专题03 一元二次方程中含参数问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上册

专题03 一元二次方程中含参数问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 类型二、一元二次方程的解求参数的值 类型三、一元二次方程的解求代数式的值 类型四、根据一元二方程根的情况求参数 类型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 压轴专练 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 1.依据一般形式ax2 + bx + c = 0（a≠0），明确二次项系数不能为零，通过此限制条件构建关于参数的不等式或方程，求解得出符合要求的参数值 ； 2.结合方程中各项次数特征，确保未知数最高次数为 2 ，当方程含有参数指数形式时，利用次数关系列方程求解参数，同时要兼顾二次项系数条件进行验证。 例1．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义得，求出的值即可． 【详解】解：若是关于的一元二次方程，则， 解得． 故答案为：1． 【变式1-1】若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”，利用一元二次方程的定义，可得出． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据定义可知，且，求出解即可． 【详解】∵是一元二次方程， ∴，且， 解得或，且， ∴． 故答案为：3． 【变式1-3】若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知且，从而解得答案． 【详解】解：是一元二次方程 且 故答案为： 类型二、一元二次方程的解求参数的值 1. 将方程的解代入原方程，使方程等式成立，得到关于参数的方程，进而求解参数。 2. 若已知一元二次方程的两个解，可利用根与系数的关系（韦达定理），即两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比值，建立参数方程组，从而确定参数的值。 例2．已知一元二次方程的一根为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程进行计算求解．把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入，得 ， 解得． 故答案为：7． 【变式2-1】已知一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于m的方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式2-2】已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，解题关键是直接代值．根据一元二次方程的解的定义直接代值求解即可． 【详解】解：将代入， 得，解得， 故答案为：． 【变式2-3】已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的定义，把代入方程得，即得，再根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 类型三、一元二次方程的解求代数式的值 1. 将方程的解代入原方程，得到关于未知数与参数的等式，通过变形等式，整体代入目标代数式求值； 2. 利用根与系数的关系（韦达定理），若已知一元二次方程两根，根据两根之和与两根之积的表达式，对目标代数式进行拆分、重组，再代入计算，实现由方程的解向代数式值的转化。 例3．如果关于的一元二次方程的一个解是，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解． 利用一元二次方程解的定义得到，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2025． 【变式3-1】已知是一元二次方程的一个根，则有 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入一元二次方程计算即可． 【详解】解：把代入方程得． 故答案为：0． 【变式3-2】已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了一元二次方程根的概念，解决此题的关键是要熟练掌握整体代入求值．把代入原方程，再整体代入即可； 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】若是方程的一个实数根，则的值为 . 【答案】4055 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， ∴． 故答案为：4055． 类型四、根据一元二方程根的情况求参数 1. 利用判别式Δ = b2 - 4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，有两个相等的实数根；Δ<0时，无实数根，据此建立关于参数的不等式或方程求解。 2. 结合根与系数的关系（韦达定理），在已知根的数量及部分条件时，通过两根之和、两根之积的表达式，联立方程确定参数取值。 例4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意可得，计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式4-1】若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最大整数值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 根据方程有实数根得出且，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根， ∴且， 解得：且， m的最大整数解为4． 故答案为：4． 【变式4-2】若关于x的方程无解，那么实数c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解；∵关于x的方程无解， ∴关于x的方程无解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，首先将方程化为一般形式，进一步利用根判别式求解即可．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：由得：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 即的取值范围是且． 故答案为：且． 类型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则x1+x2= -，x1x2 =，直接将根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2. 结合判别式△= b2 - 4ac≥0，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确定参数的准确取值。 例5．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若，求一元二次方程的根； (3)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据有两个不相等的实数根得到，解不等式即可得到答案； （2）把代入，解一元二次方程即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， ； （2）解：把代入，得， ， 解得； （3）解：，， ， 解得． 【变式5-1】关于的一元二次方程有两个不等实根， (1)求实数的取值范围． (2)若方程两实根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，计算即可得解； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合题意可得，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实根，， ∴， 解得：； （2）解：由题意可得：，， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴． 【变式5-2】已知关于的一元二次方程满足． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若一元二次方程的两实根为，，且，请确定之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形求值． （1）证明即可得出方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系可得，，根据，可得，结合可得，解出的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 又， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两实根为，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴或， ∴之间的数量关系为或． 【变式5-3】关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）直接根据根的判别式证明即可； （2）先根据根与系数的关系求出的值，再代入求解即可． 【详解】（1）证明：在方程中，， 则 因为任何数的平方都大于等于0，即，所以该方程总有两个实数根． （2）解：由根与系数的关系可知， ， 将代入上式得： ， 解得， 经检验，当时，原方程的分母，所以的值为1． 一、单选题 1．是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴； 故选A． 2．若是方程的一个解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得，， 解得． 故选：B． 3．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴判别式， 解得： 故选：D． 4．设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可得，，由可得，结合求出或，由题意可得，求出，即可得解． 【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴由可得：， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 由题意可得， 解得：， ∴， 故选：B． 5．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 二、填空题 6．若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．根据题意列出关于m的等式求解即可． 【详解】解：根据题意可知 解得． 故答案为：． 7．若一元二次方程无实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】考查考查了一元二次方程的根的情况，解题关键是列出不等式求解．根据一元二次方程无实数根，得到关于的不等式求解． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴，解得：， 故答案为：． 8．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程，得， 所以， 所以． 故答案为：． 9．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式． 直接根据根的判别式计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 11．当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 12．关于的方程为，为实数． (1)判断方程根的情况． (2)求整数，使原方程至少有一个整数根． 【答案】(1)为任何实数，原方程均有实数根 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根．解题关键是掌握根的判别式及根定义，分类讨论，是解题的关键． （1）分类讨论，当时，或，方程为一元一次方程，一定有一个实数根；当时，利用根的判别式，则一元二次方程必有两个实数根；综合以上即可得证； （2）至少有一实数根为整数，由两实数根为整数，则， ，即可求解． 【详解】（1）解：当时，或． 原方程为，或．有实数根． 当时， ．有实数根． 综上，为任何实数，原方程均有实数根． （2）解：由（1），当时，原方程有整数根． 当时， 两根为． 即． 若是整数， 则． ∴． 取． 若是整数， 则． ∴． 综上，，原方程至少有一个整数根． 13．若关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后求解即可； （2）由题意易得，然后根据完全平方公式可得，进而代入进行求解即可 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：由题意知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：m的值为． 14．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若，为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或6或15 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解方程，掌握公式准确计算是本题的解题关键． （1）计算方程的判别式得出即可证明结论； （2）设方程的两个根为，，得，．由求根公式得．进而得必须是整数． 设（k为整数），则．可得，即，由m，n，k均为整数，且p为非负整数，可得，再验证即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：， ， 设方程的两个根为，． ，． 方程的求根公式为． ，则． 因为方程的两个实数根均为整数，且p为非负整数，所以必须是整数． 设（k为整数），则． 当（m，n为整数，且），两式相减得，． ， ， ， ， m，n，k均为整数，且p为非负整数， ， 当时，，此时． 当，，（舍负）， 当，时， ，，（舍负）， 其它情况不合题意， 综上，的值为0或6或15． 15．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若，求一元二次方程的根； (3)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据有两个不相等的实数根得到，解不等式即可得到答案； （2）把代入，解一元二次方程即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， ； （2）解：把代入，得， ， 解得； （3）解：，， ， 解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程中含参数问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 类型二、一元二次方程的解求参数的值 类型三、一元二次方程的解求代数式的值 类型四、根据一元二方程根的情况求参数 类型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 压轴专练 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 1.依据一般形式ax2 + bx + c = 0（a≠0），明确二次项系数不能为零，通过此限制条件构建关于参数的不等式或方程，求解得出符合要求的参数值 ； 2.结合方程中各项次数特征，确保未知数最高次数为 2 ，当方程含有参数指数形式时，利用次数关系列方程求解参数，同时要兼顾二次项系数条件进行验证。 例1．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【变式1-1】若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【变式1-2】若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【变式1-3】若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 类型二、一元二次方程的解求参数的值 1. 将方程的解代入原方程，使方程等式成立，得到关于参数的方程，进而求解参数。 2. 若已知一元二次方程的两个解，可利用根与系数的关系（韦达定理），即两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比值，建立参数方程组，从而确定参数的值。 例2．已知一元二次方程的一根为，则a的值为 ． 【变式2-1】已知一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【变式2-2】已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【变式2-3】已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 类型三、一元二次方程的解求代数式的值 1. 将方程的解代入原方程，得到关于未知数与参数的等式，通过变形等式，整体代入目标代数式求值； 2. 利用根与系数的关系（韦达定理），若已知一元二次方程两根，根据两根之和与两根之积的表达式，对目标代数式进行拆分、重组，再代入计算，实现由方程的解向代数式值的转化。 例3．如果关于的一元二次方程的一个解是，则 ． 【变式3-1】已知是一元二次方程的一个根，则有 ． 【变式3-2】已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【变式3-3】若是方程的一个实数根，则的值为 . 类型四、根据一元二方程根的情况求参数 1. 利用判别式Δ = b2 - 4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，有两个相等的实数根；Δ<0时，无实数根，据此建立关于参数的不等式或方程求解。 2. 结合根与系数的关系（韦达定理），在已知根的数量及部分条件时，通过两根之和、两根之积的表达式，联立方程确定参数取值。 例4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 【变式4-1】若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最大整数值是 ． 【变式4-2】若关于x的方程无解，那么实数c的取值范围是 ． 【变式4-3】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 类型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则x1+x2= -，x1x2 =，直接将根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2. 结合判别式△= b2 - 4ac≥0，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确定参数的准确取值。 例5．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若，求一元二次方程的根； (3)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【变式5-1】关于的一元二次方程有两个不等实根， (1)求实数的取值范围． (2)若方程两实根，满足，求的值． 【变式5-2】已知关于的一元二次方程满足． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若一元二次方程的两实根为，，且，请确定之间的数量关系． 【变式5-3】关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求的值． 一、单选题 1．是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若是方程的一个解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 A．4 B． C．2 D． 4．设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（   ） A．或 B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 6．若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 7．若一元二次方程无实数根，则的取值范围为 ． 8．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 9．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ． 10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 三、解答题 11．当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 12．关于的方程为，为实数． (1)判断方程根的情况． (2)求整数，使原方程至少有一个整数根． 13．若关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，且，求m的值． 14．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若，为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求的值． 15．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若，求一元二次方程的根； (3)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$