专题09 方程和不等式（宁夏专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题09 方程和不等式 考点1 不等式的解法 1．（2021•宁夏）解不等式组：． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式4（x﹣1）＞3x﹣2，得：x＞2， 解不等式1，得：x≥1， 则不等式组的解集为x＞2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2．（2022•宁夏）解不等式组：． 【分析】分别解出每个不等式，再求公共解集即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x≤1， 解不等式②得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集是﹣1＜x≤1． 【点评】本题考查解不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法． 3．（2023•宁夏）解不等式组 ． 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得： 4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步 4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步 ﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2 ﹣7x＞﹣7…第3步 x＞1…第4步 任务一：该同学的解答过程第 　 　 步出现了错误，错误原因是 　 　 ； 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 【分析】任务一：根据解不等式的基本步骤解答即可； 任务二：先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可． 【解答】解：任务一：4，不等式的基本性质3应用错误，x＜1； 任务二：﹣3x+x≤4﹣2， ﹣2x≤2， x≥﹣1， ∴该不等式组的解集为﹣1≤x＜1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 4．（2024•宁夏）解不等式组． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①得，x＜﹣4， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为x＜﹣4． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键． 考点2 一元二次方程的判别式 1．（2021•宁夏）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）＞0，然后解不等式求出m的取值即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）＞0， 解得m＜2． 故实数m的取值范围为是m＜2． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 2．（2023•宁夏）方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　 ． 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2+4m＝0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2+4m＝0， 解得m＝﹣4， 即m的值为﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 考点3 一元二次方程法人应用 1．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　） A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2 C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9 【分析】利用该地92号汽油五月底的价格＝该地92号汽油三月底的价格×（1+该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的感觉． 考点4 不等式与一次方程综合应用 1．（2021•宁夏）学校计划购买甲、乙两种品牌的羽毛球拍若干副．已知购买3副甲种品牌球拍和2副乙种品牌球拍共需230元；购买2副甲种品牌球拍和1副乙种品牌球拍共需140元． （1）甲、乙两种品牌球拍的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买这两种品牌球拍共100副，要求乙种品牌球拍数量不超过甲种品牌球拍数量的3倍，那么购买多少副甲种品牌球拍最省钱？ 【分析】（1）设甲种品牌球拍的单价是x元，乙种品牌球拍的单价是y元，根据“购买3副甲种品牌球拍和2副乙种品牌球拍共需230元；购买2副甲种品牌球拍和1副乙种品牌球拍共需140元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种品牌球拍的单价； （2）设购买m副甲种品牌球拍，则购买（100﹣m）副乙种品牌球拍，根据乙种品牌球拍数量不超过甲种品牌球拍数量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设学校购买100副球拍所需费用为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设甲种品牌球拍的单价是x元，乙种品牌球拍的单价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲种品牌球拍的单价是50元，乙种品牌球拍的单价是40元． （2）设购买m副甲种品牌球拍，则购买（100﹣m）副乙种品牌球拍， 依题意得：100﹣m≤3m， 解得：m≥25． 设学校购买100副球拍所需费用为w元，则w＝50m+40（100﹣m）＝10m+4000． ∵10＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝25时，w取得最小值， ∴购买25副甲种品牌球拍最省钱． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 2.（2024•宁夏）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件． （1）某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？ （2）中国的天问一号探测器、奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘（转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？ 【分析】（1）设扎染工艺品销售扎染x件，刺绣工艺品销售y件，根据某天这两种工艺品的销售额为1175元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； （2）直接由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）设扎染工艺品销售扎染x件，刺绣工艺品销售y件， 根据题意得：175x+325y＝1175， 整理得：x， ∵x，y均为正整数， ∴， 答：扎染工艺品销售扎染3件，刺绣工艺品销售2件； （2）转动一次转盘所有等可能结果共5种，指针指向有纪念品的扇形的结果有3种， ∴该顾客获得纪念品的概率是． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及概率公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2025•宁夏）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． （1）编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ （2）计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设大号编织x个，小号编织y个，根据编织这种中国结恰用绳25米，列出二元一次方程，求出正整数解即可； （2）设大号编织a个，则小号编织（350﹣a）个，根据计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，列出一元一次不等式，解得a≤150，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）设大号编织x个，小号编织y个， 由题意得：4x+3y＝25， ∴yx， ∵x、y均为正整数， ∴或， 答：大号编织1个、小号编织7个或大号编织4个、小号编织3个； （2）设大号编织a个，则小号编织（350﹣a）个， 由题意得：4a+3（350﹣a）≤1200， 解得：a≤150， 设总利润为w元， 由题意得：w＝12a+8（350﹣a）＝4a+2800， ∵4＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴当a＝150时，w取得最大值，最大值＝4×150+2800＝3400， 答：当大号编织150个时总利润最大，最大利润是3400元． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 1．（2025•金凤区校级三模）若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的m的值　 　 ． 【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝12﹣4×（﹣m）＞0，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【解答】解：由条件可知Δ＝12﹣4×（﹣m）＞0， ∴， ∴当m取1时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2025•中宁县模拟）若关于x的一元二次方程ax2﹣ax＝1有两个相等的实数根，则实数a的值为 　 。 【分析】根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【解答】解：由ax2﹣ax＝1得ax2﹣ax﹣1＝0， ∴Δ＝（﹣a）2﹣4a×（﹣1）＝0，且a≠0， 解得a＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 3．（2025•利通区校级三模）解不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【解答】解：， 由①得，x＜﹣4， 由②得，x， 故此不等式的解集为x＜﹣4． 在数轴上表示为：． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． 4．（2025•金凤区校级三模）解不等式组． 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集即可． 【解答】解：解不等式2x﹣9＜﹣3得，x＜3， 解不等式得，x≥﹣1， 所以，不等式组的解集为：﹣1≤x＜3． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是关键． 5．（2025•吴忠模拟）解不等式组． 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞﹣1， 解不等式②得：x＜1， ∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜1． 【点评】本题考查的是不等式组的解法，掌握不等式组的解法是解题的关键． 6．（2025•兴庆区校级四模）琪琪在解不等式组时，发现x的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如图所示． （1）求被墨迹覆盖的系数； （2）答案的第四步应用的性质为　 　 （填序号）； A．等式的性质 B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 （3）该不等式组的解集为　 　 ． 【分析】（1）由x＜3，可得x+15＞6x，故被墨迹覆盖的系数为6； （2）观察解答过程可知，第四步应用的性质为不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）求出每个不等式的解集，再求公共解集即可． 【解答】解：（1）∵x＜3， ∴﹣5x＞﹣15， ∴x﹣6x＞﹣15，即x+15＞6x， ∴被墨迹覆盖的系数为6； （2）观察解答过程可知，第四步应用的性质为不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 故答案为：C； （3）由x+15＞6x得x＜3， 由x1得x≤1， ∴不等式组的解集为x≤1； 故答案为：x≤1． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握不等式性质和求公共解集的方法． 7．（2025•宁夏一模）解不等式组． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可． 【解答】解：， 解不等式①得，x＜10； 解不等式②得，x＞﹣6， 所以不等式组的解集为：﹣6＜x＜10． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 8．（2025•金凤区模拟）解下列不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】先分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：由4x+5＜x﹣1得：x＜﹣2， 由得：3（x+1）﹣6≤2（x﹣1）， 整理得：x≤1， 则不等式组的解集为x＜﹣2． 在数轴上表示不等式的解集如下： 【点评】本题主要考查了求一元一次不等式以及一元一次不等式组的解集，并把数轴上表示出解集等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 9.（2025•宁夏一模）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求AB两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案．若该汽车销售公司销售一辆A型汽车可获利4000元，销售一辆B型汽车可获利7000元，在所有的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解方程即可求解； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价＝单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论； 【解答】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 由题意得，， 解得， 所以A型汽车每辆的进价为10万元，B型汽车每辆的进价为25万元， 答：A型汽车每辆的进价为10万元，B型汽车每辆的进价为25万元； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 由题意得，10m+25n＝200， 解得， ∵m，n均为正整数， ∴，，， ∴共3种购买方案，方案一：购进A型车15辆，B型车2辆；方案二：购进A型车10辆，B型车4辆；方案三：购进A型车5辆，B型车6辆； （3）方案一获得利润：4000×15+7000×2＝74000（元）； 方案二获得利润：4000×10+7000×4＝68000（元）； 方案三获得利润：4000×5+7000×6＝62000（元）； ∵62000＜68000＜74000， ∴购进A型车15辆，B型车2辆获利最大，最大利润是74000元， 答：购进A型车15辆，B型车2辆获利最大，最大利润是74000元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 10．（2025•中宁县模拟）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两．问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用“黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，以及两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”分别得出等式得出答案． 【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 根据题意得：． 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 方程和不等式 考点1 不等式的解法 1．（2021•宁夏）解不等式组：． 2．（2022•宁夏）解不等式组：． 3．（2023•宁夏）解不等式组 ． 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得： 4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步 4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步 ﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2 ﹣7x＞﹣7…第3步 x＞1…第4步 任务一：该同学的解答过程第 　 　 步出现了错误，错误原因是 　 　 ； 不等式①的正确解集是 　 　 ； 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 4．（2024•宁夏）解不等式组． 考点2 一元二次方程的判别式 1．（2021•宁夏）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2 2．（2023•宁夏）方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　 ． 考点3 一元二次方程法人应用 1．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　） A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2 C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9 考点4 不等式与一次方程综合应用 1．（2021•宁夏）学校计划购买甲、乙两种品牌的羽毛球拍若干副．已知购买3副甲种品牌球拍和2副乙种品牌球拍共需230元；购买2副甲种品牌球拍和1副乙种品牌球拍共需140元． （1）甲、乙两种品牌球拍的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买这两种品牌球拍共100副，要求乙种品牌球拍数量不超过甲种品牌球拍数量的3倍，那么购买多少副甲种品牌球拍最省钱？ 2.（2024•宁夏）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件． （1）某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？ （2）中国的天问一号探测器、奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘（转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？ 3．（2025•宁夏）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． （1）编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ （2）计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 1．（2025•金凤区校级三模）若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的m的值　 　 ． 2．（2025•中宁县模拟）若关于x的一元二次方程ax2﹣ax＝1有两个相等的实数根，则实数a的值为 　 。 3．（2025•利通区校级三模）解不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上． 4．（2025•金凤区校级三模）解不等式组． 5．（2025•吴忠模拟）解不等式组． 6．（2025•兴庆区校级四模）琪琪在解不等式组时，发现x的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如图所示． （1）求被墨迹覆盖的系数； （2）答案的第四步应用的性质为　 　 （填序号）； A．等式的性质 B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 （3）该不等式组的解集为　 　 ． 7．（2025•宁夏一模）解不等式组． 8．（2025•金凤区模拟）解下列不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 9.（2025•宁夏一模）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求AB两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案．若该汽车销售公司销售一辆A型汽车可获利4000元，销售一辆B型汽车可获利7000元，在所有的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 10．（2025•中宁县模拟）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两．问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． / 学科网（北京）股份有限公司 $