； （2）设每件纪念品降价元，根据每件利润乘以销售量等于利润建立方程求解． 【详解】（1）解：设正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：，（舍）， 答：正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率为； （2）解：设每件纪念品降价元，由题意得： ， 解得：或， 当时，每件售价为元； 当时，每件售价为元， ∵让顾客获得最大优惠， ∴每件售价定为32元． 类型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 一、图形面积的基本公式与变形 解决图形问题的基础是掌握常见图形的面积公式，如长方形面积S = 长×宽，正方形面积S = 边长×边长，三角形面积S=×底×高等。当图形存在边长变化或拼接组合时，需根据条件对公式进行变形。例如，长方形的长和宽分别增加x，则新面积S=(原长 + x)(原宽 + x)，为建立一元二次方程提供依据。 二、一元二次方程的构建与求解 根据图形的面积、周长等条件建立方程。如已知图形变化后的面积为固定值，将边长与面积关系代入公式得到方程，例如(a + x)(b + x)=c，展开整理为一元二次方程的一般形式x2+(a + b)x+ab - c = 0，再通过因式分解法、公式法等求解。需结合图形实际意义，舍去使边长为负或不符合图形逻辑的解。 三、图形问题中的几何关系分析 解题时要挖掘图形的隐含条件，如矩形对边相等、直角三角形的勾股定理等。若涉及拼接、裁剪等操作，需理清边长的等量关系，例如裁剪正方形后剩余图形的面积计算，或拼接图形后周长与面积的变化。同时，注意单位统一，确保计算结果符合图形的尺寸要求和实际场景。 例4．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 【答案】道路的宽为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设道路的宽为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽为， 根据题意列方程得：， 解得：或（舍去）， 答：道路的宽为． 【变式4-1】如图：利用一面墙（墙的长度不限），用20m的篱笆围成一个矩形场地．设矩形与墙垂直的一边为xm，矩形的面积为． (1)若面积，求的长； (2)能围成面积为的矩形吗？说明理由． 【答案】(1)的长为或． (2)不能．理由见解析． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用——几何面积问题，根的判别式等知识点，解决此题的关键是要熟练运用根的判别式． （1）根据题意得到方程式解题的关键；得到方程后根据解一元二次方程的步骤求解即可； （2）由第（1）的思路得到方程，要会根据根的判别式判断方程无解： 【详解】（1）解：设与墙垂直的边为，则其对边也为，余下的一条边长为，矩形面积 ． ∴当 S = 48 时， 即 解得或 ， ∴的长为或． （2）解：不能，理由如下： 由（1）可知 当 时， 可得方程 化简得： ∴ 无实数解，故无法围成面积为 58 的矩形． 【变式4-2】如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)宽为5米，长为米 (3)不能，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可． （2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米， 则， 根据题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为平方米． 【变式4-3】如图，小明打算用总长度为的栅栏围成两个大小相同的矩形花园，花园的一面靠墙，墙长，设的长为． (1)的长为多少米？（用含的代数式表示） (2)若矩形花园的面积为，求的长． (3)矩形花园的面积是否有可能达到？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不可能，理由见解析． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据判别式判断一元二次方程根的情况、列代数式 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式以及根的判别式.解题的关键在于根据题意列一元二次方程并正确求解． （1）由题意，知，把的长为，代入即可； （2）由题意知，，即，求出的取值范围，列出方程求解即可； （3）矩形花园的面积是不可能达到；列出方程，整理后，该方程没有实数根，故不能． 【详解】（1）解：由题意，知， 长为， 的长为； （2）解：由题意知，，即， 解得， 又，即， ， 由题意，知，即， 整理，得， 解得（不合题意，舍去），， 的长为； （3）解：不可能， 理由：由题意，得， 整理，得， ， 该方程没有实数根， 矩形花园的面积不可能达到． 类型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 一、动态几何中的变量关系与公式 动态几何问题需用变量表示运动中的线段长度、图形面积等。例如，点在线段上以速度v运动，运动时间为t，则运动的距离为vt；矩形的两边长随时间变化，其面积S = (a + vt)(b - ut)（a、b为初始边长，v、u为边长变化速度）。通过分析运动规律，结合三角形面积、勾股定理等基本公式，建立含变量的等式。 二、一元二次方程的建立与求解策略 根据题目中面积、距离等定量条件，将变量关系转化为一元二次方程。如当三角形面积达到特定值时，代入面积公式得到方程，整理为一般形式后求解。例如，利用勾股定理建立方程(a - vt)2 + (b - ut)2 = c2 。求解后需结合运动范围检验，舍去超出图形边界或时间为负等不符合实际的解。 三、动态过程中的几何性质应用 要充分利用几何图形的特性，如相似三角形对应边成比例、平行四边形对边相等等等量关系。在动点运动过程中，分析图形形状变化，例如从锐角三角形变为直角三角形时，利用勾股定理建立方程；图形重叠部分面积变化时，结合图形关系列出等式，确保方程建立符合几何逻辑和运动规律。 例5．如图，在矩形中，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，到达B点时停止，点Q以的速度向点D移动． (1)P，Q两点运动多长时间，点P和点Q的距离是？ (2)P，Q两点运动多长时间，四边形的面积为？ 【答案】(1)P，Q两点运动或时，点P和点Q的距离是 (2)P，Q两点运动时，四边形的面积为 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用)、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的应用． （1）过点Q作于点E．设P，Q两点运动到，根据点P和点Q的距离是列出一元二次方程，解方程即可； （2）设P，Q两点运动时，四边形的面积为．根据面积为列出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：过点Q作于点E． 设P，Q两点运动到时， 点P和点Q的距离是， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 答：P，Q两点运动或时，点P和点Q的距离是； （2）设P，Q两点运动时，四边形的面积为． 根据题意，得， 解得． 答：P，Q两点运动时，四边形的面积为． 【变式5-1】如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，求经过几秒， (1)点P，Q之间的距离为？ (2)的面积等于？ 【答案】(1)秒或2秒 (2)2秒或4秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，三角形的面积公式． （1）设经过秒钟，、之间距离等于，根据点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，表示出和的长可列方程求解； （2）由于的面积等于，利用三角形面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒、之间距离等于，由题意可得，，， 可得：， 整理得， 解得：，， 经检验，，均符合题意， 故经过秒或2秒、之间距离等于； （2）解：设经过秒的面积等于， 由题意可得，， ， 解得：，， 经检验，，均符合题意， 故经过2秒或4秒，的面积等于． 【变式5-2】在中，，，． (1)如图1，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点，同时出发，经过秒后，的长为______． (2)在（1）的条件下，经过几秒的面积等于？ (3)如图2，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点，同时出发，经过几秒的面积等于？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理； （1）根据含度角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求得的长，进而根据路程等于速度乘以时间，再列代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程，求解即可求出答案； （3）画出图形，根据，求出边上的高，根据面积列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． （2）设经过t秒，的面积等于． 由题意，得， 化简，得， 解得，． 答：经过秒或秒，的面积等于． （3）如图，连接，过点Q作于点H． ∵，， ∴． ∵， ∴当的面积等于时，， 即， 整理，得， 解得． 答：经过秒，的面积等于． 【变式5-3】如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到A即停止点；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1)当时，四边形为矩形； (2)当时，四边形为菱形； (3)不存在某一时刻使得，理由见解析 (4)当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【知识点】用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用)、证明四边形是菱形、矩形与折叠问题 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间； （3）过作，交于，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案； （4）根据折叠的性质得出，进而在中，，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，， ，， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， 故当时，四边形为矩形； （2）解：，， ∴， 即， ∵， 四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； （3）解：不存在；理由如下： 过作，交于，如图所示： 则， ∵， 四边形是矩形， ，， ， 矩形中， ∴为直角三角形， ， ， ， 即： ， ， 此方程无实数根， 不存在某一时刻使得； （4）解：如图所示， 根据折叠可知： ，， 在矩形中， ， ， ， ， ∵， ∴在中，根据勾股定理得： ， ， 即：， 解得：， 答：当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题． 一、单选题 1．若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（   ） A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设较小的连续奇数为，则较大的为，再列式，解方程得到两个解，对应两组连续奇数． 【详解】解：设较小的连续奇数为，则较大的为， 根据题意得：， 展开得：， ∴， ∴ 解得：或， ∴当时，较大的奇数为，即和， 当时，较大的奇数为，即和． 故选：D． 2．某企业2024年1月份产值1千万，2024年第一季度总产值5千万，若该企业2024年第一季度月产值的平均增长率为x，则下列方程中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用-平均增长率问题，分别求出2月份产值和3月份产值即可求解． 【详解】解：∵1月份产值为1千万，第一季度月产值的平均增长率为x， ∴2月份产值为千万，3月份产值为千万； 由题意得：； 故选：C 3．龙山中学第二届“龍”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 赛制为单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），每个小组x个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【详解】解：设每个小组有x支球队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意，得，即， 故选C． 4．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可知，停车位的占地面积相当于一个长为米，宽为米的长方形面积，再由停车位的占地面积为352平方米结合长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 二、填空题 5．某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至元，且两次降价的百分率一致．则每次降价的百分率是 ． 【答案】10% 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，是解题的关键 设每次降价的百分率x，根据题意列出一元二次方程，求解并选取符合实际的值即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 根据题意可得：， 解得：（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． 故答案为：． 6．某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是 元． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，利用单利润销售的数量获得的利润列出方程解答即可． 【详解】解：设每个口风琴的定价应该是元， ， 解得：，， ∵尽可能多地让利给消费者， ∴， 故答案为：． 7．如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了等面积法，解一元二次方程． 设，则，根据等面积法计算即可． 【详解】解：设， ∵矩形的面积为， ∴， ∴，， ∵ ∴ 整理得：， 解得：，， 故答案为：和． 8．如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 s后，的面积恰为． 【答案】4或6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，三角形面积公式，是解题关键． 设经过t秒后的面积恰为，过点F作于点D，求出，结合，根据三角形的面积公式列出方程求解． 【详解】解：设经过时间为，过点F作于点D， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， 即经过或后，的面积恰为． 故答案为：4或6． 三、解答题 9．九年级二班的一个综合实践活动小组去多个超市调查某种商品“五一节”期间的销售情况，下面是调查后小敏与其他两位同学交流的情况． 小敏：“该商品的进价为12元/件．” 同学甲：“定价为20元/件时，每天可售出240件．” 同学乙：“单价每降1元，则每天多售出40件．” 根据他们的对话，请你求出要使商品每天获利1920元，且又能让利给消费者，应怎样合理定价？ 【答案】定价为18元既能获得1920元的利润，且又能让利给消费者 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．根据“每件商品的利润销售量”设未知数列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为元，根据题意，得： ， 整理，得， 解得，（舍去），， 答：定价为18元既能获得1920元的利润，且又能让利给消费者． 10．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． (3)平均每天盈利能否达到元，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)每件童装降价元，平均每天盈利元； (3)平均每天销售利润不能达到元，理由见解析． 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键． （1）根据销售量原销售量因价格下降而增加的数量，每件利润实际售价进价，列式即可； （2）根据总利润每件利润销售数量，列方程求解可得； （3）根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程，再根据根的判别式求解． 【详解】（1）解：设每件童装降价x元时， 每天可销售件， 每件盈利：（元）； （2）解：根据题意，得：． 解得：，， ∵扩大销售量，增加利润， ， 答：每件童装降价元，平均每天盈利元； （3）解：依题意，可列方程： ， 化简，得 ， ． 方程无实数根． 故平均每天销售利润不能达到元． 11．为迎接即将到来的暑假旅游高峰，长沙文旅计划在五一广场打造一个“湖南特色食品展”，如图，若使用34米长的挡板，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米）围成展示区矩形，与墙平行的边上预留一个2米宽的入口方便游客出入． (1)如果要围成面积为144平方米的展示区，那么的长为多少米？ (2)为尽可能容纳更多的游客，展示区面积能否拓展为180平方米？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)的长为米 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确建立方程是解题的关键． （1）设，则由题意得，根据矩形面积得到，解方程并检验即可； （2）假设展示区面积拓展为180平方米，则，根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则由题意得， ∴， 解得：或 当时，，故不符合题意； 当时，符合题意， ∴的长为米； （2）解：不能，理由如下： 假设展示区面积拓展为180平方米， 则 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， ∴展示区面积不能拓展为180平方米． 12．《广州市电动自行车管理规定》自2024年12月30日起正式实施．该规定强调了驾驶电动自行车时，驾驶人及乘坐人均要规范佩戴安全头盔．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，则每月可卖出500个，若在此基础上每个头盔涨价1元，则每月要少卖出20个．为使每月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔10月份及12月份的月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔每个涨价元，则每个盈利元，每月可售出个，根据总利润=每个的利润月销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设该品牌头盔每个涨价y元，则每个盈利元，每月可售出个， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：该品牌头盔每个应涨价5元． 13．某商城在2023年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为2500元，标价为3000元． (1)商城举行了“新老用户总是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每台2430元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率； (2)经市场调研表明：当每台冰箱的售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降低50元时，平均每天能多售出4台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为5000元，则每台冰箱的售价应定为多少元？ 【答案】(1)每次降价的百分率为； (2)每台冰箱的售价应定为元． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设每次降价的百分率为，根据标价为3000元，最后以每台2430元的价格卖给中奖者，列出方程进行求解即可； （2）设每台冰箱的售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：每次降价的百分率为； （2）解：设每台冰箱的售价应定为元，由题意，得： ， 解得：； 答：每台冰箱的售价应定为元． 14．《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）． (1)若菜地的面积为，求的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由． 【答案】(1)的长为或 (2)要将这棵树围在矩形菜地内，菜地的面积不能是，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设的长为，则的长为，根据菜地的面积为建立方程，解方程即可得； （2）设，则，根据该菜地的面积为建立方程，解方程求出的值，从而可得的值，将其与进行比较，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， 由题意得：， 解得或， 答：的长为或． （2）解：要将这棵树围在矩形菜地内，菜地的面积不能是，理由如下： 设，则， 由题意得：， 解得， 当时，， 即当，时，这棵树没有被围在菜地里， 所以要将这棵树围在矩形菜地内，菜地的面积不能是． 15．素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，使其中两条与平行，满足通道宽；另一条与平行，并使两条通道的宽，其余六块部分种植草莓． 素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽应设计成多少米？ 任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润销售利润承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？ 【答案】任务1：通道的宽应设计成10米；任务2：每平方米草莓应该降价40元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：设通道的宽应设计成米，则通道的宽米，根据长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，其余六块部分种植草莓．使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，列出一元二次方程求解即可； 任务2：设每平方米草莓应该降价y元，根据每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．农户预期一个月的总利润（总利润=销售利润-承包费）为52万元，列出一元二次方程求解并取最大值即可． 【详解】解：任务1：设通道的宽应设计成米，则通道的宽米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴， 答：通道的宽应设计成10米； 任务2：设每平方米草莓应该降价y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵让购买草莓的客户获得更大的优惠， ∴每平方米草莓应该降价40元． 答：每平方米草莓应该降价40元． 16．2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． (1)求2023年、2024年这两年的平均增长率； (2)市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)2023年、2024年这两年的平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2023年、2024年这两年的平均增长率为，可列出关于的一元二次方程，解一元一次方程即可得到答案； （2）设售价应降低元，可列出关于的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设2023年、2024年这两年的平均增长率为， 根据题意列方程得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：2023年、2024年这两年的平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：售价应降低元． 17．用总长的木板制作矩形置物架（如图）．已知该置物架上面部分为正方形，下面部分是两个全等的矩形和矩形，知． (1)当正方形边长为时，的长为 ； (2)若设正方形的边长．置物架的高的长为 （用含x的代数表示）； (3)在（2）的条件下，为了便于放置物品，的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 【答案】(1)20 (2) (3)70 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正方形及矩形的性质： （1）根据矩形和正方形的性质直接计算即可； （2）同（1）求出，根据即可求解； （3）结合（2）列出一元二次方程，解方程，根据的高度不小于，判断求出的解是否符合题意． 【详解】（1）解：由题意知，，， ， 故答案为：20； （2）解：由题意知，，， ， ， 故答案为：； （3）解：由（2）得， 由题意得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； x的值为70． 18．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2017年种植“阳光玫瑰”100亩，到2019年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． (1)求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为 (2)售价应降低3元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2017年及2019年“阳光玫瑰”的种植面积列出关于x的一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，根据总利润、每千克的利润、销售数量的关系列出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可． 【详解】（1）解：设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x， 依题意可得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为． （2）解：设售价应降低y元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． ∵要尽量减少库存， ∴． 答：售价应降低3元． 19．综合与实践 项目主题：设计小区停车场扩建方案 项目背景：随着生活条件的改善，某小区停车场不能满足业主的需求，学校综合与实践活动小组以探究“设计小区停车场扩建方案”为主题开展了项目学习． 数据信息：（如图1所示） 信息1，原停车场的长为，宽为． 信息2，扩建后的长最大为，宽最大为． 问题解决： (1)如图1，若将原停车场的长、宽增加相同的长度后，得到一个面积为的新停车场，求新停车场的长与宽． (2)如图2，当时，新停车场的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】(1)新停车场的长为，宽为 (2)不可以，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设设将停车场的长、宽各增加，根据得到一个面积为的新停车场列方程求解即可； （2）假设新停车场的面积可以为，设，根据新停车场的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，将其正值代入验证即可． 【详解】（1）解：设将停车场的长、宽各增加．根据题意，得 ． 整理，得． 解得（不符合题意，舍去）． ∴． 答：新停车场的长为，宽为． （2）解：当时，新停车场的面积不可以为． 理由如下：设． 根据题意，得． 整理，得 解得（不符合题意，舍去）． 当时，．（不符合题意，舍去） 当时，新停车场的面积不可以为． 20．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，线段的长为？ (2)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)或时，线段的长为 (2)不存在，理由见解析 (3)存在， 【分析】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用勾股定理构建方程求解； （2）根据题意构建方程，再利用根的判别式求解即可； （3）建立如图平面直角坐标系．，利用中点坐标公式表示出点的坐标，根据点在的垂直平分线，可得，构建方程求解． 【详解】（1）解：由题意，，， ， ， ，， ， 解得或， 故或时，线段的长为； （2）解：不存在． 由题意：， 整理得， ， 方程无解，故不存在； （3）解：存在，建立如图平面直角坐标系． 由题意，，， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， 解得或（舍去）． 故时，点在的垂直平分线上． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次方程的应用的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元二次方程解决增长率问题 类型二、利用一元二次方程解决传播问题 类型三、利用一元二次方程解决营销问题 类型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 类型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 压轴专练 类型一、利用一元二次方程解决增长率问题 一、增长率问题的基本公式 增长率问题的核心公式为：N= a(1+x)n ，其中： a 表示初始量（基期量）； x 表示平均增长率（通常设为未知数）； n 表示增长次数（如年数、周期数）； N 表示经过n次增长后的最终量（末期量）。 若为下降率，则公式变为 N = a(1 - x)n ，x为平均下降率。 二、一元二次方程的建立与求解 当增长次数n=2时，公式可转化为一元二次方程： a(1 + x)2 = N 。 步骤：先整理方程为一般形式 ax2+bx+c=0（此处a为系数，与初始量a区分），再用配方法、公式法或因式分解法求解。 注意：解出的 x 需为正数（增长率），且符合实际意义，需舍去不合理的解（如负数解）。 三、实际问题中的关键分析 明确“初始量”和“末期量”：需从题目中准确提取增长前后的具体数值，避免混淆。 区分“累计增长”与“单次增长”：若问题涉及两年的总增长量，需用“第一年增长量 + 第二年增长量 = 总增长量”列式，而非直接套用平方公式。 单位与精度：结果通常需化为百分数，且根据题意保留合适的小数位数（如精确到1%）。 例1．某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率． 【变式1-1】某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元． (1)已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； (2)聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售收入又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，售价应定为多少元？ 【变式1-2】某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324元的价格出售． (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议：先公布降价，然后再降价，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【变式1-3】由于共享单车的投放使用，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城5月份销售自行车64辆，7月份销售100辆． (1)若该商城5月至7月的自行车销售的月平均增长率相同，求自行车销售的月平均增长率． (2)考虑到自行车需求不断增加，该商场准备再购进一批两种规格的自行车共100辆．已知A型车的进价为每辆500元，售价为每辆700元；B型车的进价为每辆1000元，售价为每辆1300元．假设所购进的车辆全部售完，为使利润不低于26000元，该商场购进A型车不超过多少辆？ 类型二、利用一元二次方程解决传播问题 一、传播问题的基本模型与公式 传播问题的核心模型基于“每轮传播的数量固定”的规律，其通用公式为： N=akn 。其中： a 代表初始传播源的数量（如开始感染病毒的人数、初始传播消息的个体数）； k 表示每个传播源在一轮传播中平均能影响的新个体数量（例如一个人平均能传染给 k 个人）； n 为传播的轮数； N 是经过 n 轮传播后的总数量（包含初始源和新增个体）。当 n = 2 时，公式变为一元二次方程 a(1 + k)2=N ，此为解决两轮传播问题的常用表达式。 二、一元二次方程的构建与求解要点 在传播问题中建立方程时，需依据题目描述确定 a 、 k 、 N 的具体数值 。 三、实际应用中的关键分析 区分“传播后总数”与“新增数量”：题目可能要求计算新增个体数量，需用传播后的总数减去初始源数量。如上述例子中，第二轮新增感染人数为121 - 1 - 1×10=110人。 挖掘隐含条件：部分题目未直接给出轮数，需根据时间、事件发展阶段等条件推断。例如“经过两天感染人数达到m人，每天感染人数相同”，可默认一天为一轮传播，从而确定传播轮数n = 2。 注意单位与取值范围：传播数量必须为非负整数，结果需符合实际场景，避免出现小数或负数解。通过以上三点，可系统掌握利用一元二次方程解决传播问题的核心逻辑与解题技巧。 例2．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【变式2-1】某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？ 【变式2-2】某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36名同学会做这项实验．求每节课每名同学教会多少名同学做实验？ 【变式2-3】在一次聚会上规定每两人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为4，共握手______次；若参加聚会的人数为（为正整数），共握手______次； (2)若参加聚会的人共握手45次，求参加聚会的人数； (3)嘉琪由握手问题想到了一个数学问题：有个即将初中毕业的学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出______张照片． 类型三、利用一元二次方程解决营销问题 一、利润问题的基本数量关系 营销问题的核心公式为：总利润 = 单件利润×销售数量。其中，单件利润 = 售价 - 进价；售价常通过“原价±价格调整量”表示，销售数量与价格调整存在关联，如价格每降低m元，销量增加n件 。这些关系是构建方程的基础，例如售价为x元，进价为a元，初始销量为b件，价格每降1元多售c件，则总利润y=(x - a)[b + c(原价 - x)]。 二、一元二次方程的建立与求解 根据题目中“总利润目标”或“销量与售价关系”，将上述数量关系转化为一元二次方程。如已知总利润为固定值，代入公式得到形如(x - a)(b + cx)=d的方程，整理为一般式后用合适方法求解。需检验解的合理性，舍去使售价或销量不符合实际（如为负）的解。 三、实际问题中的变量分析 要精准分析价格、销量、成本等变量间的动态联系。例如，考虑价格调整对销量的影响方向（增或减），以及成本是否随销量变化。同时，结合实际经营场景判断最优解，如求最大利润时，可通过二次函数性质或比较方程的解，选择符合市场条件的售价方案。 例3．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． (1)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ (2)能否通过涨价使经销商平均每月销售这种头盔的利润达到15000元？如果能，请求出售价应为多少元？如果不能，请说明理由． 【变式3-1】某特产店出售、两种特产，已知每袋种特产的售价比每袋种特产的售价贵3元，老王第一次购买时，花费4500元购买种特产，花费1800元购买种特产，发现购买的种特产的数量恰好是种特产数量的2倍． (1)求每袋种特产与每袋种特产的售价分别是多少元； (2)已知每袋种特产的进价是元，每袋种特产的进价比种特产的进价少，、两种特产的售价不变，老王第二次购买时，种特产的数量比第一次少袋，种特产的数量比第一次少，若特产店第二次销售共获利2100元，求的值． 【变式3-2】某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件． (1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？ 【变式3-3】“这么近，那么美，周末到河北”，河北拥有得天独厚的自然风光和丰富的历史文化资源，吸引着众多游客前来探索；河北著名旅游景点正定古城今年5月份共接待游客达20万人次，预计在7月份，将接待游客达万人次． (1)求正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率． (2)景区一个纪念品专卖店在销售中发现，一款纪念品每件进价为20元，销售价为35元时，每天可售出100件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若每件纪念品降价1元，则平均可多售出10件，当每件售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款纪念品销售中实现平均每天1560元的利润额． 类型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 一、图形面积的基本公式与变形 解决图形问题的基础是掌握常见图形的面积公式，如长方形面积S = 长×宽，正方形面积S = 边长×边长，三角形面积S=×底×高等。当图形存在边长变化或拼接组合时，需根据条件对公式进行变形。例如，长方形的长和宽分别增加x，则新面积S=(原长 + x)(原宽 + x)，为建立一元二次方程提供依据。 二、一元二次方程的构建与求解 根据图形的面积、周长等条件建立方程。如已知图形变化后的面积为固定值，将边长与面积关系代入公式得到方程，例如(a + x)(b + x)=c，展开整理为一元二次方程的一般形式x2+(a + b)x+ab - c = 0，再通过因式分解法、公式法等求解。需结合图形实际意义，舍去使边长为负或不符合图形逻辑的解。 三、图形问题中的几何关系分析 解题时要挖掘图形的隐含条件，如矩形对边相等、直角三角形的勾股定理等。若涉及拼接、裁剪等操作，需理清边长的等量关系，例如裁剪正方形后剩余图形的面积计算，或拼接图形后周长与面积的变化。同时，注意单位统一，确保计算结果符合图形的尺寸要求和实际场景。 例4．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 【变式4-1】如图：利用一面墙（墙的长度不限），用20m的篱笆围成一个矩形场地．设矩形与墙垂直的一边为xm，矩形的面积为． (1)若面积，求的长； (2)能围成面积为的矩形吗？说明理由． 【变式4-2】如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【变式4-3】如图，小明打算用总长度为的栅栏围成两个大小相同的矩形花园，花园的一面靠墙，墙长，设的长为． (1)的长为多少米？（用含的代数式表示） (2)若矩形花园的面积为，求的长． (3)矩形花园的面积是否有可能达到？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 类型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 一、动态几何中的变量关系与公式 动态几何问题需用变量表示运动中的线段长度、图形面积等。例如，点在线段上以速度v运动，运动时间为t，则运动的距离为vt；矩形的两边长随时间变化，其面积S = (a + vt)(b - ut)（a、b为初始边长，v、u为边长变化速度）。通过分析运动规律，结合三角形面积、勾股定理等基本公式，建立含变量的等式。 二、一元二次方程的建立与求解策略 根据题目中面积、距离等定量条件，将变量关系转化为一元二次方程。如当三角形面积达到特定值时，代入面积公式得到方程，整理为一般形式后求解。例如，利用勾股定理建立方程(a - vt)2 + (b - ut)2 = c2 。求解后需结合运动范围检验，舍去超出图形边界或时间为负等不符合实际的解。 三、动态过程中的几何性质应用 要充分利用几何图形的特性，如相似三角形对应边成比例、平行四边形对边相等等等量关系。在动点运动过程中，分析图形形状变化，例如从锐角三角形变为直角三角形时，利用勾股定理建立方程；图形重叠部分面积变化时，结合图形关系列出等式，确保方程建立符合几何逻辑和运动规律。 例5．如图，在矩形中，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，到达B点时停止，点Q以的速度向点D移动． (1)P，Q两点运动多长时间，点P和点Q的距离是？ (2)P，Q两点运动多长时间，四边形的面积为？ 【变式5-1】如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B同时出发，求经过几秒， (1)点P，Q之间的距离为？ (2)的面积等于？ 【变式5-2】在中，，，． (1)如图1，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点，同时出发，经过秒后，的长为______． (2)在（1）的条件下，经过几秒的面积等于？ (3)如图2，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点，同时出发，经过几秒的面积等于？ 【变式5-3】如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到A即停止点；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 一、单选题 1．若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（   ） A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或 2．某企业2024年1月份产值1千万，2024年第一季度总产值5千万，若该企业2024年第一季度月产值的平均增长率为x，则下列方程中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 3．龙山中学第二届“龍”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 4．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至元，且两次降价的百分率一致．则每次降价的百分率是 ． 6．某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是 元． 7．如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ． 8．如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 s后，的面积恰为． 三、解答题 9．九年级二班的一个综合实践活动小组去多个超市调查某种商品“五一节”期间的销售情况，下面是调查后小敏与其他两位同学交流的情况． 小敏：“该商品的进价为12元/件．” 同学甲：“定价为20元/件时，每天可售出240件．” 同学乙：“单价每降1元，则每天多售出40件．” 根据他们的对话，请你求出要使商品每天获利1920元，且又能让利给消费者，应怎样合理定价？ 10．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． (3)平均每天盈利能否达到元，请说明理由． 11．为迎接即将到来的暑假旅游高峰，长沙文旅计划在五一广场打造一个“湖南特色食品展”，如图，若使用34米长的挡板，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米）围成展示区矩形，与墙平行的边上预留一个2米宽的入口方便游客出入． (1)如果要围成面积为144平方米的展示区，那么的长为多少米？ (2)为尽可能容纳更多的游客，展示区面积能否拓展为180平方米？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 12．《广州市电动自行车管理规定》自2024年12月30日起正式实施．该规定强调了驾驶电动自行车时，驾驶人及乘坐人均要规范佩戴安全头盔．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，则每月可卖出500个，若在此基础上每个头盔涨价1元，则每月要少卖出20个．为使每月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔每个应涨价多少元？ 13．某商城在2023年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为2500元，标价为3000元． (1)商城举行了“新老用户总是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每台2430元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率； (2)经市场调研表明：当每台冰箱的售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降低50元时，平均每天能多售出4台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为5000元，则每台冰箱的售价应定为多少元？ 14．《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）． (1)若菜地的面积为，求的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由． 15．素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，使其中两条与平行，满足通道宽；另一条与平行，并使两条通道的宽，其余六块部分种植草莓． 素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽应设计成多少米？ 任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润销售利润承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？ 16．2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． (1)求2023年、2024年这两年的平均增长率； (2)市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 17．用总长的木板制作矩形置物架（如图）．已知该置物架上面部分为正方形，下面部分是两个全等的矩形和矩形，知． (1)当正方形边长为时，的长为 ； (2)若设正方形的边长．置物架的高的长为 （用含x的代数表示）； (3)在（2）的条件下，为了便于放置物品，的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 18．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2017年种植“阳光玫瑰”100亩，到2019年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． (1)求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 19．综合与实践 项目主题：设计小区停车场扩建方案 项目背景：随着生活条件的改善，某小区停车场不能满足业主的需求，学校综合与实践活动小组以探究“设计小区停车场扩建方案”为主题开展了项目学习． 数据信息：（如图1所示） 信息1，原停车场的长为，宽为． 信息2，扩建后的长最大为，宽最大为． 问题解决： (1)如图1，若将原停车场的长、宽增加相同的长度后，得到一个面积为的新停车场，求新停车场的长与宽． (2)如图2，当时，新停车场的面积可以为吗？请说明理由． 20．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，线段的长为？ (2)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$