专题03 一元二次方程的解法的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题05 一元二次方程的解法的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、直接开方法解一元二次方程 类型二、用因式分解法解一元二次方程 类型三、配方法解一元二次方程 类型四、公式法解一元二次方程 类型五、换元法解一元二次方程 压轴专练 类型一、直接开方法解一元二次方程 直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 例1．用直接开平方法解方程：． 【变式1-1】解方程： 【变式1-2】解方程： (1)； (2)． 【变式1-3】运用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 类型二、用因式分解法解一元二次方程 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 例2．解方程： (1) ； (2)． 【变式4-1】解一元二次方程： (1)； (2)． 【变式4-2】用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 【变式4-3】解方程： (1) (2) 类型三、配方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 例3．解一元二次方程：． 【变式2-1】用配方法解一元二次方程方程：． 【变式2-2】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-3】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 类型四、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 例4．用公式法解方程． 【变式3-1】用公式法解一元二次方程： 【变式3-2】用公式法解方程：． 【变式3-3】解一元二次方程：． 类型五、换元法解一元二次方程 1.换元法核心思路：当方程含重复复杂整式（如多项式平方、分式等），设该整式为新元（如y），将原方程转化为关于新元的一元二次方程，解出新元后，代回换元式求原未知数。例如方程(x²+3x)² - 2(x²+3x) - 8=0，设y=x²+3x，转化为y²-2y-8=0。 2.关键步骤：①观察方程结构，确定换元对象（重复出现的整式）；②设新元，替换原方程中对应整式；③解新方程，得新元值；④代回换元式，解出原未知数；⑤验根，确保解符合原方程。 例5．【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【变式5-1】阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 【变式5-2】阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 【变式5-3】请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． 方法应用： （2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由． （3）已知为实数且满足，请直接写出的值． 一、单选题 1．一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 2．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 3．在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 4．关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．有两个解 B．当 时，有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 5．已知是实数，且满足则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 二、填空题 6．方程的解是 ． 7．若一元二次方程的两根为，则等于 ． 8．若关于的一元二次方程可配成的形式， ． 9．若方程的解为，，则方程的解为 ． 10．我们规定：对于实数，满足，若，则的值为 ． 三、解答题 11．解方程： (1) (2) 12．解下列方程： (1)； (2)． 13．用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)． 14．选取最恰当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 15．选择合适的方法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 16．用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 17．解方程：． 有一位同学解答如下：这里，，，， ∴． ∴． 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请作出正确解答． 18．小南同学在解方程时出现了错误，解答过程如下： 原方程可化为，（第一步） 方程两边同时除以，得．（第二步） (1)小南的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______； (2)请写出此题正确的解答过程． 19．课堂上，刘老师展示了一位同学用配方法解的过程，如下： 解：原方程可化为，第一步 配方，得，第二步 即，第三步 直接开平方，得，第四步 所以，．第五步 (1)这位同学的解题过程从第______步开始出现错误； (2)请你正确求解该方程． 20．实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程的解法的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、直接开方法解一元二次方程 类型二、用因式分解法解一元二次方程 类型三、配方法解一元二次方程 类型四、公式法解一元二次方程 类型五、换元法解一元二次方程 压轴专练 类型一、直接开方法解一元二次方程 直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 例1．用直接开平方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：根据平方根的意义，得， 解得． 【变式1-1】解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据直接开平方法进行求解方程即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得：． 【变式1-2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）利用直接开平方法求解即可； （）利用直接开平方法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， ， 或， ∴，． 【变式1-3】运用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）运用直接开平方法解方程即可； （）运用直接开平方法解方程即可； 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤及方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴，． 类型二、用因式分解法解一元二次方程 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 例2．解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）整理原式为，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． （2）整理原式为，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 【变式4-1】解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：，； （2）解：， ， ， 或， 解得：，． 【变式4-2】用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）根据题意用因式分解法求解． 【详解】（1）解： 或 解得：； （2）解： 或 解得： 【变式4-3】解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法． （1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ， ， ∴或， ∴，． 类型三、配方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 例3．解一元二次方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解． 【详解】解：， 方程变形得：， 配方得：，即， 开方得，， 解得：，． 【变式2-1】用配方法解一元二次方程方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程−−配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．方程整理后，利用配方法求出解即可． 【详解】解∶方程整理，得， 配方，得，即， 开方，得， 解得，． 【变式2-2】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤：方程二次项系数化为1，常数项移到右边，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方求出，据此求出每一个方程的解即可． 【详解】（1）解：方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：或， 解得：，； （2）方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：或， 解得：，； （3）方程变形得：， 配方得：，即， 解得：，； （4）方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 【变式2-3】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)，； (4)，； (5)，； (6)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （1）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （2）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （3）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （4）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （5）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （6）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， ， ， ，； （5）解：， ， ， ， ， ， ，； （6）解：， ， ， ， ， ， ，． 类型四、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 例4．用公式法解方程． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程．根据一元二次方程的一般形式得到，，，计算得到，代入求根公式进行计算即可． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴， 解得，． 【变式3-1】用公式法解一元二次方程： 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握用公式法解一元二次方程的方法和步骤． 先求出，得出该方程有实数根，再根据求根公式，即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】用公式法解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查的是解一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【变式3-3】解一元二次方程：． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，特别是使用公式法求解．熟记求根公式是解题的关键．先确定的值，计算，以确定方程的根的性质．如果，则方程有两个不相等的实数根；如果，则方程有两个相等的实数根；如果，则方程无实数根．依据这个过程求解即可． 【详解】解：． ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 类型五、换元法解一元二次方程 1.换元法核心思路：当方程含重复复杂整式（如多项式平方、分式等），设该整式为新元（如y），将原方程转化为关于新元的一元二次方程，解出新元后，代回换元式求原未知数。例如方程(x²+3x)² - 2(x²+3x) - 8=0，设y=x²+3x，转化为y²-2y-8=0。 2.关键步骤：①观察方程结构，确定换元对象（重复出现的整式）；②设新元，替换原方程中对应整式；③解新方程，得新元值；④代回换元式，解出原未知数；⑤验根，确保解符合原方程。 例5．【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解； （3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设，则原方程可化为 整理，得 解得， 又∵ （3）解：设，则原方程可化为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为． 【变式5-1】阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 【答案】 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，设，于是原方程可变为，求出的值即可． 【详解】解：设，于是原方程可变为， ∴或， 解得，， 当时，整理得，，符合题意； 当时，整理得，，不符合题意； 综上所述，． 【变式5-2】阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 【答案】(1)，； (2)， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， （1）根据材料中的方法求出解即可；   （2）设（m为常数），将原方程化为，方程整理，得，令解得，当时，，方程化为，解得，，即可求出答案． 【详解】（1）解：解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ，   故答案为：，； （2）设（m为常数），   将原方程化为①   方程①整理，得 ②   令解得，   当时，，   方程②化为 解得  ，， ，． 【变式5-3】请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． 方法应用： （2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由． （3）已知为实数且满足，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2）是直角三角形，理由见解析；（3） 【知识点】配方法的应用、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）先配方，得出，再根据题中方法，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为， 解得：，． 当，即，解得：； 当，即，解得：． 所以原方程的解，． （2）解：是直角三角形， 理由如下：∵、、为的三边， 故，， ∴， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）． 当，即， 即， 故是直角三角形． （3）解：， ∵， 故， 即； 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）． 当，即． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，勾股定理的逆定理，配方法的应用，解一元一次方程等，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 一、单选题 1．一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，将方程整理为标准形式后，通过因式分解法求解即可． 【详解】解∶原方程变形为 ∴， ∴， 解得：， 故选∶C． 2．用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤写出配方之后的方程即可． 【详解】解： 故答案选B 3．在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出a，b，c的值，从而可求解． 【详解】解：∵小慧利用求根公式求出方程的解为， ∴， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 4．关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．有两个解 B．当 时，有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，分，两种情况，利用直接开方法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，方程没有实数根； 当时，方程有两个解； 故选B． 5．已知是实数，且满足则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求整式的值，解一元二次方程；设，由配方得，解一元二次方程，即可求解；能熟练解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设，则有 ， ， 解得：，（舍去）， ， 故选：A． 二、填空题 6．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； 通过移项、因式分解求解方程． 【详解】解； 或 解得，； 故答案为，． 7．若一元二次方程的两根为，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，直接开方法求出方程的根，进而确定的值，再求和即可． 【详解】解：由题意，有根， ∴， ∴， ∵方程的根为， ∴， ∴； 故答案为：． 8．若关于的一元二次方程可配成的形式， ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了配方法的应用，先利用配方法得到，再确定、的值，然后计算的值． 【详解】解：， ， ， ， 所以，， 所以． 故答案为：25． 9．若方程的解为，，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，把看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解是解题的关键．把方程看作关于的一元二次方程，然后根据题意得到或，再解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 关于的方程的解是，， 方程化为或， 解得，． 故答案为：，． 10．我们规定：对于实数，满足，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的新定义，因式分解法进行解一元二次方程，先理解新定义，再得出，整理得，即可作答． 【详解】解：依题意，， 即， 整理得， ∴， 解得， 故答案为：或． 三、解答题 11．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，． 12．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：，； （2）解：， 其中，，， ， ， 解得：，． 13．用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 14．选取最恰当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4)或 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程等．（1）先将等号右侧移项至等号左侧得到，再利用平方差公式因式分解计算即可； （2）先将等号右侧移项至等号左侧得到，再提供因式进行因式分解即可得到； （3）等式两边同时除以得到，再利用配方法解出即可； （4）直接利用公式法即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得：， 提公因式得：， 整理得：， 即：或， 解得：或； （2）解：， 移项得：， 提公因式得：， 即：或， 解得：或； （3）解：， 两边同时除以3得：， 配方得：， 整理得：， 即：， 解得：或； （4）解：， ， ， ∴， 解得：或． 15．选择合适的方法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）先展开，变成一般式，因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴； ∴； （2） ， ∴； （3） ， ∴； （4） ， ∴． 16．用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5)， 【分析】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，根据题目的不同结构特点，选择适当的方法解方程． （1）用十字相乘法因式分解求出方程的根， （2）用平方差公式因式分解求出方程的根， （3）用提公因式法因式分解求出方程的根， （4）用平方差公式因式分解求出方程的根， （5）用十字相乘法因式分解求出方程的根． 【详解】（1） 解： ，； （2） ，； （3） ，； （4） ，； （5） ，． 17．解方程：． 有一位同学解答如下：这里，，，， ∴． ∴． 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请作出正确解答． 【答案】有错误，正确解答见解析 【分析】将方程化为一般式，利用求根公式求解即可． 【详解】解：有错误，错误的原因是没有将方程化为一般形式． 将方程， 化为一般式为， 故方程中的，，， ． 所以， 即，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解公式法，解题的关键是记住求根公式，属于中考常考题型． 18．小南同学在解方程时出现了错误，解答过程如下： 原方程可化为，（第一步） 方程两边同时除以，得．（第二步） (1)小南的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______； (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)二，如果则两边不能同时除以； (2)，，过程见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）依据等式的基本性质判断即可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【详解】（1）解：嘉淇的解答过程是从第二步开始出错的，其错误原因是如果则两边不能同时除以， 故答案为：二，如果则两边不能同时除以； （2）解：， ， 则， ， 则或， 解得，． 19．课堂上，刘老师展示了一位同学用配方法解的过程，如下： 解：原方程可化为，第一步 配方，得，第二步 即，第三步 直接开平方，得，第四步 所以，．第五步 (1)这位同学的解题过程从第______步开始出现错误； (2)请你正确求解该方程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）利用配方法或公式法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】（1）第二步配方时应方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即， ∴这位同学的解题过程从第二步开始出现错误； （2）配方法： 解得，． 公式法： ，，， ， ， 解得，． 20．实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查来了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 设，则，原方程变形为，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设，则， 原方程变形为， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$