专题05 一元二次方程中含参数问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题05 一元二次方程中含参数问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 类型二、一元二次方程的解求参数的值 类型三、一元二次方程的解求代数式的值 类型四、根据一元二方程根的情况求参数 类型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 压轴专练 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 1.依据一般形式ax2 + bx + c = 0（a≠0），明确二次项系数不能为零，通过此限制条件构建关于参数的不等式或方程，求解得出符合要求的参数值 ； 2.结合方程中各项次数特征，确保未知数最高次数为 2 ，当方程含有参数指数形式时，利用次数关系列方程求解参数，同时要兼顾二次项系数条件进行验证。 例1．若是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若关于的方程是一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式1-3】已知是关于x 的一元二次方程，则m的值为（  ） A．2 B．0 C． D． 类型二、一元二次方程的解求参数的值 1. 将方程的解代入原方程，使方程等式成立，得到关于参数的方程，进而求解参数。 2. 若已知一元二次方程的两个解，可利用根与系数的关系（韦达定理），即两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比值，建立参数方程组，从而确定参数的值。 例2．关于的一元二次方程有一个根为，则的值（   ） A． B．或 C． D．以上都不对 【变式2-1】已知关于的方程的一个根是1，则的值是 ． 【变式2-2】若关于的一元二次方程有一个根是，则 ． 【变式2-3】若关于x的方程的一个根是，则的值为 ． 类型三、一元二次方程的解求代数式的值 1. 将方程的解代入原方程，得到关于未知数与参数的等式，通过变形等式，整体代入目标代数式求值； 2. 利用根与系数的关系（韦达定理），若已知一元二次方程两根，根据两根之和与两根之积的表达式，对目标代数式进行拆分、重组，再代入计算，实现由方程的解向代数式值的转化。 例3．若是方程的根，则代数式的值是 ． 【变式3-1】已知是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【变式3-2】若a是方程的一个根，则的值为 【变式3-3】已知是一元二次方程的一个根，则 类型四、根据一元二方程根的情况求参数 1. 利用判别式Δ = b2 - 4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，有两个相等的实数根；Δ<0时，无实数根，据此建立关于参数的不等式或方程求解。 2. 结合根与系数的关系（韦达定理），在已知根的数量及部分条件时，通过两根之和、两根之积的表达式，联立方程确定参数取值。 例4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【变式4-1】若关于的方程有两个相等的实数根，则的值等于 ． 【变式4-2】关于的方程有实数解，则的取值范围是 ． 【变式4-3】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 类型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则x1+x2= -，x1x2 =，直接将根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2. 结合判别式△= b2 - 4ac≥0，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确定参数的准确取值。 例5．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若，求一元二次方程的根； (3)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【变式5-1】关于的一元二次方程有两个不等实根， (1)求实数的取值范围． (2)若方程两实根，满足，求的值． 【变式5-2】已知关于的一元二次方程满足． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若一元二次方程的两实根为，，且，请确定之间的数量关系． 【变式5-3】关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求的值． 一、单选题 1．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．-3 2．若方程的两根之积为，则的值是（    ） A．-1 B．1 C． D． 3．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A． B． C． D． 4．当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根时，的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 二、填空题 6．已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 7．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 8．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 9．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 10．已知，是关于x的一元二次方程的两个根．若，则a的值为 ． 三、解答题 11．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： (1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程； (2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值． 12．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)试取一个的值代入方程，并求出此方程的两个实数根． 13．关于的方程为，其中为实数． (1)判断方程根的情况，并说明理由． (2)当原方程的两根满足时，求的值． 14．已知关于x 的方程． (1)若原方程有两个不相等的实数根，求n 的取值范围． (2)若n 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的5倍，求m的值． 15．已知关于x的一元二次方程，有两个实数根 (1)求的取值范围； (2)若方程两个实数根的差为且为整数，求的值． 16．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设、该方程的两个根，且，求的值． 17．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 18．阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，则，．如：一元二次方程的两个实数根分别为，则；又如：一元二次方程的两个实数根分别为，则，． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)一元二次方程的两个根分别为，则___________，___________； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)若实数满足，且，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程中含参数问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 类型二、一元二次方程的解求参数的值 类型三、一元二次方程的解求代数式的值 类型四、根据一元二方程根的情况求参数 类型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 压轴专练 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 1.依据一般形式ax2 + bx + c = 0（a≠0），明确二次项系数不能为零，通过此限制条件构建关于参数的不等式或方程，求解得出符合要求的参数值 ； 2.结合方程中各项次数特征，确保未知数最高次数为 2 ，当方程含有参数指数形式时，利用次数关系列方程求解参数，同时要兼顾二次项系数条件进行验证。 例1．若是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据一元二次方程的定义，求参数的值，根据题意，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选B． 【变式1-1】已知关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 由题意知，，求解作答即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得，， 故选：D． 【变式1-2】若关于的方程是一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键； 根据一元二次方程的定义，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选：B 【变式1-3】已知是关于x 的一元二次方程，则m的值为（  ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意，得 ． 解得， 故选：C． 类型二、一元二次方程的解求参数的值 1. 将方程的解代入原方程，使方程等式成立，得到关于参数的方程，进而求解参数。 2. 若已知一元二次方程的两个解，可利用根与系数的关系（韦达定理），即两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比值，建立参数方程组，从而确定参数的值。 例2．关于的一元二次方程有一个根为，则的值（   ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把代入原方程，求出的值，再根据一元二次方程的定义得出，即可解答． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为， ，且， 解得：， 故选：C． 【变式2-1】已知关于的方程的一个根是1，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，熟练掌握基础知识是解题关键． 将代入方程即可求出的值． 【详解】解：已知是的一个根， ∴， 解得：． 故答案为3． 【变式2-2】若关于的一元二次方程有一个根是，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出n的值即可得到答案． 【详解】解：将代入方程，得， 解得， 故答案为：2． 【变式2-3】若关于x的方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程的解，将已知根代入原方程，得到关于的方程，解出的值即可． 【详解】解：把代入方程， 得，即， ，解得． 故的值为或． 故答案为：或． 类型三、一元二次方程的解求代数式的值 1. 将方程的解代入原方程，得到关于未知数与参数的等式，通过变形等式，整体代入目标代数式求值； 2. 利用根与系数的关系（韦达定理），若已知一元二次方程两根，根据两根之和与两根之积的表达式，对目标代数式进行拆分、重组，再代入计算，实现由方程的解向代数式值的转化。 例3．若是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，先由一元二次方程根的定义得到，再将整体代入求解即可得到答案．熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 【变式3-1】已知是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是解答关键． 根据是方程的一个根得到，并代入代数式中进行计算求解． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 【变式3-2】若a是方程的一个根，则的值为 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到，然后根据等式的性质易得，代入原式即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：11． 【变式3-3】已知是一元二次方程的一个根，则 【答案】13 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得，然后整体代入进行求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴； 故答案为13． 类型四、根据一元二方程根的情况求参数 1. 利用判别式Δ = b2 - 4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，有两个相等的实数根；Δ<0时，无实数根，据此建立关于参数的不等式或方程求解。 2. 结合根与系数的关系（韦达定理），在已知根的数量及部分条件时，通过两根之和、两根之积的表达式，联立方程确定参数取值。 例4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：． 【变式4-1】若关于的方程有两个相等的实数根，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据列出关于的方程解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】关于的方程有实数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据题意，可分为一元一次方程和一元二次方程进行讨论分析，即可求出m的取值范围． 【详解】解：当时，原方程为， 解得：，即原方程有实数根； 当时， ∵方程有实数解， ∴， 解得：； 综上所述，m的取值范围为． 故答案为：． 【变式4-3】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．根据定义可得且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 类型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则x1+x2= -，x1x2 =，直接将根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2. 结合判别式△= b2 - 4ac≥0，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确定参数的准确取值。 例5．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若，求一元二次方程的根； (3)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据有两个不相等的实数根得到，解不等式即可得到答案； （2）把代入，解一元二次方程即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， ； （2）解：把代入，得， ， 解得； （3）解：，， ， 解得． 【变式5-1】关于的一元二次方程有两个不等实根， (1)求实数的取值范围． (2)若方程两实根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，计算即可得解； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合题意可得，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实根，， ∴， 解得：； （2）解：由题意可得：，， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴． 【变式5-2】已知关于的一元二次方程满足． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若一元二次方程的两实根为，，且，请确定之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形求值． （1）证明即可得出方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系可得，，根据，可得，结合可得，解出的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 又， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两实根为，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴或， ∴之间的数量关系为或． 【变式5-3】关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）直接根据根的判别式证明即可； （2）先根据根与系数的关系求出的值，再代入求解即可． 【详解】（1）证明：在方程中，， 则 因为任何数的平方都大于等于0，即，所以该方程总有两个实数根． （2）解：由根与系数的关系可知， ， 将代入上式得： ， 解得， 经检验，当时，原方程的分母，所以的值为1． 一、单选题 1．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．-3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将已知根代入方程，解关于k的一元一次方程即可。 【详解】解：把代入关于x的一元二次方程中，得， 解得， 故选：A． 2．若方程的两根之积为，则的值是（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，判别式，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之积等于常数项除以二次项系数．结合题目条件建立方程求解，并验证判别式是否非负． 【详解】解：对于方程 ，设其两根为 和 ，根据根与系数的关系，根的积为 ． 题目给出根的积为 ，因此有： 解得： 验证判别式： 当 时，，方程有实根，符合条件． 故选B． 3．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：C． 4．当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根时，的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 5．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 二、填空题 6．已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，因为一元二次方程的一个根为，可得关于的一元一次方程，解一元一次方程可以求出的值． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， ， 解得：． 故答案为：． 7．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据有两个相等的实数根，得到，代入解方程即可． 【详解】解：∵有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：4． 8．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，由是方程的一个根，得到，则，然后利用整体代入求值即可， 【详解】解：将a代入代数式可得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根的定义，根据有两个不相等的实数根，得出，，再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， ， 即， 且． 故答案为：且． 10．已知，是关于x的一元二次方程的两个根．若，则a的值为 ． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系，直接代入求值即可 【详解】∵ 若 则 解得 【点睛】本题直接考察一元二次方程根与系数的关系，直接依据公式代入计算即可 三、解答题 11．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： (1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程； (2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值． 【答案】(1)存在，时；时 (2)存在， 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，分情况求解即可； （2）根据一元二次方程的定义，列出式子，求解即可． 【详解】（1）解：存在，由题可知或或时方程能为一元一次方程， 当时，解得，此时程为，解得； 当时，解得，此时方程为，解得． 当时，方程无解； （2）存在． 根据一元二次方程的定义可得，解得． 【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程． 12．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)试取一个的值代入方程，并求出此方程的两个实数根． 【答案】(1) (2)；， 【分析】本题考查了根的判别式以及利用配方法解一元二次方程，熟练掌握判别式是解题的关键． （1）根据方程解的个数结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； （2）取，由此得出关于x的一元二次方程，利用配方法解一元二次方程即可得出结论． 【详解】（1）∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， （2）解：当时，原方程为， ， ， ， ∴，． 13．关于的方程为，其中为实数． (1)判断方程根的情况，并说明理由． (2)当原方程的两根满足时，求的值． 【答案】(1)方程总有两个不相等的实数根．理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得到，再根据已知条件得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）方程总有两个不相等的实数根． 理由： 原方程为一元二次方程． 方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根系关系，得． ， ． 配方，得． 整理，得 解得，或． 14．已知关于x 的方程． (1)若原方程有两个不相等的实数根，求n 的取值范围． (2)若n 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的5倍，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据根的判别式得到，解之即可得到答案； （2）先求出，进而解原方程得到或，根据题意可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵方程， ∴， ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵，n 为符合条件的最小整数， ∴， ∴原方程为，即， ∴，即， 解得或， ∵该方程的较大根是较小根的5倍， ∴， ∴． 15．已知关于x的一元二次方程，有两个实数根 (1)求的取值范围； (2)若方程两个实数根的差为且为整数，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据根的判别式即可求出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，， 整理得 ， ， 即， ∴a的取值范围为 且 （2）方程两个实数根的差为 即 是方程 的两个实数根， 整理得 解得 或 (不是整数，舍去)， 16．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设、该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再将变形得到，再整体代入得关于的方程，由此解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得，； （2）解：∵、是方程的两个根， ∴， 又， 整理得，， ∴ 整理得，， 解得，或（不合题意，舍去） ∴的值为． 17．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 【答案】(1)3 (2)是， (3)，0；过程见解析 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可； （3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意，得． 整理，得， 是一元二次方程，化成一般形式为． （3）解：由题意，得． 整理，得． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，，0是方程的根． 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 18．阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，则，．如：一元二次方程的两个实数根分别为，则；又如：一元二次方程的两个实数根分别为，则，． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)一元二次方程的两个根分别为，则___________，___________； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)若实数满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查韦达定理，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意中的公式进行计算即可； （2）先求出，再根据题意求出与的值即可得到答案； （3）根据即可得到答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根分别为，则，， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为， ，， ， ； （3）解：实数满足，且， 则是的解， 故，， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$